Word 2007

Chapitre 21 : Travail et énergie
1. Travail d’une force
1.1. Définition
Définition
Le travail(1) WAB( F ) d’une force F , lors d’un déplacement rectiligne de son point d’application du point A vers le
point B, est égal au produit scalaire de la force F par le vecteur déplacement AB :
WAB( F ) = F  AB = F  AB  cos 
= F  AB cos
 = angle entre les vecteurs F et AB
WAB ( F ) = travail (en J)
F = intensité de la force F (en N)
AB = déplacement (en m)
Remarque : le travail d’une force est nul si
-
son point d’application ne change pas au cours du temps ( A = B) ;
sa direction est perpendiculaire à celle (direction) du déplacement (voir plus loin).
1.2. Forces conservatives ou non conservatives
(2)
F
Mi
M1
Mi+1
(1)
F
A
Mn
F est une force constante sur
toute la durée du parcours
B
-
Soit une force F dont le point d’application se déplace entre les points A et B suivant la trajectoire (1)
rectiligne. Le travail de cette force sera donné par :
(1)
WAB
(F) = F  AB
-
Si maintenant le point d’application de cette force se déplace suivant une trajectoire (2) quelconque. Quel
sera le travail de F ?
n
(2)
WAB
(F) =
 dW (F) = F  AM1 + … + F  Mi Mi1 + … + F  MnB
i
1
= F  ( AM1 + … + Mi Mi1 + … + Mn B )
= F  AB

Rappel

u  v  w  u v  u w
 On constate donc que WAB (F)  WAB (F)
(1)
(2)
A RETENIR :
Lorsqu’une force est constante, son travail entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi. On dit que la
force est conservative.
1
La lettre W, utilisée pour désigner le travail, vient du mot anglais « work ».
Cas d’un solide en translation rectiligne :
Si toutes les forces sont constantes, alors :
n
W
Ai Bi
(Fi ) = WA1B1 (F1 ) + WA2B2 (F2 ) + … + WAn Bn (Fn )
1
= F1  A1B1 + F2  A2 B2 + … + Fn  An Bn
= ( F1 + F2 + …+ Fn ) AB
n
=
F
iext
 AB = F  AB
(avec F = résultante des forces extérieures appliquées au solide)
1
A RETENIR :
-
Pour un solide en translation rectiligne, la somme des travaux des forces appliquées au solide est égale au
travail de leur résultante ;
-
Si le solide est en translation rectiligne uniforme alors la résultante des forces est nulle (1ère loi de newton)
donc la somme des travaux des forces est nulle.
1.3. Travail moteur - Travail résistant
Le travail est une grandeur algébrique ( qui a un signe) :
WAB( F ) = F  AB cos
F = intensité de la force > 0
AB = distance parcourue > 0
cos  est tel que : 1 < cos  < 1
Si  < 90° (angle aigu) alors la force F favorise le déplacement :
 WAB( F ) > 0, le travail est dit moteur
Si  = 90° (angle droit) alors la force F s’oppose au déplacement :
F
AB

 WAB( F ) = 0, le travail est dit nul
Si 90° <   180° (angle obtus) alors la force F s’oppose au déplacement :
 WAB( F ) < 0, le travail est dit résistif ou résistant
1.4. Cas du poids
zB
g
Soit une balle qui roule le long d’une pente. Calculons le travail du poids de la
balle lorsque son centre d’inertie G passe d’un point A, d’altitude zA, à un point
B d’altitude zB en suivant une trajectoire quelconque.
La trajectoire n’étant pas rectiligne, calculons le travail du poids pour un
déplacement élémentaire, ainsi la portion de trajectoire correspondante sera
assimilable à un segment de droite.
zA
Pour le déplacement élémentaire AM1 , la travail du poids s’écrit :
dW1( P ) = P  AM1
Pour le déplacement Mi Mi1 , la travail du poids s’écrit : dWi ( P ) = P  Mi Mi1
Pour le déplacement Mn B , la travail du poids s’écrit : dWn( P ) = P  Mn B
Finalement, le travail du poids, lorsque le centre de gravité G va du point A au point B s’écrira :
n
WAB( P ) =
 dW (P) = P  AM1
i
+ … + P  Mi Mi1 + … + P  Mn B
1
= P  ( AM1 + … + Mi Mi1 + … + Mn B )
= P  AB
Exprimons le produit scalaire P  AB en fonction des coordonnées des deux vecteurs dans le repère orthonormé (O,
x, y) :
Rappel
 xB  xA 
0




 et
AB  yB  yA   WAB( P ) = mg (zA – zB)
P 0

  mg 
z z 


 B A 
x
 x'


 
Produit scalaire de u y par v y ' :
 
 
z 
z'
 
 
u  v  xx ' yy ' zz ' (dans un repère orthonormé)
Autre méthode :
z
A
g
zA
WAB( P ) = P  AB  P  AB  cos(P, AB)

