Idée de corrigé

Analyse
I. Questions de cours.
I-1-a. Le nombre r´eel x y est strictement positif, il poss`ede un inverse strictement positif.
La relation d’ordre strict «<»est compatible avec le produit par un r´eel strictement positif :
(0 < x y et x < y) =
⇒x×1
x y < y ×1 x y
Apr`es les simplifications d’usage, nous obtenons :
(0 < x y et x < y) =⇒1
y<1 x
I-1-b. La fonction f:x7−→ |x|est une fonction d´efinie et continue sur tout R.
En 0elle admet des d´eriv´ees `a gauche et `a droite diff´erentes :
f0(0−) = lim
x→0
x<0−x
x=−1 mais f0(0+) = lim
x→0
0<x x
x= 1.
La fonction «valeur absolue », continue en 0, n’est pas d´erivable pour cette valeur.
I-1-c. Soit une application f:R−→ R, continue, d´erivable et paire.
Nous consid´erons deux points de la droite r´eelle, x1et x2, sym´etriques par rapport `a l’origine ( x2=−x1)
et hun nombre r´eel, nous avons :
f(x2+h)−f(x2)
h=f(x1−h)−f(x1) h
=−f(x1−h)−f(x1)
−h
En passant `a la limite quand htend vers 0, nous obtenons : f0(x2) = −f0(x1).
Si la fonction fest paire, alors sa d´eriv´ee f0est impaire.
I-2. Soit nun nombre entier naturel et n2son carr´e.
Si nous supposons que nest un nombre impair, nous pouvons ´ecrire
n= 2 ×k+ 1, k ∈N
Nous en d´eduisons l’expression de n2:
n2= 2 ×(2 k2+ 2 k) + 1,(2 k2+ 2 k)∈N
Si nest un nombre impair, n2est un nombre impair.
L’inf´erence contrapos´ee s’´ecrit :
Si n2est un nombre pair, alors le nombre nest pair.
I-3. Le nombre nest un entier naturel non nul.
Pour n= 1, nous pouvons ´ecrire (2 ×1−1) = 12.
Pour n= 2, un calcul direct permet d’´etablir l’´egalit´e 1 + (2 ×2−1) = 22.
Nous supposons la proposition (1) ´etablie pour n=p:
n
X
k=1
(2 k−1) = n2(1)
et nous calculons la mˆeme expression pour n=p+ 1 :
p+1
X
k=1
(2 k−1) =
p
X
k=1
(2 k−1) + (2 p+ 1)
=p2+ 2 p+ 1
Bnal0305, page 1/3 - 28 f´evrier 2005

Nous d´ecouvrons l’expression d’une identit´e remarquable qui donne :
p+1
X
k=1
(2 k−1) = (p+ 1)2
et retrouvons l’expression de la proposition (1) `a l’ordre n=p+ 1.
La proposition (1) a ´et´e ´etablie directement pour n= 1 et n= 2.
Nous avons d´emontr´e que, si elle est vraie pour n=p, elle est vraie `a l’ordre n=p+ 1.
Nous en concluons que la proposition (1) est vraie pour tout entier naturel nnon nul :
n
X
k=1
(2 k−1) = n2,∀n∈N∗
II-1. Soit la suite (un) d´efinie pour tout entier naturel net pour tout nombre r´eel xnon nul par :
u0= 3
un+1 =f(un)avec f(x) = 4x−1
xpour tout r´eel xnon nul.
La fonction fest monotone croissante sur ]0,+∞[. Nous v´erifions la proposition :
3≤x=⇒4−1
3≤f(x) =⇒3< f (x)
Une r´ecurrence ´el´ementaire nous permet d’en d´eduire que tous les termes de la suite (un) sont ´el´ement de
l’intervalle [3,+∞[, et donc strictement positifs.
La fonction fest continue sur ]0,+∞[, si la suite (un) admet une limite l, cette limite est solution de
l’´equation f(x) = x.
Les deux solutions de cette ´equation sont x1= 2 −√3 et x2= 2 + √3, ce qui exclut les valeurs ( 4 et 1
4)
propos´ees par l’´enonc´e.
La limite infinie s’exclut aussi, puisque lim
x→+∞
f(x) = 4.
Seule la valeur x2= 2 + √3, sup´erieure `a trois, pourrait convenir.
La fonction fest monotone croissante sur ]0,+∞[. Nous v´erifions la proposition :
x≤x2=
⇒f(x)≤f(x2) =
⇒f(x)≤x2
Une r´ecurrence ´el´ementaire nous permet d’en d´eduire que tous les termes de la suite (un) sont ´el´ement de
l’intervalle [3, x2].
La suite (un) est donc major´ee par x2= 2 + √3.
La croissance de la suite (un) est d´etermin´ee par le signe de la diff´erence un+1 −un:
un+1 −un=1
un
(−u2
n+ 4 un−1)
Le signe de la diff´erence un+1 −unest celui de la fonction trinˆome x7−→ −x2+ 4 x−1.
Les racines de ce trinˆome sont les valeurs x1et x2pr´ec´edentes, ces valeurs v´erifient x1<3≤un≤x2et
la diff´erence un+1 −unest donc positive.
Nous concluons que la suite (un) est croissante, major´ee par x2et convergente vers x2= 2 + √3.
II-2. On d´esigne par (E) l’ensemble des points de coordonn´ees (x, y) tels que : a≤x≤πet 0 ≤y≤sin(x).
La fonction sinus ´etant positive sur l’intervalle [0, π], et donc sur le segment [a, π] ; l’aire de (E) est ´egale
`a la valeur de l’int´egrale d´efinie A(a) = Zπ
a
sin(t) dt= cos(a) + 1.
L’aire de l’ensemble (E) est ´egale `a 1
2pour la valeur a= Arccos −1 2=2π 3.
Bnal0305, page 2/3 - 28 f´evrier 2005

