Fonctions continues

Fonctions continues
Arnaud Demarais
22 novembre 2016
1
Dans ce chapitre on se propose d’étudier rigoureusement, la notion de fonction, de limite d’une fonction et de
continuité ainsi que les principaux théorèmes liés à ces notions.
Si tous les résultats connus depuis le lycée nous seront utiles pour nous forger une intuition, il faudra ici tout
redémontrer et redéfinir. Par exemple, « une fonction est continue si on peut tracer son graphe sans lever le stylo »
n’est pas et ne sera jamais une définition mathématique satisfaisante.
Si f désigne une fonction alors on note Df son domaine de définition, c’est à dire l’ensemble des points de R où
l’on peut calculer f : où l’expresion de f a un sens.
1. Limite d’une fonction en un point.
1.1 Fonction définie au voisinage d’un point
Définition.
1) Une fonction est définie au voisinage d’un point a 2 R s’il existe h 2 R tel que l’on soit dans un des six cas
suivants :
1. Df \]a
h, a + h[=]a
3. Df \]a
5. Df \]a
h, a + h[=]a, a + h[.
h, a + h[.
2. Df \]a
h, a + h[= [a, a + h[.
h, a + h[=]a
h, a].
4. Df \]a
h, a + h[=]a
h, a + h[\{a}.
6. Df \]a
h, a + h[=]a
h, a[.
2) Une fonction est définie au voisinage de +1 s’il existe A 2 R tel que [A, +1[⇢ Df .
3) Une fonction est définie au voisinage de 1 s’il existe A 2 R tel que ] 1, A[⇢ Df .
On remarque donc (dans les cas 4, 5 et 6) qu’une fonction peut être définie au voisinage d’un point sans être définie
en ce point.
Exemple. La fonction x 7!
1
x 1
est définie au voisinage de 1 mais pas au point 1.
1.2 Limite d’une fonction
Comme pour les suites, on donne la définition formelle de limite d’une fonction :
Définition.
1) Une fonction f tend vers l 2 R en a 2 R si elle est définie au voisinage de a et si :
8✏ > 0, il existe ⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , | x a | ⌘ )| f (x) l | ✏.
2) Une fonction f tend vers l 2 R en +1 si elle est définie au voisinage de +1 et si :
8✏ > 0, il existe A > 0 tel que 8x 2 Df , x > A )| f (x) l | ✏.
3) Une fonction f tend vers l 2 R en 1 si elle est définie au voisinage de 1 et si :
8✏ > 0 il existe A < 0 tel que 8x 2 Df , x < A )| f (x) l | ✏.
4) Une fonction f tend vers +1 en a 2 R si elle est définie au voisinage de a et si :
8A > 0 il existe ⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , | x a | ⌘ ) f (x) A.
5) Une fonction f tend vers +1 en +1 si elle est définie au voisinage de +1 et si :
8B > 0 , il existe A > 0 tel que 8x 2 Df , x > A ) f (x) > B.
6) Une fonction f tend vers +1 en 1 si elle est définie au voisinage de 1 et si :
8B > 0 il existe A < 0 tel que 8x 2 Df , x < A ) f (x) > B.
2
Exercice. Ecrire les trois définitions correspondant à tendre vers une limite finie, +1 et
1 en
1.
On écrit alors lim f = l , lim f = l lim f = ±1 .
x!a
x!±1
x!a
Remarque. Attention : l’utilisation de la notitation lim f = l implique que la limite de f en a existe et vaut l.
x!a
On évitera donc d’utiliser la notation tant que l’on ne sait rien de l’existance de la limite de la fonction.
La proposition suivante donne alors un critère séquentiel pour la limite d’une fonction.
Proposition. Une fonction f tend vers l 2 R en a si et seulement si pour toute suite (xn ) tendant vers a, (f (xn ))
qui tend vers l.
Démonstration. Supposons que l et a sont des réels.
Si f tend vers l en a. Soit (xn ) une suite qui tend vers a. Soit ✏ > 0. Il existe ⌘ > 0 tel que | x a | ⌘ )| f (x) l | ✏.
