ENS 1995 page 1 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4

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COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES
Dur´ee : 4 heures
Introduction
De mani`ere informelle, une fonction ´el´ementaire est une fonction d´efinie sur un ouvert de Rou de C
et qui «s’exprime par composition »`a l’aide de la fonction exponentielle (ez=P
n≥0
zn
n), de la fonction
logarithme (log (1 + z) = P
n≥1
(−1)n−1zn
n), des op´erations rationnelles (somme, produit, quotient) et
d’op´erations alg´ebriques (telles que les racines n-i`emes). Par exemple, les fonctions :
cos (z) = eiz +e−iz
2, sin (z) = eiz −e−iz 2i,
z
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v
u
u
tsin z2
1 + z
e√log z, arctan (z) = log (1 + iz)−log (1 −iz)
2i
sont ´el´ementaires. Il est plausible, d’apr`es cette vague d´efinition, que la d´eriv´ee d’une fonction ´el´ementaire
est encore ´el´ementaire et il est bien connu qu’une fraction rationnelle `a coefficients r´eels ou complexes
admet comme primitive une fonction ´el´ementaire. Par contre, il existe des fonctions ´el´ementaires tr`es
simples n’ayant pas de primitive qui soit ´el´ementaire : c’est le cas par exemple de la fonction z7→ ez2;
il est donc impossible de calculer «la »primitive d’une telle fonction, du moins avec les r`egles du jeu
habituel.
Le but de l’´epreuve consiste d’une part `a formaliser le concept de fonction ´el´ementaire et d’autre part
`a prouver un crit`ere dˆu en partie `a Liouville (1835), am´elior´e par Ostrowski (1946) permettant de
tester si certaines fonctions admettent comme primitive une fonction ´el´ementaire. Le cadre de cette
´etude est purement alg´ebrique, la notion de primitive ´etant consid´er´ee comme inverse de la d´eriv´ee :
on dispose d’un corps de base K(penser au corps des fractions rationnelles sur Rou C), d’un surcorps
Ede K(on admettra ici que l’ensemble des fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere sur un ouvert
connexe de Rou Cest un anneau int`egre dont on peut consid´erer le corps des fractions) et d’un
op´erateur de d´erivation D:E→Esatisfaisant aux propri´et´es habituelles (c.f. la suite). Il est alors
possible de d´efinir de mani`ere rigoureuse ce que veut dire «f∈Eest ´el´ementaire sur K»et de
donner dans certains cas un crit`ere permettant d’affirmer que f∈Eadmet une primitive g∈E, i.e.
D(g) = f, ´el´ementaire sur K.
Partie 0 : Pr´eliminaires
Nous supposerons que tous les corps consid´er´es dans le probl`eme sont commutatifs et contiennent Q;
en particulier, si xest ´el´ement d’un tel corps et n∈Z\ {0}, alors nx = 0 implique x= 0. On rappelle
que si Kest un corps (commutatif), l’anneau des polynˆomes K[X] est un anneau principal.
•Soit Eun surcorps d’un corps Kc’est-`a-dire un corps contenant K; un ´el´ement x∈Eest
alg´ebrique sur Ks’il existe P∈K[X]\ {0}tel que P(x) = 0 ; il est dit transcendant sur
Kdans le cas contraire. Pour x∈E, on d´esigne par K(x) le plus petit sous-corps de E contenant
Ket x.
1. Si x∈Eest alg´ebrique sur K, montrer l’existence et l’unicit´e d’un polynˆome unitaire Px∈
K[X] tel que, pour Q∈K[X], on ait l’´equivalence Q(x)=0⇔Px|Q; montrer alors que
K(x) =
n−1
L
i=0
Kxio`u n= deg Px; en particulier dimKK(x) = n.
R´eciproquement, si K(x) est de dimension finie sur K, montrer que xest alg´ebrique sur K
(consid´erer les puissances de xdans le K-espace vectoriel K(x)).

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Le polynˆome Pxest appel´e le polynˆome minimal de xsur K.
2. Si x∈Eest transcendant sur K, montrer que l’application K(X)→E, R 7→ R(x) induit un
isomorphisme du corps des fractions rationnelles K(X) sur le corps K(x).
Partie I : Les d´erivations et leurs propri´et´es ´el´ementaires
•Une d´erivation sur un corps Kest une application D:K→Ksatisfaisant `a :
D(u+v) = D(u) + D(v), D(uv) = D(u)v+D(v)u,u, v ∈K.
