Complexes

TS. Exercices série 2- Complexes Complexes
Dans tous les exercices on considère un repère orthonormé ³O ; −→ u,−→ v´.
1À l’aide de la figure ci-contre :
1. Donner les formes trigonométrique puis algébrique
des affixes a,bet cdes points A,B et C.
2. Placer le point A0d’affixe a0=a×b.
3. Placer le point B0d’affixe b0=1
b.
4. Placer le point C0d’affixe c0=c
a.
A
B
C
2
1. a. Rappeler les propriétés du module et d’un argument du produit de deux nombres complexes
b. Démontrer alors que pour tout nombre complexe znon nul et pour tout entier naturel non a :
¯
¯zn¯ ¯=|z|net arg¡zn¢=n×arg(z) [2π]
2. Application : Soit z=p6
2−p2 2i .
a. Déterminer la forme trigonométrique de z
b. Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique de z9.
3Soient A d’affixe a=2+i et B d’affixe b=−2+4i.
1. Déterminer les formes algébrique et trigonométrique de b
a
2. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer une relation simple entre les modules de aet de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
3. Déterminer une relation simple entre les arguments de aet de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
4Soient A d’affixe a=4+5i et B d’affixe b=2−5p3
2+µ5 2+2p3¶i.
1. Déterminer les formes algébrique et trigonométrique de b
a
2. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer une relation simple entre les modules de aet de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
3. Déterminer une relation simple entre les arguments de aet de b.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
5On donne z1=5−5i et z2=4p3i−4
1. Déterminer la forme trigonométrique de : z1et z2
2. En déduire les formes trigonométriques de z1z2;z1
z2;−z1; iz1;−iz2
3. Déterminer les formes trigonométrique puis algébrique de (z2)3;µ1
z1¶
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TS. Exercices série 2- Complexes
6TP avec le logiciel GeoGebra - Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ³O ; −→ u,−→ v´.
On considère l’application fqui, à tout point M d’affixe z, associe le point M0d’affixe :
Z=iz2+2z+2i
•Étude graphique :
1. Construire M un point « libre » d’affixe z(cliquer sur l’icône nouveau point, dérouler alors le menu, choisir Nombre
complexe ...) construire son image Z par f.
2. Construire les points R d’affixe 3 et T d’affixe 6 +11i.
En amenant le point M sur R, que constate-t-on ? ...................................................................
Preuve : ...............................................................................................................
.........................................................................................................................
Construire le point S d’affixe −1
2i . Quelle est son image S0par f?
.........................................................................................................................
Soit (E1)l’ensemble des points images de l’axe des abscisses par f.
(placer un point libre Nsur l’axe des abscisses, créer son image N0et demander la trace de N0)
Conjecture 1 :
L’ensemble (E1)semble être : ........................................................................................
Une équation de (E1)semble être : ..................................................................................
Soit (E2)l’ensemble des points images de l’axe des ordonnées par f.
Conjecture 2 :
Décrire précisément l’ensemble (E2):...............................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
•Justifications mathématiques des conjectures :
1. On pose z=x+iyavec x∈et y∈.
Déterminer, en fonction de xet y, les parties réelle X et imaginaire Y de Z.
On pourra vérifier ses calculs avec un logiciel de calcul formel ou Xcas en ligne.
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
2. Soit N d’affixe zun point de l’axe des abscisses et N0son image par f. En donner son affixe. .......................
Exprimer alors Y en fonction de X. Que vient-on de prouver ? ......................................................
.........................................................................................................................
3. Soit P d’affixe zun point de l’axe des ordonnées et P0son image par f. Donner son affixe. .........................
a. Que peut-on en conclure pour P0?.............................................................................
b. Prouver que Y 63. ..............................................................................................
...................................................................................................................
...................................................................................................................
c. Que vient-on de prouver ?
...................................................................................................................
•Prolongements (à faire à la maison) :
1. Pour la beauté ! (aucune justification n’est demandée)
Construire et imprimer l’image du cercle trigonométrique par f.
2. Pour chercher !
Déterminer les affixes de tous les points invariants par f, c’est-à-dire vérifiant f(z)=z.
m2