Comme (xn ) tend vers a, il existe N > 0 tel que n > N )| xn
a | ⌘. Pour ces n, on a donc | f (xn )
Si f ne tend pas vers l en a on nie la définition de limite :
9✏ > 0 tel que 8⌘ > 0 il existe x⌘ tel que | x⌘
Pour ⌘ =
1
n
a | ⌘ et | f (x⌘ )
l | ✏.
l |> ✏.
on construit une suite (x n1 ) qui tend vers a et (f (x n1 )) ne tend pas vers l.
Grâce à cette proposition on obtient les mêmes résultats que pour les limites de suites à savoir :
Théorème.
1) La limite d’une fonction en un point si elle existe est unique.
2) {f | lim f existe et est fini} est une algèbre et l’opérateur lim est un morphisme d’algèbre à valeurs dans R.
x!a
3) Si lim f 6= 0 alors
x!a
4) lim f = l , lim (f
x!a
x!a
1
f
a une limite en a et lim f1 =
x!a
l) = 0 , lim | f
x!a
1
lim f .
x!a
x!a
l |= 0.
Démonstration. Evident avec le critère séquentiel et les théorèmes correspodnants pour les suites.
Remarque. Le 2) nous dit que la limite d’une combinaison linéaire (ou produit) de fonctions est la combinaison
linéaire (ou produit) des limites des fonctions.
1.3 Limite à gauche et à droite
Définition.
1) On dit que f tend vers l 2 R en a par valeur positives si elle est définie au voisinage de a et si :
8✏ > 0 il existe⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , (x > a et | x a | ⌘) )| f (x) l | ✏.
On note alors lim f = l.
x!a+
2) On dit que f tend vers l 2 R en a par valeur négatives si elle est définie au voisinage de a et si :
8✏ > 0 il existe ⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , (x < a et | x a | ⌘) )| f (x) l | ✏.
On note alors lim f = l.
x!a
Remarque. Il est évident que si f tend vers l en a alors f tend vers l en a par valeurs positives et négatives. La
réciproque est vraie mais tendre uniquement par valeurs positives ou négatives ne suffit en général pas.
3
Exemple. La fonction partie entière tend vers 1 en 1 par valeurs positives mais vers 0 par valeurs négatives. En
revanche la limite en 1 n’existe pas.
lim bc = 1 lim bc = 0 et bc n’a pas de limite en 1.
x!1+
x!1
1.4 Limites et ordre
Lemme. Supposons que f et g soient deux fonctions telles que :
1) f (x)  g(x), 8x 2 Df \ Dg .
2) La limite de f et g existe en a.
Alors lim f  lim g.
x!a
x!a
Démonstration. Evident avec le critère séquentiel et le résultat ad-hoc sur les suites.
Remarque. Encore une fois une inégalité stricte peut donner une égalité en passant à la limite.
Exemple.
1
x
> 0 pour tout x 2 R+ et la limite en +1 est 0.
Théorème. Passage à la limite par encadrement.
Si f, g et h sont des fonctions telles que :
1) f (x)  g(x)  h(x), 8x 2 Df \ Dg \ Dh .
2) Les limites de f et h existent en a et sont égales.
Alors g a une limite en a et lim f = lim g = lim h.
x!a
x!a
x!a
Démonstration. Toujours facile avec le critère séquentiel et le résultat correspondant pour les suites.
1.5 Fonctions monotones
Théorème. Soit f une fonction croissante (resp décroissante) définie sur un intervalle I =]a, b[ avec a, b 2 R
alors :
1) Si f est majorée (resp minorée) elle admet pour limitesupf (x) (respinf f (x)) en b.
x2I
x2I
2) Si f n’est pas majorée (resp pas minorée) alors elle tend vers +1 (resp 1) en b.
3) Si f est minorée (resp majorée) alors elle admet pour limite inf f (x) (resp supf (x)) en a.
x2I
4) Si f n’est pas minorée (resp pas majorée), elle tend vers
1 en a.
x2I
Démonstration. On traite le cas où b 2 R.