•Un corps diff´erentiel Kest un corps muni d’une d´erivation D; on note Kcst ={u∈K|D(u) = 0}
que l’on appelle le sous-corps des constantes.
1. Que vaut D(1) ? Pour (u, v)∈K×K∗, exprimer D(u/v) en fonction de u,v,D(u), D(v).
Question analogue pour D(un) avec (u, n)∈K×Nou (u, n)∈K∗×Z.
V´erifier que Kcst est bien un sous-corps de K. Quelle propri´et´e poss`ede la «d´eriv´ee logarith-
mique »K∗→Kqui `a uassocie D(u)/u ?` A quelle condition a-t-on D(u)/u =D(v)/v ?
2. Si P=P
i
aiXi∈K[X], on note PDle polynˆome P
i
D(ai)Xiet P0le polynˆome d´eriv´e de Pau
sens habituel i.e. P0=P
i
iaiXi. Pour u∈K, v´erifier que D(P(u)) = P0(u)D(u) + PD(u).
3. On rappelle qu’un polynˆome `a coefficients dans Kest sans facteur carr´e s’il est produit de po-
lynˆomes irr´eductibles distincts c’est-`a-dire si les exposants intervenant dans sa d´ecomposition en
facteurs premiers sont tous ´egaux `a 1. Soit Dune d´erivation sur le corps des fractions ration-
nelles K(X) v´erifiant D(K[X]) ⊂K[X]. On consid`ere une famille finie (Qj)j∈Jde polynˆomes
non nuls de K[X]sans facteur carr´e et premiers entre eux deux `a deux et une ´egalit´e :
P
j∈J
Pj
Qj
=DP
Q,Pj, P ∈K[X], Q∈K[X]\ {0}, pgcd (P, Q) = 1.
Montrer que Qdivise D(Q). Montrer ensuite que si j∈Jest tel que pgcd (Qj, Q) = 1, alors
Qj|Pj.
Partie II : D´erivation sur K(X)de type logarithmique
•Un surcorps diff´erentiel Ed’un corps Kest un surcorps de Kmuni d’une d´erivation Dv´erifiant
D(K)⊂Ket ayant mˆeme sous-corps des constantes que K(i.e. si v∈Ev´erifie D(v) = 0 alors
v∈K).
On consid`ere dans cette partie une d´erivation Dsur le corps des fractions rationnelles K(X) telle que
K(X) est un surcorps diff´erentiel de Ket D(X)∈K.
1. Soit P=P
i
aiXi∈K[X] ; `a l’aide de l’expression de D(P) en fonction de D(X), PD=
P
i
D(ai)Xiet P0(c.f. question I.2), montrer que D(P)∈K[X] et comparer son degr´e avec celui
de P.` A quelle condition a-t-on deg D(P)<deg P?
2. Quels sont les polynˆomes unitaires Q∈K[X] tels que Qdivise D(Q) ? les polynˆomes P∈K[X]
tels que D(P)∈K?
3. Soit Rune fraction rationnelle de K(X) telle que D(R)∈K; montrer R=cX +gavec c∈Kcst
et g∈K.
•Dans un corps diff´erentiel K, on appelle somme de Liouville dans Ktout ´el´ement de Kde
la forme :
D(g) +
n
P
i=1
ci
D(fi)
fi
,g∈K,ci∈Kcst,fi∈K\ {0}.

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4. Soit f∈K; on suppose que fest une somme de Liouville dans K(X). Montrer qu’il existe
c∈Kcst tel que f−cD(X) soit une somme de Liouville dans K. Pour cela, on montrera, en
partant de la d´efinition d’une somme de Liouville dans K(X), que l’on peut ´ecrire fsous la
forme :
f=D(R) + P
i∈I
ci
D(fi)
fi
+P
j∈J
dj
D(Qj)
Qj
,
avec R∈K(X), fi∈K\ {0},Qj∈K[X]\ {0},ci, dj∈Kcst,
les Qj´etant des polynˆomes distincts de K[X], de degr´e non nul, irr´eductibles e t unitaires puis
on utilisera la question I.3.
•Dans un corps diff´erentiel K, on dit que v∈Kest un logarithme de u∈K\ {0}si
D(v) = D(u)/u (penser `a la formule (log u)0=u0/u).
