Devoir de Synthèse Mathématiques 4ème Math

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EXERCICE 1 :( 5 points)
1) On considère dans l’équation  :         
est un nombre complexe diffèrent de
a) Vérifier que    est une solution de
b) Déduire l’autre solution
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,
, on
considère les points ; et d’affixes respectives :        ;
est un nombre complexe diffèrent de
On désigne par l’image de par la rotation de centre et d’angle
et le milieu
de 
a) Montrer que l’affixe du point est : 
b) Calculer 
déduire que    et que   
c) Soit le point d’affixe


Montrer que 


 et que



d) Déduire que est le point d’intersection de  et 
EXERCICE 2 : ( 7 points)
Soit  un carré de centre tel que 

)
; On désigne par ; et les
milieux respectifs de  et H le projeté orthogonal de A sur (DI).
Lycee Bir Ali 2 DEVOIR DE SYNTHESE 1 Prof : Sgaier A
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Epreuve : Mathematiques Classe : 4 Math
Le 12/12/2023 Durée : 3h
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1) a)Montrer qu’il existe un unique déplacement tel que    et  
b) Montrer que est la rotation de centre et d’angle
2) Soit  


a) Déterminer  ; déduire que est la rotation de centre et d’angle
)
b) Montrer que et coïncident en un seul point que l’on précisera
3) Soit   
a) Déterminer  puis caractériser
b) Soit    montrer que  est un parallélogramme
c) Soit   ; Montrer que ;  et sont alignés
d) Soit   
Caractériser  ; déduire que est le milieu de 
4) Soit l’antidéplacement tel que    et   
a) Montrer que est une symétrie glissante dont on déterminera le vecteur et l’axe
b) Déterminer 
5) Soit   
a) Montrer que =
b) Déterminer la forme réduite de
EXERCICE 3 :( 8 points)
I) Soit la fonction définie sur 
par  
1) a)Montrer que réalise une bijection de 

b) Calculer 
c) On donne 
    
Montrer que est dérivable en    et calculer   
2) a) Montrer que  est dérivable sur et que  
²
b) Soit   
) où  
Calculer  , en déduire que      
)
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II) Soit la fonction définie sur par:    et  sa courbe
représentative dans un repère orthonormé (
, )
1) Montrer que 

et que 
  ; interpréter les résultats
2) a) Montrer que    : 
 déduire que    


b) Dresser le tableau de variation de
3) a) Montrer que le point I (
est un centre de symétrie de
b) Ecrire une équation de la tangente T à au point I
4) Montrer que l’équation :   admet une unique solution dans ; et que
    
5) Tracer ; et  
6) a) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle que l’on précisera
b) Justifier que est dérivable en
et calculer
)
c)Tracer  (on précisera la tangente au point d’abscisse
)
III) Soit    et la fonction définie sur    
1) Montrer que l’équation :  admet une unique solution dans et
que   
2) a)Montrer que   
 
b) Montrer que  est croissante, en déduire qu’elle est convergente
3) Montrer que 
 
4) Soit   

a) Montrer que   
b) On suppose que  
; montrer que :     
;  
Déduire que 
 
c) Déduire 

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