Fonctions continues

Fonctions continues
Arnaud Demarais
22 novembre 2016

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Dans ce chapitre on se propose d’étudier rigoureusement, la notion de fonction, de limite d’une fonction et de
continuité ainsi que les principaux théorèmes liés à ces notions.
Si tous les résultats connus depuis le lycée nous seront utiles pour nous forger une intuition, il faudra ici tout
redémontrer et redéfinir. Par exemple, « une fonction est continue si on peut tracer son graphe sans lever le stylo »
n’est pas et ne sera jamais une définition mathématique satisfaisante.
Si fdésigne une fonction alors on note Dfson domaine de définition, c’est à dire l’ensemble des points de Roù
l’on peut calculer f:oùl’expresiondefaunsens.
1. Limite d’une fonction en un point.
1.1 Fonction définie au voisinage d’un point
Définition.
1) Une fonction est définie au voisinage d’un point a2Rs’il existe h2Rtel que l’on soit dans un des six cas
suivants :
1. Df\]ah, a +h[=]ah, a +h[.
2. Df\]ah, a +h[= [a, a +h[.
3. Df\]ah, a +h[=]ah, a].
4. Df\]ah, a +h[=]ah, a +h[\{a}.
5. Df\]ah, a +h[=]a, a +h[.
6. Df\]ah, a +h[=]ah, a[.
2) Une fonction est définie au voisinage de +1s’il existe A2Rtel que [A, +1[⇢Df.
3) Une fonction est définie au voisinage de 1 s’il existe A2Rtel que ]1,A[⇢Df.
On remarque donc (dans les cas 4, 5 et 6) qu’une fonction peut être définie au voisinage d’un point sans être définie
en ce point.
Exemple. La fonction x7! 1
x1est définie au voisinage de 1mais pas au point 1.
1.2 Limite d’une fonction
Comme pour les suites, on donne la définition formelle de limite d’une fonction :
Définition.
1) Une fonction ftend vers l2Ren a2Rsi elle est définie au voisinage de aet si :
8✏>0,ilexiste⌘>0tel que 8x2Df,|xa|⌘)|f(x)l|✏.
2) Une fonction ftend vers l2Ren +1si elle est définie au voisinage de +1et si :
8✏>0,ilexisteA>0tel que 8x2Df,x>A)|f(x)l|✏.
3) Une fonction ftend vers l2Ren 1 si elle est définie au voisinage de 1 et si :
8✏>0il existe A<0tel que 8x2Df,x<A)|f(x)l|✏.
4) Une fonction ftend vers +1en a2Rsi elle est définie au voisinage de aet si :
8A>0il existe ⌘>0tel que 8x2Df,|xa|⌘)f(x)A.
5) Une fonction ftend vers +1en +1si elle est définie au voisinage de +1et si :
8B>0,ilexisteA>0tel que 8x2Df,x>A)f(x)>B.
6) Une fonction ftend vers +1en 1 si elle est définie au voisinage de 1 et si :
8B>0il existe A<0tel que 8x2Df,x<A)f(x)>B.

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Exercice. Ecrire les trois définitions correspondant à tendre vers une limite finie, +1et 1 en 1.
On écrit alors lim
x!af=l,lim x!±1f=llim x!af=±1.
Remarque. Attention : l’utilisation de la notitation lim
x!af=limplique que la limite de fen aexiste et vaut l.
On évitera donc d’utiliser la notation tant que l’on ne sait rien de l’existance de la limite de la fonction.
La proposition suivante donne alors un critère séquentiel pour la limite d’une fonction.
Proposition. Une fonction ftend vers l2Ren asi et seulement si pour toute suite (xn)tendant vers a,(f(xn))
qui tend vers l.
Démonstration. Supposons que let asont des réels.
Si ftend vers len a.Soit(xn)une suite qui tend vers a.Soit✏>0. Il existe ⌘>0tel que |xa|⌘)|f(x)l|✏.
Comme (xn)tend vers a,ilexisteN>0tel que n>N)|xna|⌘.Pourcesn,onadonc|f(xn)l|✏.
Si fne tend pas vers len a on nie la définition de limite :
9✏>0tel que 8⌘>0il existe x⌘tel que |x⌘a|⌘et |f(x⌘)l|>✏.
Pour ⌘=1
non construit une suite (x1
n
)qui tend vers aet (f(x1
n
)) ne tend pas vers l.
Grâce à cette proposition on obtient les mêmes résultats que pour les limites de suites à savoir :
Théorème.
1) La limite d’une fonction en un point si elle existe est unique.
2) {f|lim
x!afexiste et est fini} est une algèbre et l’opérateur lim x!aest un morphisme d’algèbre à valeurs dans R.
3) Si lim
x!af6=0alors 1
faunelimiteenaet lim
x!a
1
f=1 lim
x!a
f.
4) lim
x!af=l,lim x!a(fl)=0,lim x!a|fl|=0.
Démonstration. Evident avec le critère séquentiel et les théorèmes correspodnants pour les suites.
Remarque. Le 2) nous dit que la limite d’une combinaison linéaire (ou produit) de fonctions est la combinaison
linéaire (ou produit) des limites des fonctions.
1.3 Limite à gauche et à droite
Définition.
1) On dit que ftend vers l2Ren apar valeur positives si elle est définie au voisinage de aet si :
8✏>0il existe⌘>0tel que 8x2Df,(x>aet |xa|⌘))|f(x)l|✏.
On note alors lim
x!a+f=l.
2) On dit que ftend vers l2Ren apar valeur négatives si elle est définie au voisinage de aet si :
8✏>0il existe ⌘>0tel que 8x2Df,(x<aet |xa|⌘))|f(x)l|✏.
On note alors lim
x!a
f=l.
Remarque. Il est évident que si ftend vers len aalors ftend vers len a par valeurs positives et négatives. La
réciproque est vraie mais tendre uniquement par valeurs positives ou négatives ne suffit en général pas.

