Calcul formel EXAMEN L1 Maths - Info - GSI

Calcul formel
EXAMEN L1 Maths - Info - GSI
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans ∗
– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de 2 heures.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont
mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde
ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante,
pas d’enregistrement de fichier.
Exercice 1 Questions de cours.
1. Donner des coefficients a,b,cet dréels tels que cos(7x) = acos(x)7+bcos(x)5+ccos(x)3+
dcos(x).
2 points
2. Donner le polynôme ptel que x9−x6+x3−1 = (x2+ 1)p(x).
2 points
3. Trouver uet vdeux entiers relatifs tels que 9625u+ 840v= 1.
2 points
Exercice 2 Géométrie affine.
Soit (O,~ i,~ j)un repère orthonormé direct.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228
Calais cedex ; France
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Soient Ale point de coordonnées (0,0),Ele point de coordonnées (1,0),ABCD un carré direct
et BEF G un carré direct également.
Quel est le lieu géométrique du milieu Idu segment [DF ]lorsque le point Bvarie dans le plan ?
Démarche proposée : on considère que le point Ba pour coordonnées (x, y), donner les coordonnées
du point Den fonction de xet y, donner les coordonnées du point Fen fonction de xet y, donner
les coordonnées du point Ien fonction de xet yet conclure.
3 points
Exercice 3 Fonctions de chiffres.
Chercher un nombre naturel de la forme abbcca (en base 10,aest chiffre des centaines de milliers
et des unités supposé non nul, best chiffre des dizaines de millers et des miliers, cest chiffre des
dizaines et des centaines) qui soit un carré parfait (i.e. le carré d’un nombre naturel).
Combien existe-t-il de nombres de la fome abbcca qui soient des carrés parfaits ?
3 points
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Exercice 4 Algèbre linéaire.
aest un paramètre réel.
Soit A=
1 10 100
10 100 a
100 a10
.
Pour x,yet zréels, on considère l’équation (E):A
x
y
z
=
111
111
111
.
1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice Aest-elle inversible ?
2. Lorsque Aest inversible, donner la matrice inverse de M.
1 point
3. Lorsque An’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’image et le noyau de M.
1 point
4. Lorsque Aest inversible, donner x,yet z.
1 point
5. Lorsque An’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’ensemble des triplets (x, y, z)de
R3.
1 point
Exercice 5 Minimisation d’une aire.
Soit (O,~ i,~ j)un repère orthonormé. On considère l’ensemble Γdes points M(x, √1−x2)pour x
variant entre 0et 1.
1. Soit TMla tangente en Mà l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM.
1 point
2. La tangente TMcoupe l’axe (O
~
i)en un point Aet l’axe (O~ j)en un point B. Donner les
coordonnées des points Aet B.
1 point
3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.
1 point
4. Donner la valeur (ou les valeurs) de xpour que le triangle OAB ait une aire extrémale.
5. Donner la valeur (ou les valeurs) de xpour que le triangle OAB ait une aire minimale.
1 point
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