Nombres algébriques - Campus

Nombresalgébriques
1 Préliminaire
DÉFINITION 1. — Soit αun nombre complexe, αest dit algébrique, s’il existe un po-
lynôme Pà coefficients rationnels tel que P(α)=0.
1. Démontrer que tout nombre rationnel est algébrique.
2. Démontrer que p2+p3 est algébrique.
3. Démontrer que αest algébrique si et seulement si la suite (αn)n∈Nest liée dans
l’espace vectoriel Csur Q.
DÉFINITION 2. — Soit α∈C, on note Q[α] l’ensemble des nombres de la forme P(α)
où P∈Q[X].
4. Démontrer que Q[α] est un Q-espace vectoriel et une Q-algèbre associative
unitaire intègre.
5. Démontrer que αest algébrique si et seulement si Q[α] est un Q-espace vecto-
riel de dimension finie.
6. En déduire que : si αet βsont algébriques alors α+βet αβ sont algébriques.
7. Démontrer que l’ensemble des nombres algébriques est un corps et une Q-
algèbre associative unitaire.
MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE
T
Autocorrectif. sujet n°3
Pierre Burg
Capes externe de mathématique
Epreuve d’admissibilité
Algèbre et géométrie
1
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8. Démontrer que Q[i] est un corps.
9. Soit ωune racine de X3+X+1. Démontrer que Q[ω] est un corps.
10. Démontrer que αest algébrique si et seulement si Q[α] est un corps.
2 Extension de corps
2.1
Si Fun sous-corps de R. On rappelle qu’un tel sous-corps contient Q. On rap-
pelle aussi que si Fest un sous-corps de Galors Gest muni d’une structure d’espace
vectoriel sur F, pour la loi interne +et la loi externe ×.
On considère F,G,Htrois sous-corps de Rtel que F⊂G⊂H. Soient a1,...,anune
base de Gsur Fet b1,...,bmune base de Hsur G.
Démontrer que (aibj), (i,j)∈{1,...,n}×{1,...,m} est une base de Hsur F; en
déduire la dimension de Hsur Fen fonction de met n.
2.2
DÉFINITION 3. — Soit Fun sous-corps de Ret α∈R∗. Le degré de αsur F, noté
deg(α,F) est l’entier égal à maxnm∈N∗;¡1,α,...,αm−1¢linéairement indépendants sur Fo
1. Montrer que deg(α,F)=1 est équivalent à α∈F
2. Dans cette question α6∈Fet α∈Ret on suppose qu’il existe deux éléments aet
bde Ftels que α2+aα+b=0. On note F(α)=©x+yα;x∈F,y∈Fª
• Préciser la dimension de F(α) en tant qu’espace vectoriel sur F.
• Montrer que F(α) est un sous-corps de R.
• Vérifier qu’il existe un élément positif kde Ftel que F(α)=F(pk).
• Déterminer deg(α,F).
DÉFINITION 4. — On dit que F(α) est une extension quadratique de F.
3. On suppose désormais que deg(α,F)=n, où nest un entier strictement supé-
rieur à 1.
(a) Démontrer qu’il existe un polynôme pde degré n, à coefficients dans F,
tel que : p(α)=0.
(b) Démontrer que pest irréductible sur F, c’est à dire si p1et p2sont deux
polynômes à coefficients dans Ftels que : p=p1p2, alors p1ou p2est un
polynôme constant.
(c) Démontrer que si qest un polynôme à coefficients dans Ftel que q(α)=0,
alors le reste de la division euclidienne de qpar pest le polynôme nul.
2
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(d) Application : Déterminer deg³3
p2,Q´.
4. Soit F(α) l’espace vectoriel sur Fengendré par ¡1,α,...,αn−1¢.
Montrer que, pour tout entier m∈N,αm∈F(α). En déduire que F(α) est stable
pour la multiplication.
5. Soit r∈F(α),r6=0 et soit ρl’application F-linéaire : F(α)→F(α), ρ(r)=r s.
Montrer que ρest injective ; en déduire que r−1appartient à F(α) et que F(α)
est un sous-corps de R.
3 Droites et cercles
R2est muni de la distance euclidienne usuelle. Fest un sous-corps de Ret U=
F×Fest l’ensemble des points à coordonnées dans F.