II-3. Les d´es ´etant suppos´es parfaits, nous admettons le principe d’´equiprobabilit´e des ´ev`enements ´el´ementaires.
La question se ram`ene `a un probl`eme classique de combinatorique :
Soit Nun entier strictement positif et kun entier naturel inf´erieur strictement `a N, le nombre, m(N, k),
des couples (a, b) qui v´erifient les trois conditions :
b−a=k
a∈[1..N]
b∈[1..N]
prend la valeur m(N, k) = N−k.
Pour knon nul, le nombre, n(N, k), des couples (a, b) qui v´erifient les trois conditions :
|b−a|=k
a∈[1..N]
b∈[1..N]
prend la valeur n(N, k) = 2 ×(N−k).
Pour k= 0, nous avons bien sˆur n(N, 0) = m(N, 0).
Le nombre, f(N, e), des couples (a, b) dont l’´ecart est inf´erieur ou ´egal `a la valeur enti`ere eest ainsi :
f(N, 0) = N
f(N, e) = m(N, 0) + 2
e
X
k=1
m(N, k) ( 1 ≤e≤N)
=N+ 2
e
X
k=1
(N−k)
Un calcul ´el´ementaire nous permet de r´esumer ceci en :
(f(N, 0) = N
f(N, e) = e×(2 N−e−1) + N( 0 < e < N )
Deux joueurs Aet Blancent l’un apr`es l’autre et une seule fois un d´e `a six faces num´erot´ees de 1`a 6, non
pip´e. Nous retrouvons le mod`ele pr´ec´edent pour N= 6.
Le joueur Agagne si l’´ecart entre les deux r´esultats est 0,1ou 2, nous prenons donc : e= 2.
Le nombre d’´ev`enements favorables ( au joueur A) est ainsi : f(6,2) = 24.
Le nombre des possibles est bien sˆur N2= 36.
La probabilit´e que le joueur Agagne est ´egale au quotient des favorables par les possibles :
p(Agagne) = 2
3,p(Bgagne) = 1 3.
b
a
0 1 2 3 4 5
10 1 2 3 4
2 1 0 1 2 3
3 2 1 012
4 3 2 1 0 1
5 4 3 2 1 0
Pour une petite valeur de Non peut tenter une
repr´esentation graphique du probl`eme.
L’univers des possibles est repr´esent´e ici par un
diagramme cart´esien.
Pour chaque ´ev`enement ´el´ementaire, l’´ecart e
est not´e, en noir pour a≤b, en rouge pour
b < a.
La zone gris´ee repr´esente le sous ensemble des
´ev`enements favorables au joueur A.
Bnal0305, page 3/3 - 28 f´evrier 2005