Nombres algébriques - Campus

MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE
T
Capes externe de mathématique
Epreuve d’admissibilité
Algèbre et géométrie
Autocorrectif. sujet n°3
Pierre Burg
Nombres algébriques
1 Préliminaire
D ÉFINITION 1. — Soit α un nombre complexe, α est dit algébrique, s’il existe un polynôme P à coefficients rationnels tel que P (α) = 0.
1. Démontrer que tout nombre rationnel est algébrique.
p
p
2. Démontrer que 2 + 3 est algébrique.
3. Démontrer que α est algébrique si et seulement si la suite (αn )n∈N est liée dans
l’espace vectoriel C sur Q.
D ÉFINITION 2. — Soit α ∈ C, on note Q[α] l’ensemble des nombres de la forme P (α)
où P ∈ Q[X ].
4. Démontrer que Q[α] est un Q-espace vectoriel et une Q-algèbre associative
unitaire intègre.
5. Démontrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est un Q-espace vectoriel de dimension finie.
6. En déduire que : si α et β sont algébriques alors α + β et αβ sont algébriques.
7. Démontrer que l’ensemble des nombres algébriques est un corps et une Qalgèbre associative unitaire.
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8. Démontrer que Q[i ] est un corps.
9. Soit ω une racine de X 3 + X + 1. Démontrer que Q[ω] est un corps.
10. Démontrer que α est algébrique si et seulement si Q[α] est un corps.
2 Extension de corps
2.1
Si F un sous-corps de R. On rappelle qu’un tel sous-corps contient Q. On rappelle aussi que si F est un sous-corps de G alors G est muni d’une structure d’espace
vectoriel sur F, pour la loi interne + et la loi externe ×.
On considère F, G, H trois sous-corps de R tel que F ⊂ G ⊂ H. Soient a 1 , . . . , a n une
base de G sur F et b 1 , . . . , b m une base de H sur G.
Démontrer que (a i b j ), (i , j ) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} est une base de H sur F ; en
déduire la dimension de H sur F en fonction de m et n.
2.2
D ÉFINITION 3. — Soit F un sous-corps
de R et α ∈ R∗ . Le degré de α sur F, noté
o
n
¡
¢
m−1
∗
linéairement indépendants sur F
deg(α, F) est l’entier égal à max m ∈ N ; 1, α, . . . , α
1. Montrer que deg(α, F) = 1 est équivalent à α ∈ F
2. Dans cette question α 6∈ F et α ∈ R et on suppose
a et
© qu’il existe deux éléments
ª
2
b de F tels que α + aα + b = 0. On note F(α) = x + yα ; x ∈ F, y ∈ F
• Préciser la dimension de F(α) en tant qu’espace vectoriel sur F.
• Montrer que F(α) est un sous-corps de R.
p
• Vérifier qu’il existe un élément positif k de F tel que F(α) = F( k).
• Déterminer deg(α, F).
D ÉFINITION 4. — On dit que F(α) est une extension quadratique de F.
3. On suppose désormais que deg(α, F) = n, où n est un entier strictement supérieur à 1.
(a) Démontrer qu’il existe un polynôme p de degré n, à coefficients dans F,
tel que : p(α) = 0.
(b) Démontrer que p est irréductible sur F, c’est à dire si p 1 et p 2 sont deux
polynômes à coefficients dans F tels que : p = p 1 p 2 , alors p 1 ou p 2 est un
polynôme constant.
(c) Démontrer que si q est un polynôme à coefficients dans F tel que q(α) = 0,
alors le reste de la division euclidienne de q par p est le polynôme nul.
2
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(d) Application : Déterminer deg
³p
´
3
2, Q .
¡
¢
4. Soit F(α) l’espace vectoriel sur F engendré par 1, α, . . . , αn−1 .
Montrer que, pour tout entier m ∈ N, αm ∈ F(α). En déduire que F(α) est stable
pour la multiplication.
5. Soit r ∈ F(α), r 6= 0 et soit ρ l’application F-linéaire : F(α) → F(α), ρ(r ) = r s.
Montrer que ρ est injective ; en déduire que r −1 appartient à F(α) et que F(α)
est un sous-corps de R.
3 Droites et cercles
R2 est muni de la distance euclidienne usuelle. F est un sous-corps de R et U =
F × F est l’ensemble des points à coordonnées dans F.
On note :
D l’ensemble des droites passant par deux points distincts de U.
C l’ensemble des cercles centrés en un point de U, de rayon égal à la distance de
deux points de U.
1. Soit ∆ une droite de D. Démontrer que ∆ admet au moins une équation à coefficients dans F.
2. Soit Γ un cercle de C . Démontrer que Γ admet au moins une équation à coefficients dans F.
3. Soient ∆1 , ∆2 deux droites distinctes de D sécantes en un point M . Démontrer
que M ∈ U.
4. Soit ∆ une droite de D et Γ un cercle de C possédant au moins un point commun M .
Démontrer que :
• ou bien M ∈ U,
• ou bien les coordonnées de M appartiennent à un corps G qui est une extension quadratique de F.
5. Que peut-on dire d’un point M commun à deux cercles distincts de C ?
4 Construction à la règle et au compas
On note, dans R2 , O = (0, 0) et I = (1, 0).
Soit E un ensemble de points de R2 . Avec la règle et le compas, on trace des droites
et des cercles en utilisant deux points de E. Les points d’intersection obtenus sont
alors des points constructibles à partir de E.
3
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On dira qu’un point M est constructible s’il existe une suite finie de points (M 1 , . . . , M n )
telle que M = M n , M 1 est construit à partir de O et I et pour tout i ∈ {2, . . . , n} M i est
construit à partir de l’ensemble {O, I , M 1 , . . . , M i −1 }.
Un nombre réel est constructible s’il est l’une des coordonnées d’un point constructible.
1. Montrer que :
(a) Si A, B,C sont trois points constructibles, alors le point D tel que A, B,C , D
soit un parallélogramme est constructible.
(b) Le point J = (0, 1) est constructible.
(c) Les points à coordonnées entières sont constructibles.
2.
(a) Soit M un point constructible. Montrer qu’il existe une suite finie de souscorps de R, (F 0 , . . . , F n ) vérifiant :

