Calcul formel EXAMEN L1 Maths - Info - GSI

Calcul formel
EXAMEN L1 Maths - Info - GSI
Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans
∗
– Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve.
– Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve.
– La durée de l’épreuve est de 2 heures.
– Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée.
– Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont
mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde
ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus.
– Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.
– Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante,
pas d’enregistrement de fichier.
Exercice 1
Questions de cours.
1. Donner des coefficients a, b, c et d réels tels que cos(7x) = a cos(x)7 + b cos(x)5 + c cos(x)3 +
d cos(x).
2 points
2. Donner le polynôme p tel que x9 − x6 + x3 − 1 = (x2 + 1)p(x).
2 points
3. Trouver u et v deux entiers relatifs tels que 9625u + 840v = 1.
2 points
Exercice 2
Géométrie affine.
Soit (O,~i, ~j) un repère orthonormé direct.
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Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228
Calais cedex ; France
1
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Calcul formel
2007
Soient A le point de coordonnées (0, 0), E le point de coordonnées (1, 0), ABCD un carré direct
et BEF G un carré direct également.
Quel est le lieu géométrique du milieu I du segment [DF ] lorsque le point B varie dans le plan ?
Démarche proposée : on considère que le point B a pour coordonnées (x, y), donner les coordonnées
du point D en fonction de x et y, donner les coordonnées du point F en fonction de x et y, donner
les coordonnées du point I en fonction de x et y et conclure.
3 points
Exercice 3
Fonctions de chiffres.
Chercher un nombre naturel de la forme abbcca (en base 10, a est chiffre des centaines de milliers
et des unités supposé non nul, b est chiffre des dizaines de millers et des miliers, c est chiffre des
dizaines et des centaines) qui soit un carré parfait (i.e. le carré d’un nombre naturel).
Combien existe-t-il de nombres de la fome abbcca qui soient des carrés parfaits ?
3 points
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Exercice 4
2007
Calcul formel
Algèbre linéaire.
a est un paramètre
réel.

1
10 100

Soit A = 
 10 100 a
100 a
10


.


x


111


  
 =  111 .
Pour x, y et z réels, on considère l’équation (E) : A 
y

  
111
z
1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice A est-elle inversible ?
2. Lorsque A est inversible, donner la matrice inverse de M .
1 point
3. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’image et le noyau de M .
1 point
4. Lorsque A est inversible, donner x, y et z.
1 point
5. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’ensemble des triplets (x, y, z) de
R3 .
1 point
Exercice 5
Minimisation d’une aire.
√
Soit (O,~i, ~j) un repère orthonormé. On considère l’ensemble Γ des points M (x, 1 − x2 ) pour x
variant entre 0 et 1.
1. Soit TM la tangente en M à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM .
1 point
2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les
coordonnées des points A et B.
1 point
3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x.
1 point
4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale.
5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale.
1 point
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