On note :
Dl’ensemble des droites passant par deux points distincts de U.
Cl’ensemble des cercles centrés en un point de U, de rayon égal à la distance de
deux points de U.
1. Soit ∆une droite de D. Démontrer que ∆admet au moins une équation à coef-
ficients dans F.
2. Soit Γun cercle de C. Démontrer que Γadmet au moins une équation à coeffi-
cients dans F.
3. Soient ∆1,∆2deux droites distinctes de Dsécantes en un point M. Démontrer
que M∈U.
4. Soit ∆une droite de Det Γun cercle de Cpossédant au moins un point com-
mun M.
Démontrer que :
• ou bien M∈U,
• ou bien les coordonnées de Mappartiennent à un corps Gqui est une exten-
sion quadratique de F.
5. Que peut-on dire d’un point Mcommun à deux cercles distincts de C?
4 Construction à la règle et au compas
On note, dans R2,O=(0,0) et I=(1,0).
Soit Eun ensemble de points de R2. Avec la règle et le compas, on trace des droites
et des cercles en utilisant deux points de E. Les points d’intersection obtenus sont
alors des points constructibles à partir de E.
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On dira qu’un point Mest constructible s’il existe une suite finie de points (M1,..., Mn)
telle que M=Mn,M1est construit à partir de Oet Iet pour tout i∈{2,...,n}Miest
construit à partir de l’ensemble {O,I,M1,...,Mi−1}.
Un nombre réel est constructible s’il est l’une des coordonnées d’un point construc-
tible.
1. Montrer que :
(a) Si A,B,Csont trois points constructibles, alors le point Dtel que A,B,C,D
soit un parallélogramme est constructible.
(b) Le point J=(0,1) est constructible.
(c) Les points à coordonnées entières sont constructibles.
2. (a) Soit Mun point constructible. Montrer qu’il existe une suite finie de sous-
corps de R, (F0,...,Fn) vérifiant :
Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fn
∀i, 0 ≤i≤n−1,Fi+1est une extension quadratique de Fi
Les coordonnées de Mappartiennent à Fn
Une telle suite sera appelée « suite d’extensions quadratiques » et abrégée
en s.e.q.
En déduire que la dimension de Fnsur Qest 2n.
(b) Démontrer que si αest un réel tel que deg(α;Q) n’est pas une puissance
de 2, alors αn’est pas un réel constructible. 3
p2 est-il constructible ?
3. Démontrons la réciproque.
(a) Montrer, sans oublier de faire un dessin, que :
• si αet βsont des réels constructibles, il en est de même de α−βet α
β,
β6=0.
• si αest un réel positif constructible, il en est de même de pα.
(b) Soit Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fnune s.e.q. Montrer que tous les réels de Fnsont
constructibles.
4. Montrer que cos 2π
5est racine d’un polynôme à coefficients entiers, en utilisant
l’expression de cos(5θ) en fonction de cos(θ).
Déterminer deg³cos 2π
5;Q´.
5. Démontrer que le pentagone régulier inscrit dans le cercle unité de centre Oet
passant par Iest constructible.
4
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5 Un réel non constructible vérifiant deg(r;Q)=4
Soit Pun polynôme à coefficients entiers : P(x)=α0+···+αnxnavec α0αn6=0.
1. Soit a
bun rationnel irréductible, racine de P. Démontrer que adivise α0et que
bdivise αn.
On suppose désormais que P(x)=x4−4x+2.
2. Démontrer que Pn’admet aucune racine rationnelle mais exactement deux ra-
cines réelles r1et r2.
3. Démontrer qu’il existe (a,b,c,d)∈R4tels que :
P(x)=(x2+bx +c)(x2+cx +d)
4. Démontrer que, pour toute factorisation du type ci-dessus, le réel t=b+dest
racine d’un polynôme de degré 3, que l’on précisera. En déduire que tn’est pas
rationnel et déterminer deg(t;Q).
5. Démontrer que Pest irréductible sur Qet en déduire deg(ri;Q) pour i∈{1,2}.
6. Démontrer qu’au moins un des deux réels r1,r2n’est pas constructible.
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