Complexes

TS. Exercices série 2 - Complexes
Complexes
→
− →
−´
Dans tous les exercices on considère un repère orthonormé O ; u , v .
³
1
À l’aide de la figure ci-contre :
1. Donner les formes trigonométrique puis algébrique
des affixes a, b et c des points A, B et C.
A
2. Placer le point A0 d’affixe a 0 = a × b.
3. Placer le point B0 d’affixe b 0 =
1
.
b
4. Placer le point C0 d’affixe c 0 =
c
.
a
C
B
2
1.
a. Rappeler les propriétés du module et d’un argument du produit de deux nombres complexes
b. Démontrer alors que pour tout nombre complexe z non nul et pour tout entier naturel n on a :
¯ n¯
¡ ¢
¯z ¯ = |z|n et arg z n = n × arg(z) [2π]
p
p
6
2
−
i.
2. Application : Soit z =
2
2
a. Déterminer la forme trigonométrique de z
b. Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique de z 9 .
3
Soient A d’affixe a = 2 + i et B d’affixe b = −2 + 4i.
b
a
2. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer une relation simple entre les modules de a et de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
1. Déterminer les formes algébrique et trigonométrique de
3. Déterminer une relation simple entre les arguments de a et de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
4
p
µ
¶
p
3
5
+ + 2 3 i.
2
2
b
1. Déterminer les formes algébrique et trigonométrique de
a
2. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer une relation simple entre les modules de a et de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
Soient A d’affixe a = 4 + 5i et B d’affixe b = 2 − 5
3. Déterminer une relation simple entre les arguments de a et de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
5
p
On donne z 1 = 5 − 5i et z 2 = 4 3i − 4
1. Déterminer la forme trigonométrique de : z 1 et z 2
z1
2. En déduire les formes trigonométriques de z 1 z 2 ;
; −z 1 ; iz 1 ; −iz 2
z2
µ ¶
1
3. Déterminer les formes trigonométrique puis algébrique de (z 2 )3 ;
z1
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1
n
TS. Exercices série 2 - Complexes
6
³
→
− →
−´
TP avec le logiciel GeoGebra - Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; u , v .
On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M0 d’affixe :
Z = iz 2 + 2z + 2i
• Étude graphique :
1. Construire M un point « libre » d’affixe z (cliquer sur l’icône nouveau point, dérouler alors le menu, choisir Nombre
complexe . . . ) construire son image Z par f .
2. Construire les points R d’affixe 3 et T d’affixe 6 + 11i.
En amenant le point M sur R, que constate-t-on ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
Construire le point S d’affixe − i . Quelle est son image S 0 par f ?
2
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Soit (E1 ) l’ensemble des points images de l’axe des abscisses par f .
(placer un point libre N sur l’axe des abscisses, créer son image N0 et demander la trace de N0 )
Conjecture 1 :
L’ensemble (E1 ) semble être : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une équation de (E1 ) semble être : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soit (E2 ) l’ensemble des points images de l’axe des ordonnées par f .
Conjecture 2 :
Décrire précisément l’ensemble (E2 ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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• Justifications mathématiques des conjectures :
R
R
1. On pose z = x + iy avec x ∈ et y ∈ .
Déterminer, en fonction de x et y, les parties réelle X et imaginaire Y de Z.
On pourra vérifier ses calculs avec un logiciel de calcul formel ou Xcas en ligne.
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2. Soit N d’affixe z un point de l’axe des abscisses et N0 son image par f . En donner son affixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exprimer alors Y en fonction de X. Que vient-on de prouver ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Soit P d’affixe z un point de l’axe des ordonnées et P 0 son image par f . Donner son affixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a. Que peut-on en conclure pour P 0 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. Prouver que Y 6 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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c. Que vient-on de prouver ?
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• Prolongements (à faire à la maison) :
1. Pour la beauté ! (aucune justification n’est demandée)
Construire et imprimer l’image du cercle trigonométrique par f .
2. Pour chercher !
Déterminer les affixes de tous les points invariants par f , c’est-à-dire vérifiant f (z) = z.
m
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