Cours et activités

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Trigonométrie
CHAPITRE
Voici un plan sommairement relevé par le géo-
mètre Thalide.
366 m
282 m
Il veut mesurer les distances et . Mal-
heureusement, le piquet qui se trouve en est
en plein marécage !
Pour lui éviter d’y aller, calculer pour lui ces
distances.
Énigme du chapitre.
—Connaître et utiliser les relations entre
le cosinus, le sinus ou la tangente d’un
angle aigu et les longueurs des deux des
côtés d’un triangle rectangle.
—Déterminer, à l’aide de la calculatrice,
des valeurs approchées :
—du sinus, du cosinus et de la tan-
gente d’un angle aigu donné ;
—de l’angle aigu dont on connaît le
cosinus, le sinus ou la tangente.
Objectifs du chapitre.

I/ Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Activité A. Sinus et tangente d’un angle aigu, activité GeoGebra
1. Construction
(a) Créer trois points , et tel que l’angle soit un angle aigu.
(b) Créer les demi-droites et .
(c) Créer un point , distinct de , sur la demi-droite .
(d) la droite perpendiculaire à la demi-droite passant par .
(e) le point , intersection entre la droite construite en question 4 et la demi-droite
.
2. Calcul de rapports :
(a) Créer les segments , et et afficher leurs longueurs.
(b) Ouvrir la fenêtre « Algèbre » et le tableur.
(c) Entrer les titres , et dans les cellules A1,B1 et C1, puis entrer en A2,B2
et C2 les longueurs , et .
(d) Entrer le titre en D1 et la valeur correspondante en D2.
(e) Entrer le titre en E1 et la valeur correspondante en E2.
3. Conjecture :
(a) Déplacer le point sur la demi-droite . Que remarque-t-on ?
(b) Modifier la mesure de l’angle en déplaçant le point (ou ou ) puis déplacer
le point sur la demi-droite . Que remarque-t-on ?
(c) Que peut-on conjecturer au sujet du quotient ? Et au sujet du quotient ?
Conclusion :
— Le quotient s’appelle le sinus de l’angle . On le note .
— Le quotient s’appelle le tangente de l’angle . On le note .
Activité B. Exprimer le sinus et la tangente dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle en , est appelé côté adjacent à l’angle , est appelé
le côté opposé à l’angle et est l’hypoténuse.
1. (a) Exprimer le sinus de l’angle en fonction de et .
(b) Comment peut-on calculer le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?
2. (a) Exprimer la tangente de l’angle en fonction de et .
(b) Comment peut-on calculer la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?

3. Calculer le sinus et la tangente de chacun des angles et du triangle
lorsque :
cm cm cm
Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple
Dans le triangle rectangle en ,
longueur du côté adjacent à l’angle
longueur de l’hypoténuse
Définition
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple
Dans le triangle rectangle en ,
longueur du côté opposé à l’angle
longueur de l’hypoténuse
Définition
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du
côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
Exemple
Dans le triangle rectangle en ,
longueur du côté opposé à l’angle
longueur du côté opposé à cet angle

Remarques
1. On peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA » pour se rappeler de ces formules.
2. Dans l’exemple précédent :
et
Faire les exercices 1 2 3 4 5 6

II/ Propriétés
Activité C. Une autre formule pour la tangente
1. Conjecture
(a) En utilisant la calculatrice, calculer ˚
˚et ˚.
Arrondir au centième.
(b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de ˚et comprise
entre ˚ et ˚.
(c) Que constate-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ?
2. Démonstration On considère un triangle rectangle rectangle en .
(a) Pour démontrer la conjecture de la question 1, recopier et compléter :
(b) Conclure.
Activité D. Pythagore et la trigonométrie
1. Conjecture
(a) À l’aide de la calculatrice donner la valeur de ˚ ˚ .
(b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de ˚et comprise
entre ˚ et ˚.
(c) Comparer les résultats avec votre voisin. Que constate-t-on ? Quelle conjecture peut-on
faire ?