ETUDE ENERGETIQUE DE SYSTEMES

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ETUDE ENERGETIQUE DE SYSTEMES
I – Définitions
1) Energie et puissance
La puissance mécanique est définie comme la variation d’énergie au cours du temps. La
puissance moyenne d’une force est définie comme le travail de cette force au cours du
mouvement
∆E
Pmécanique =
∆t
P en W
E en J
T en s
Pmoyenne
( )
WAB F
F =
∆t
( )
P en W
W en J
T en s
2) Energie cinétique
L’énergie cinétique d’un solide est l’énergie que celui-ci possède à cause de son mouvement.
Ec =
1
mv 2
2
E en J
m en kg
v est la vitesse du centre d’inertie du solide en m.s-1
3) Le Joule
L’unité d’une énergie est le Joule (J).
[E] = [1/2 .m.v-2] = kg.m2.s-2
1 Joule = 1 kg.m2.s-2
II – Travail d’une force
1) Travail d’une force constante
Le travail en mécanique est le transfert d’énergie entre deux systèmes. Il dépend de la force
considérée et du déplacement.
F
Si la force est constante :
( )
WAB F = F ⋅ AB = F ⋅ AB ⋅ cos θ
B
F
θ
W en J
F en N
AB en m
z
A
θ en rad
0
Le travail ne dépend pas du chemin suivi. Si la force est perpendiculaire au déplacement, le
travail est nul.
Si W>0, le travail est moteur.
Si W<0, le travail est resistant.
Travail du poids :
( )
( )
WAB P = P ⋅ AB = P ⋅ AB ⋅ cos θ
WAB P = mg ( z A − z B )
or AB ⋅ cos θ = z B − z A
2) Travail d’une force variable.
Pour étudier le travail d’une force variable, on étudie le travail sur de courts instants où l’on
supposera la force constante. On appelle le déplacement durant ce court instant (quand t→0),
déplacement élémentaire.
( )
δW F = F ⋅ d ℓ
WAB
( )
B B
F = ∫ δW = ∫ F ⋅ d ℓ
A
A
Ainsi, on démontre que le travail de la force appliquée à un ressort (opposée à la force de
rappel) est définie tel que :
WAB
( )
1
Fop = k ( xB2 − xA2 )
2
>0
III – Energie potentielle
L’énergie potentielle est l’énergie stockée par un système. Elle peut être restituée sous forme
d’énergie cinétique.
Energie potentielle de pesanteur :
E pp = mgz
E en J
m en kg
g en m.s-2
z en m
( )
∆Epp = −WAB P
Un objet accroché à un ressort a une énergie potentielle élastique.
1
E pé = kx2
2
E en J
x en m
k en N.m-1
IV – Energie mécanique
1) Définition
L’énergie mécanique se conserve au cours du temps s’il n’y a pas de frottements. Elle est la
somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
Pour un projectile (mobile quelconque) :
Em = Ec + E pp
Pour un mobile accroché à un ressort :
Em = Ec + E pél
2) Etude du dispositif solide-ressort
Montrons que l’énergie se conserve au cours du temps, c'est-à-dire que dEm/dt=0.
dEm d  1 2 1 2  d  1 2 1 2 
=  mv + kx  =  mxɺ + kx 
dt
dt  2
2
2
 dt  2

dEm 1
1
= m ⋅ 2 ⋅ xɺ ⋅ ɺɺ
x + k ⋅ 2 ⋅ x ⋅ xɺ
dt
2
2
dEm
= xɺ ( mxɺɺ + kx )
dt
dx/dt ne peux pas être nul
mxɺɺ + kx = 0 ⇔ ma + kx = 0 ⇔ − kx = ma
On retrouve la deuxième loi de Newton, donc l’hypothèse est bien vérifiée : dEm/dt = 0
Sans frottements, l’énergie mécanique est constante.
Ec
Ep
Em
t
à t = 0 , Em = Ep, quand la vitesse est maximale, Em = Ec. On peut ainsi trouver Vmax.
Avec frottements, Em est toujours égale à Ec + Ep mais Em diminue au cours du temps. C’est
un régime pseudo-périodique.
Dans ce cas,
( )
∆Em = WAB f < 0
V – Etude énergétique dans un circuit RLC
1) Dipôle RC
1
EC = CU 2
2
2) Dipôle RL
EL =
1 2
Li
2
3) Circuit RLC
Sans frottements, on est dans le cas du régime périodique (analogie avec la mécanique).
Eél = EL + EC
(voir courbe)
Avec frottements, il faut considérer les pertes par effet Joule.
PJ = Ri 2 ⇔ EJ = Ri 2t
Rappel :
Pélec. = U ⋅ i