Si f est majorée alors supf (x) existe. Par critère de la borne sup 8✏ > 0 on peut trouver x0 2 I tel que supf (x) ✏ <
x2I
x2I
f (x0 )  supf (x).
x2I
Soit ✏ > 0 et le x0 correspondant. Avec ⌘ = b
Les autres cas se traitent de même.
x0 si | x
b | ⌘ alors | f (x)
supf (x) | ✏ par croissance de f .
x2I
4
2. Fonctions continues
2.1 Définitions
Définition.
1) On dit qu’une fonction f est continue en un point a 2 Df si et seulement si :
8✏ > 0, il existe ⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , | x a | ⌘ )| f (x) f (a) | ✏.
2) On dit qu’une fonction f est continue à gauche (resp à droite) en un point a 2 Df si et seulement si :
8✏ > 0, il existe ⌘ > 0 tel que 8x 2 Df , (x < a (resp x > a) et | x a | ⌘) )| f (x) f (a) | ✏.
3) On dit qu’une fonction f est continue sur I si et suelment si f est continue en tout point de I.
Remarque. A la lumière du chapitre sur les limites la condition de continuité (resp continuité à gauche/droite) en
un point a 2 Df se réécrit :
f admet f (a) comme limite (resp limite à gauche/droite) en a.
Grâce à la remarque et au critère séquentiel, on obtient la proposition suivante :
Proposition. Une fonction f est continue en a 2 Df si et seulement si pour toute suite (xn ) tendant vers a on a :
lim f (xn ) = f ( lim xn ).
n!+1
n!+1
De plus la proposition suivante vient compléter l’intuition de conction continue et de limite, une fonction continue
en un point admet une limite en ce point :
Proposition. Si une fonction f définie en a 2 R admet une limite en a alors c’est f (a).
Démonstration. Suopposons que f admette une limite l en a. Pour toute suite (xn ) tendant vers a, (f (xn )) tend
vers l. Il suffit alors de prendre pour (xn ) la suite constante égale à a.
2.2 Premières propriétés
Nous allons maintenant présenter des propriétés facilitant la manipulation des fonctions continues.
Théorème. Si on note l’ensemble des fonctions continues en x par Cx , alors Cx est une algèbre.
Démonstration. Cela provient du même résultat pour les fonctions admettant une limite finie en x et le fait qu’une
fonction est continue en x si et seulement si elle admet une limite en x.
Ce théorème implique que les combinaisons linéaires et produits de fonctions continues restent des fonctions continues. Ainsi lorsque nous devrons montrer qu’une fonction est continue, nous pourrons la « découper » en blocs dont
on sait qu’ils sont coninus.
Exemple. La fonction x7! (1 + x) cos(x) + ln(x) est continue en 1 comme comme et produit de fonctions usuelles
mais nous y reviendrons plus tard.
Remarque. De même l’ensemble des fonctions continues sur un intervalle I est une algèbre.
Proposition. Si f et g sont deux fonctions continues sur I et si g ne s’annule pas sur I alors
fonction continue sur I.
f
g
est aussi une
5
Démonstration. En passant par les limites c’est encore une fois clair.
Proposition. Soient f : I ! J et g : J ! R telles que f est continue en a 2 I et g est continue en f (a) 2 J.
Alors la composée f g est une fonction continue en a.
Démonstration. Le critère séquentiel va s’avérer très utile. Soit (xn ) une suite qui tend vers a. Alors (f (xn )) est
une suite qui tend vers f (a) par critère séquentiel appliqué à f . Mais alors (g(f (xn ))) tend vers g(f (a)) par critère
séquentiel appliqué à g et donc (g f (xn )) tend vers g f (a) ce qui conclut la preuve.
2.3 Prolongement par continuité
Dans cette partie on donne un sens au prolongement par continuité. Encore une fois c’est une notion très intuitive
comme nous le voyons dans cet exemple :
Exemple. La fonction x 7! sin(x)
n’est pas définie en 0 mais dans un voisinage de 0. De plus c’est classique de
x
montrer qu’elle admet 1 comme limite en 0. On a donc envie de pouvoir ajouter 0 à l’ensemble de définition de la
fonction.