AB
y
= P  AB  cos 
P
Or cos  =
zB
B
 WAB( P ) = P  ( zB  zA ) =  mg  (zB – zA) = mg  (zA – zB)
x
O

zB  zA
AB
Si zA > zB, le mobile descend et WAB( P ) > 0 : le poids effectue un travail moteur.
Si zA < zB, le mobile s'élève et WAB( P ) < 0 : le poids effectue un travail résistant.
Exercice : calculer le travail du poids du ballon de basket (m = 650 g) entre le point de lancer (altitude : 2,20 m) et le
panier (altitude : 3,05 m). Commenter le signe de ce résultat.
Réponse : W = – 5,42 J (travail résistant).
1.5. Cas d’une force électrique
Une particule de charge électrique q se déplace dans un champ
électrostatique uniforme E (ci-contre). Elle est soumise à une force électrique
Fe  q  E constante (donc conservative) d’intensité Fe = |q|  E.
Lors de son déplacement la force électrique exerce un travail donné par :
WAB( Fe ) = Fe  AB  Fe  AB  cos   q  E  AB  cos 
q en C
E en V.m–1
C
 WAB( Fe ) = Fe  AB  Fe  AC  Fe  CB
Or Fe  CB  Fe  CB  0
 WAB( Fe ) = Fe  AC  q  E  AC =|q|  E  AC
Rappel (1ère S) : le condensateur plan
Caractéristiques du champ électrostatique E à l’intérieur d’un condensateur :
-
Le champ est uniforme ;
Direction : orthogonale (perpendiculaire) aux plaques ;
Sens : de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée
négativement ( du «  vers le  ») ;
Sa valeur :
U  tension entre les deux plaques (en V)
d  distance entre les deux plaques (en m)
U
E
d
 E
U AC
AC

U AB
AC
E  intensité du champ (en V.m1 )
 WAB( Fe ) = |q|  UAB
A RETENIR :
Le travail d’une force électrique F exercée sur une particule électrique de charge électrique q lors de son
déplacement de A à B dans un champ électrique uniforme est :
WAB( F ) = q  UAB
Exercice : L’électron-volt, de symbole eV, est une unité d’énergie égale à la valeur absolue du travail de la force
électrique exercée sur un électron lors d’un déplacement correspondant à une tension de 1 V. Calculer la valeur d’un
électron-volt en joules.
Réponse : 1 eV = e J = 1,60218  10−19 J
1.6. Cas d’une force de frottements
Lorsqu’un solide est en mouvement sur un support ou dans un fluide, il est soumis à une force de frottements
exercée par le support (frottements solides) ou par le fluide (frottements fluides). Cette force de frottements n’est
pas conservative : le système perd de l’énergie par transfert thermique vers l’extérieur, réalisée par le travail de la
force de frottements. Le travail de cette force sur un déplacement allant de A vers B dépend du chemin emprunté.
Frottements fluides
Frottements solides
f s’oppose au déplacement du solide.
f s’oppose au déplacement du solide.
 Seule la réaction tangentielle exerce un
travail résistant.
Le travail de la force de frottements, d’intensité constante f, sur une trajectoire rectiligne est donné par :
WAB( f ) = f  AB = f  AB  cos  = – f  AB
A RETENIR :
Une force de frottements est une force non conservative.
(car  = 180°)
2. Puissance d’une force
Définition
Soit une force F qui effectue un travail WAB( F ) pendant une durée t. La puissance Pmoyenne de cette force est le
quotient du travail par la durée mise pour l’effectuer :
Pmoyenne
W (F)
 AB
t
Pmoyenne = puissance moyenne de la force F (en W)
WAB( F ) = travail de la force F sur le trajet AB (en J)
t = durée du parcourt de la force F sur le trajet AB (en s)
Remarques :
-
multiples du watt :
Le kilowatt : 1 kW = 103 W
Le mégawatt : 1 MW = 106 W
Le gigawatt: 1 GW = 109 W
-
dans l’industrie automobile, on utilise le cheval-vapeur :
1 ch = 736 W
Cas d’un solide en translation rectiligne uniforme :
Si pendant un intervalle de temps dt = tB - tA très court une force F effectue, au cours d’un déplacement très court
dl , un travail dW = F  dl très petit alors la puissance avec laquelle le travail de cette force est effectué s’appelle la
puissance instantanée :
Pinstantanée 
dWdl (F)
dt
Or dl  v  dt avec v = vitesse instantanée du point d’application de la force.
 Pinstantanée 
dWdl (F) F  dl
dl