•Un surcorps diff´erentiel Ede Kest dit logarithmique s’il est de la forme E=K(v) o`u v∈E
est un logarithme d’une fonction u∈K\ {0}.
5. Soit E=K(v) un surcorps diff´erentiel logarithmique, v´etant suppos´e transcendant sur K.
Montrer le th´eor`eme de descente de Liouville : si f∈Kest une somme de Liouville dans
E, alors fest une somme de Liouville dans K. Pour cela, on transportera la d´erivation de E
en une d´erivation de K(X) `a l’aide de l’isomorphisme de corps K(X)↔E(c.f. la question 0.2)
et on appliquera la question pr´ec´edente.
Partie III : D´erivation sur K(X)de type exponentiel
On consid`ere dans cette partie une d´erivation Dsur le corps des fractions rationnelles K(X) telle que :
K(X) est un surcorps diff´erentiel de K,D(X)
X∈K.
La premi`ere assertion signifie donc que D(K)⊂Ket K(X)cst =Kcst (en particulier D(X)6=0).
1. Soit P∈K[X] ; montrer que D(P)∈K[X] et comparer son degr´e avec celui de P.
2. Soit P∈K[X] ; montrer que Pdivise D(P) si et seulement si Pest de la forme aXn, avec
a∈K.
3. Soit R∈K(X) une fraction rationnelle ; montrer que si D(R)∈K[X], alors soit R∈Kcst soit
Rest un polynˆome, de mˆeme degr´e que D(R) (en particulier, si D(R)∈Kalors R∈K).
4. Soit f∈K; on suppose que fest une somme de Liouville dans K(X). Montrer qu’il existe
c∈Kcst tel que f−cD(X)/X soit une somme de Liouville dans K. Pour cela, on raisonnera
comme dans la question II.4.
•Dans un corps diff´erentiel K, on dit que v∈K\ {0}est une exponentielle de u∈Ksi
D(v)/v =D(u) (penser `a la formule (eu)0=u0eu).
•Un surcorps diff´erentiel Ede Kest dit exponentiel s’il est de la forme E=K(v) o`u vE est
une exponentielle d’un ´el´ement u∈K.
5. Soit E=K(v) un surcorps diff´erentiel exponentiel, v´etant suppos´e transcendant sur K.´ Enoncer
et montrer un th´eor`eme de descente de Liouville analogue `a celui de la question II.5.
Partie IV : Norme, trace et descente dans un surcorps de dimension finie
Dans cette partie, Kd´esigne un corps (rappel : Kest commutatif et contient Q, en particulier il
est infini) ; si uest un endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension n, on note χu(T) =
det (T IE−u)∈K[T] le polynˆome caract´eristique de u, Ωu(T)∈K[T] le polynˆome χu(T)−χu(0)
Tet
u#l’endomorphisme (−1)n−1Ωu(u).

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1. Soit Ala matrice de udans une base de E; montrer que la matrice A#de u#dans cette base
est la transpos´ee de la matrice des cofacteurs de A(consid´erer d’abord le cas o`u u est inversible ;
consid´erer ensuite l’endomorphisme u−λIEpour λ∈K).
2. Soit Eun surcorps de Kde dimension finie comme K-espace vectoriel ; on d´efinit deux applica-
tions tr : E→K(la trace) et N:E→K(la norme) par :
tr (x) = tr (mx), N(x) = det (mx) (mx=y7→ xy est la multiplication par xdans E).
V´erifier que la trace est K-lin´eaire ; que vaut tr (λ) pour λ∈K? V´erifier que N(xy) = N(x)N(y)
pour x, y ∈E; que vaut N(λ) pour λ∈K?
Soit x∈E; montrer qu’il existe un unique x#∈Etel que (mx)#=mx#. V´erifier que x#x=
xx#=N(x).
3. Soit Dune d´erivation sur K; pour A= (ai,j )∈Mn(K), on note D(A) la matrice (Dai,j ).
Montrer que D(det A) = tr A#D(A).
4. Soit Dune d´erivation sur Ev´erifiant D(K)⊂K. Montrer que tr (D(x)) = D(tr (x)) pour x∈E.
Pour cela, on fixe une base B={e1, e2, . . ., en}de Esur K(n= dimKE) et on note ∆ : E→E
l’unique application K-lin´eaire d´efinie par ∆(ei) = D(ei) (attention, Dn’est pas K-lin´eaire) ;
soit (ai,j ) la matrice de mxdans Bet mD
x:E→El’application K-lin´eaire de matrice (Dai,j ).