Théorème. Soit f une fonction définie et continue sur I \ {x0 } et admettant une limite finie en x0 .
I !
R
(
lim f (x) Si x = x_0 est continue sur I.
Alors la fonction f¯ :
x!x0
x 7!
f (x)
Sinon
Démonstration. C’est une conséquence de la définie de continuité avec les limites.
Remarque. Le théorème reste vrai quand x0 est un bord de l’intervalle, la contuité en x0 devenant alors continuité
à gauche/à droite
2.4 Application : construction des exeponentielles
Voilà tout d’abord une proposition utile à notre construction de l’exponentielle mais qui sera aussi l’une des principales utilisations de la densité dans le cours de premier cycle.
Proposition. Soient f et g deux fonctions continues sur I qui coincident sur une partie dense de I. Alors f = g.
Démonstration. Soit x 2 I et (xn ) une suite de points de A qui tend vers x. Comme f et g sont continues
g(xn ) ! g(x) et f (xn ) ! f (x). Or par hypothèse f (xn ) = g(xn ) donc f (x) = g(x) et les fonctions coincident.
Proposition. S’il existe une fonction continue f telle que :
f (x + y) = f (x)f (y) et f (1) = ↵ 2 R+
Alors elle est unique.
6
Démonstration. Supposons que f et g vérifient les conditions de la proposition.
Alors f (1) = g(1) = ↵ mais on a f (2) = f (1 + 1) = f (1)f (1) = g(1)g(1) = ↵2 = g(2).
On montre facilement que f (n) = g(n) = ↵n pour tout n entier naturel.
Or f (1) = f (n
n) = f (n) + f ( n) donc f ( n) = g( n) = ↵
n
.
D’où f (n) = g(n) = ↵n pour tout n entier relatif.
1
Puis si on fait la somme q fois, f ( 1q + ... + 1q ) = f (1) = f ( 1q )q donc f ( 1q ) = g( 1q ) = ↵ q .
D’où f (x) = g(x) = ↵x pour tout x rationnel.
La proposition précédente et le fait que f et g sont égales que Q prouve que f = g.
Théorème. Il existe une unique fonction telle que :
f (x + y) = f (x)f (y) et f (1) = e.
On l’appelle fonction exponentielle.
Démonstration. La preuve est dans le poly de cours de Loic Teyssier.
2.5 Fonctions usuelles
Théorème. Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition. Parmis elles :
—
—
—
—
Les polynômes et fractions rationnelles .
La fonction valeur absolue.
expet ln.
sin cos et tan ainsi que leurs bijections réciproques.
3. Théorèmes généraux
On va mainteant démontrer un théorème bien connu depuis le lycée.
Théorème. Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Démonstration. Soit f un fonction continue sur le segment [a,b] et soit m=\underset{x\in [a,b]}{\inf}f(x).
Par caractérisation séquentielle de la borne inférieure il existe y_n=f(x_n) avec x_n\in [a,b] tel que y_n \rightarrow
m.
Mais (x_n) est une suite vivant dans un segment donc admet une sous suite qui converge : il existe \phi tel que
x_{\phi(n)}\rightarrow l \in [a,b].
Mais y_{\phi(n)}\rightarrow m et y_{\phi(n)}\rightarrow f(m) donc l=f(m). Le minimum est atteint.
De même pour le maximum.
Un autre théorème hérité des petites classes est celui des valeurs intermédiaires.
Théorème. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle.
7
Démonstration. Soient y_1 et y_2\in f(I). Par définition il existe x_1 et x_2 tels que y_i=f(x_i).
Supposons que y_1<y_2, x_1<x_2 et soit z\in [y_1,y_2]. On veut montrer qu’il existe x\in [y_1,y_2] tel que
f(x)=z.
Notons A=\{t\in [x_1,x_2] \mid f(t)\leq z\} puis notons M = \sup (A).