 Q = F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fn
∀i , 0 ≤ i ≤ n − 1, F i +1 est une extension quadratique de F i

Les coordonnées de M appartiennent à F n
Une telle suite sera appelée « suite d’extensions quadratiques » et abrégée
en s.e.q.
En déduire que la dimension de F n sur Q est 2n .
(b) Démontrer que si α est un réel tel que deg(αp; Q) n’est pas une puissance
3
de 2, alors α n’est pas un réel constructible. 2 est-il constructible ?
3. Démontrons la réciproque.
(a) Montrer, sans oublier de faire un dessin, que :
• si α et β sont des réels constructibles, il en est de même de α − β et
β 6= 0.
p
• si α est un réel positif constructible, il en est de même de α.
α
,
β
(b) Soit Q = F 0 ⊂ F 1 ⊂ . . . ⊂ F n une s.e.q. Montrer que tous les réels de F n sont
constructibles.
2π
4. Montrer que cos
est racine d’un polynôme à coefficients entiers, en utilisant
5
l’expression de cos(5θ) en fonction de cos(θ).
³
2π ´
Déterminer deg cos
;Q .
5
5. Démontrer que le pentagone régulier inscrit dans le cercle unité de centre O et
passant par I est constructible.
4
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5 Un réel non constructible vérifiant deg(r ; Q) = 4
Soit P un polynôme à coefficients entiers : P (x) = α0 + · · · + αn x n avec α0 αn 6= 0.
a
1. Soit un rationnel irréductible, racine de P . Démontrer que a divise α0 et que
b
b divise αn .
On suppose désormais que P (x) = x 4 − 4x + 2.
2. Démontrer que P n’admet aucune racine rationnelle mais exactement deux racines réelles r 1 et r 2 .
3. Démontrer qu’il existe (a, b, c, d ) ∈ R4 tels que :
P (x) = (x 2 + bx + c)(x 2 + cx + d )
4. Démontrer que, pour toute factorisation du type ci-dessus, le réel t = b + d est
racine d’un polynôme de degré 3, que l’on précisera. En déduire que t n’est pas
rationnel et déterminer deg(t ; Q).
5. Démontrer que P est irréductible sur Q et en déduire deg(r i ; Q) pour i ∈ {1, 2}.
6. Démontrer qu’au moins un des deux réels r 1 , r 2 n’est pas constructible.
5
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