V´erifier que :
(∗)mx◦∆ + mD(x)= ∆ ◦mx+mD
x
puis conclure.
5. Montrer que tr x#D(x) =N(N(x)) (on pourra ´eventuellement utiliser une base B=
{e1, e2, . . ., en}de Eet la relation (∗) de la question pr´ec´edente). En d´eduire que pour x∈E\{0}:
D(N(x))
N(x)= tr D(x) x.
6. ´ Enoncer un th´eor`eme de descente pour un surcorps diff´erentiel Ede Kde dimension finie.
Partie V : Le th´eor`eme de Liouville/Ostrowski
1. Soit Eun surcorps diff´erentiel de K; si x∈Eest alg´ebrique sur K, montrer que D(K(x)) ⊂
K(x).
•Un surcorps diff´erentiel Ede Kest dit ´el´ementaire sur Ks’il existe une suite (Ki)0≤i≤mde
sous-corps de Etelle que :
K=K0⊂K1⊂K2⊂. . . ⊂Km−1⊂Km=E
o`u Ki+1 est ou bien de dimension finie sur Kiou bien de la forme Ki(vi+1), vi+1 ∈Ki+1 ´etant
soit un logarithme soit une exponentielle d’un ´el´ement de Ki. On rappelle que Eet Kont
mˆeme sous-corps de constantes.
2. Soit fappartenant `a un corps diff´erentiel K; on suppose que fadmet une primitive dans un
surcorps diff´erentiel E´el´ementaire sur K, i.e. il existe g∈Etel que D(g) = f. Montrer que f
est une somme de Liouville dans K: c’est le th´eor`eme de Liouville/Ostrowski (il ram`ene
une propri´et´e ayant lieu dans E`a une propri´et´e ayant lieu dans K).
Partie VI : Zet2dtn’est pas une fonction ´el´ementaire
Soit Kun corps diff´erentiel et u∈K; afin d’all´eger les notations, on note (de mani`ere abusive) eu
tout ´el´ement appartenant `a un surcorps diff´erentiel de Kqui est une exponentielle de u. Idem pour
les logarithmes avec la notation log (u).

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1. On reprend les hypoth`eses figurant au d´ebut de la partie III. Soit f∈K; montrer que Xf est une
somme de Liouville dans K(X) si et seulement si il existe g∈Ktel que f=D(g)+gD(X)/X.
Si de plus, Kest ´egal `a un corps de fractions rationnelles k(T) (`a coefficients dans un corps k)
muni de la d´erivation habituelle, montrer que si fet D(X)/X appartiennent `a k[T], alors g∈k[T]
(i.e. si fet D(X)/X sont des polynˆomes en T, alors gest un polynˆome en T).
2. Soit Eun surcorps diff´erentiel de K; on consid`ere un ´el´ement v∈Etelle que D(v)∈K(c’est le
cas par exemple de v= log (u) pour u∈K\ {0}; montrer que si v /∈K, alors vest transcendant
sur K. De mani`ere analogue, pour u∈K, montrer que euest transcendant sur Ksauf dans le
cas o`u il existe un entier n > 0 tel que nu soit un logarithme d’un ´el´ement de K(dans les deux
cas, on pourra raisonner par l’absurde et consid´erer le polynˆome minimal de vsur K).
3. On consid`ere le corps diff´erentiel «habituel »K=C(T) ; montrer qu’une fraction rationnelle
de C(T)non constante n’admet pas de logarithme dans C(T). En d´eduire que si u∈C(T) n’est
pas une constante, alors euest transcendante sur C(T).
4. En d´eduire le crit`ere de Liouville : soient f∈C(T), u∈C(T)\C; alors feuadmet une primitive
dans un surcorps diff´erentiel ´el´ementaire de C(T) si et seulement si il existe g∈C(T) tel que
f=g0+gu0. De plus, si f,usont des polynˆomes, alors gest un polynˆome et deg u≤1 + deg f.
5. En d´eduire que Zet2dtn’est pas une fonction ´el´ementaire i.e. n’appartient `a aucun surcorps
diff´erentiel ´el´ementaire de C(T).