 F  Fv
dt
dt
dt
A RETENIR :
On appelle puissance instantanée (à l’instant t) d’une force F quelconque dont le point d’application à pour vecteur
vitesse instantanée v à l’instant t, le produit F  v .
3. Énergie cinétique (Rappel 1ère S)
3.1. Définition
Définition
On appelle énergie cinétique d’un mobile, l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement. Pour un solide en
translation (tous les points ont le même vecteur vitesse). Elle se note Ec et s’exprime en Joule (symbol : J) :
1
E c  mVG2
2
Ec = énergie cinétique (en J)
m = masse du solide (en kg)
VG = vitesse du centre d’inertie du solide (en m.s-1)
Remarque : l’énergie cinétique d’un solide en mouvement quelconque, formé de particules de masses m1, m2 , m3, …
dont les centres d’inertie ont pour vitesses V1, V2, V3, …s’écrira :
Ec =
1
1
1
m1V12 + m2 V22 + m3 V32 + …
2
2
2
On pourrait comparer l’énergie cinétique d’un objet à un réservoir qu’il vide ou remplit, au fil de sa trajectoire, en
fonction des forces qui lui sont appliquées :
-
le réservoir est vide lorsque l’objet est immobile (vitesse nulle) ;
le réservoir se remplit lorsque l’objet accélère, d’autant plus vite que l’objet est lourd.
Exercice : Calculer l’énergie cinétique d’un poids lourd de masse M = 22 tonnes se déplaçant sur une route rectiligne
avec une vitesse v = 72 km/h
1
E c  Mvg2
2
Réponse : il faut appliquer la relation
et ne pas oublier de convertir les données dans le Système
International.
M = 22 tonnes = 22  103 kg = 2,2  103 kg
vG = 72 km/h = 20 m/s
 Ec 
1
(2, 2 104 )  20²  4, 4 106 J = 4,4 MJ
2
3.2. Théorème de l’énergie cinétique
Définition
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide, entre les instants tinitial et tfinal, est égale à
la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants :
1
1
2
2
mV final
 mVinitial
=
2
2
 W(F
ext
)
Remarque : cet énoncé est un cas particulier du théorème de la variation de l’énergie cinétique, valable pour tout
système, même déformable.
Théorème de la variation de l’énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un système quelconque, entre les instants tinitial et
tfinal, est égale à la somme des travaux des forces intérieures et extérieures appliquées au système entre ces deux
instants :
Ecfinal – Ecinitial =
 W(F
ext
)+
 W(F
int
)
-
les vitesses de chaque particule constituant le système peuvent être différentes, les expressions des énergies
cinétiques doivent en tenir compte ;
-
Il faut tenir compte des travaux des forces extérieures au système mais aussi des travaux des forces
intérieures au système.
4. Énergie potentielle de pesanteur (Rappel 1ère S)
Définition
L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un solide lorsqu’il est en mouvement. Elle se note EPP
(ou EP) et s’exprime, dans le système internationale d’unité, en joule (symbole : J). Pour un solide en mouvement de
translation, son expression est donnée par :
m  masse du solide en mouvement (en kg)
EPP  m g z  Cte
g  intensité de pesanteur (9,81 N.kg 1 pour la Terre)
z  altitude du solide (en m)
EPP  énergie potentielle de pesanteur du solide (en J)
 « Cte » est une constante (Cte  ℝ) prise par convention égale à 0 lorsque z = 0 m  EP = 0 pour z = 0 m.
Remarque : La variation de l’énergie potentielle de pesanteur Epp est toujours donnée par la relation :
Epp = EppB  EppA = mg  (zB – zA) = – WAB( P ) ( §1.4)
5. Énergie potentielle élastique
Après avoir été étiré (b) ou comprimé (c), un ressort (a) revient, une fois lâché, vers sa forme d’équilibre (a). Sa
déformation lui confère ainsi une certaine forme d’énergie, appelée énergie potentielle élastique :
Définition
L’énergie potentielle élastique est l’énergie que possède un ressort du fait de sa déformation. Elle se note EPE et
s’exprime, dans le système internationale d’unité, en joule (symbole : J) :
1
EPE  k x 2
2
k  constante de raideur du ressort (en N.m1 )
x  élongation (en m)
EPE  énergie potentielle élastique du ressort (en J)
6. Énergie mécanique (Rappel 1ère S)
Définition
On appelle énergie mécanique d’un solide en interaction avec la Terre, la somme de son énergie cinétique et de son
énergie potentielle, elle se note Em et s’exprime en Joule (symbole : J) :
EM = EC + E P =
1
mv² + mg  z
2
 Cette énergie reste constante (ou se conserve) au cours d’un mouvement de translation dans un référentiel
galiléen (voir chapitre suivant).
Définition
Dans le cas où un solide, de masse m, est soumis à un champ de pesanteur variable (cas où sa distance au centre de
la Terre n’est plus négligeable devant le rayon de la Terre), on utilise alors l’énergie potentielle de gravitation,
définie par :
m  MT
EPG =  G
RT  z
MT = masse de la Terre (kg)
m = masse du solide (kg)
RT = rayon de la Terre (m)
z = altitude du centre d’inertie du solide
(m)
G = constante de gravitation = 6,67.10-11
N.m².kg-2
En prenant EPP = 0 pour une altitude infinie (z  )
La variation de l’énergie potentielle de pesanteur Epp est toujours
donnée par la relation :
Epp = EppB  EppA = mg  (zB – zA) = – WAB( P ) ( §1.3)