Pa critère séquentiel, il existe une suite de points de A (t_n) qui tend vers M. Par passage à la limite f(M)\leq z.
Or si M\neq x_2 il existe une suite de points de [x_1,x_2] qui tend vers M en étant supérieurs à M. Par définitions
ces points ne sont pas dans A et par passage a la limite f(M) \geq z.
Donc f(M)=z.
Remarque. Comme corollaire évident de ce théorème, nous pouvons dire que si f est continue sur [a,b] alors
f([a,b])=[\underset{x\in[a,b]}{min}f(x),\underset{x\in[a,b]}{max}f(x)].
Un théorème important et nouveau est celui de la bijection monotone.
Théorème. Bijection monotone
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et strictement monotone.
Alors f est une bijection sur son image J=f(I) et la fonction f^{-1} est continue.
Démonstration. Il n’y a pas besoind e continuité pour montrer que si f est strictement monotone, alors elle est
injective. Comme par définition une fonctione st toujours surjective sur son image, alors f est une bijection.
Soit x\in J. Montrons que f^{-1} est continue en x
Considérons la limite à gauche a et la limite à droite b de f^{-1} en x. Ces valeurs existent car f^{-1} est aussi
monotone (voir théorème de la limite monotone).
Alors f (a) = f ( lim f
1
y!x
(y)) = lim f (f
y!x
1
(y)) = x = lim f (f
y!x+
1
(y)) = f ( lim f
y!x+
1
(y)) = f (b).
Donc a=b par injectivité de f.
4. Suites définies par récurrence
4.1 Points fixes
Nous avons déjà vu dans plusieurs exercices des suites définies par un+1 = f (un ). Lorsque f est continue, on peut
dire des choses en toute généralité sur ces suites.
Définition. Soit f : I ! I une fonction définie et à valeur dans un intervalle I. Alors on dit que x 2 I est un point
fixe de f lorsque f (x) = x.
Proposition. Soit f : I ! I une fonction continue sur I intervalle fermé. Alors f admet un point fixe.
Démonstration. Quitte à composer par des homothéties, on peut supposer que I = [0, 1].
Posons g(x) = f (x)
x.
Alors g est une fonction continue sur [0, 1]. De plus le fait que f soit à valeurs dans [0, 1] impose que g(0)
g(1)  0. Par le théorème des valeurs intermédiaires on trouve z 2 [0, 1] tel que g(z) = 0 ie f (z) = z.
0 et
8
4.2 Suites définies par itération
Définition. Soit f : I ! I une fonction définie et à valeur dans un intervalle I. Soit u0 2 I. On définit une suite
en posant un+1 = f (un ).
Par récurrence immédiate :
f n (u0 ) = f ... f (u0 ) où l’on a composé f n fois
Remarque. On prendra garde au sens de f n , cela peut vouloir dire f ⇥ f ou bien f
exercices est clair.
f . En génral le contexte des
Théorème. (Louis Clément Lefèvre)
On définit une suite un+1 = f (un ) avec f croissante.
Alors si u1 > u0 alors u est croissante et si u1 < u0 est décroissante.
Démonstration. Supposons que u0 < u1 .
Comme f conserve l’ordre f (u0 ) < f (u1 ) or f (u0 ) = u1 et f (u1 ) = u2 . On montre alors par récurrence immédiate
que u0 < u1 < ... < un et donc u est croissante.
De même si u est décroissante.
Remarque. ATTENTION : il n’existe aucun théorème similaire lorsque f est décroissante ! ! !
Théorème. On définit une suite un+1 = f (un ) avec f continue.
Alors ou bien u diverge, ou bien u converge vers un point fixe de f .
Démonstration. Si u converge vers une limite l 2 R alors en passant à la limite dans la relation un+1 = f (un ), on
trouve par continuité de f que f (l) = l.
Remarque. Ce théorème nous dit que si u converge c’est vers un point fixe de f . En pratique il faudra montrer que
u converge (généralement par des méthodes du type croissante-majorée).