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Exemple. La fonction partie entière tend vers 1en 1par valeurs positives mais vers 0par valeurs négatives. En
revanche la limite en 1n’existe pas.
lim
x!1+bc =1 lim x!1bc =0et bc n’a pas de limite en 1.
1.4 Limites et ordre
Lemme. Supposons que fet gsoient deux fonctions telles que :
1) f(x)g(x),8x2Df\Dg.
2) La limite de fet gexiste en a.
Alors lim
x!aflim x!ag.
Démonstration. Evident avec le critère séquentiel et le résultat ad-hoc sur les suites.
Remarque. Encore une fois une inégalité stricte peut donner une égalité en passant à la limite.
Exemple. 1
x>0pour tout x2R+et la limite en +1est 0.
Théorème. Passage à la limite par encadrement.
Si f,g et hsont des fonctions telles que :
1) f(x)g(x)h(x),8x2Df\Dg\Dh.
2) Les limites de fet hexistent en aet sont égales.
Alors gaunelimiteenaet lim
x!af=lim x!ag=lim x!ah.
Démonstration. Toujours facile avec le critère séquentiel et le résultat correspondant p our les suites.
1.5 Fonctions monotones
Théorème. Soit fune fonction croissante (resp décroissante) définie sur un intervalle I=]a, b[avec a, b 2R
alors :
1) Si fest majorée (resp minorée) elle admet pour limitesup
x2I
f(x)(respinf
x2If(x))enb.
2) Si fn’est pas majorée (resp pas minorée) alors elle tend vers +1(resp 1)enb.
3) Si fest minorée (resp majorée) alors elle admet pour limite inf
x2If(x)(resp sup
x2I
f(x))ena.
4) Si fn’est pas minorée (resp pas majorée), elle tend vers 1 en a.
Démonstration. On traite le cas où b2R.
Si fest majorée alors sup
x2I
f(x)existe. Par critère de la borne sup 8✏>0on peut trouver x02Itel que sup
x2I
f(x)✏<
f(x0)sup
x2I
f(x).
Soit ✏>0et le x0correspondant. Avec ⌘=bx0si |xb|⌘alors |f(x)sup
x2I
f(x)|✏par croissance de f.
Les autres cas se traitent de même.

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2. Fonctions continues
2.1 Définitions
Définition.
1) On dit qu’une fonction fest continue en un point a2Dfsi et seulement si :
8✏>0,ilexiste⌘>0tel que 8x2Df,|xa|⌘)|f(x)f(a)|✏.
2) On dit qu’une fonction fest continue à gauche (resp à droite) en un point a2Dfsi et seulement si :
8✏>0,ilexiste⌘>0tel que 8x2Df,(x<a(resp x>a)et|xa|⌘))|f(x)f(a)|✏.
3) On dit qu’une fonction fest continue sur Isi et suelment si fest continue en tout point de I.
Remarque. Alalumièreduchapitresurleslimiteslaconditiondecontinuité(respcontinuitéàgauche/droite)en
un point a2Dfse réécrit :
fadmet f(a)comme limite (resp limite à gauche/droite) en a.
Grâce à la remarque et au critère séquentiel, on obtient la proposition suivante :
Proposition. Une fonction fest continue en a2Dfsi et seulement si pour toute suite (xn)tendant vers aon a :
lim
n!+1f(xn)=f(lim n!+1xn).
De plus la proposition suivante vient compléter l’intuition de conction continue et de limite, une fonction continue
en un point admet une limite en ce point :
Proposition. Si une fonction fdéfinie en a2Radmet une limite en aalors c’est f(a).
Démonstration. Suopposons que fadmette une limite len a.Pourtoutesuite(xn)tendant vers a,(f(xn)) tend
vers l. Il suffit alors de prendre pour (xn)la suite constante égale à a.
2.2 Premières propriétés
Nous allons maintenant présenter des propriétés facilitant la manipulation des fonctions continues.
Théorème. Si on note l’ensemble des fonctions continues en xpar Cx, alors Cxest une algèbre.
Démonstration. Cela provient du même résultat pour les fonctions admettant une limite finie en xet le fait qu’une
fonction est continue en xsi et seulement si elle admet une limite en x.
Ce théorème implique que les combinaisons linéaires et produits de fonctions continues restent des fonctions conti-
nues. Ainsi lorsque nous devrons montrer qu’une fonction est continue, nous pourrons la « découper » en blocs dont
on sait qu’ils sont coninus.
Exemple. La fonction x7! (1 + x) cos(x)+ln(x)est continue en 1comme comme et produit de fonctions usuelles
mais nous y reviendrons plus tard.
Remarque. De même l’ensemble des fonctions continues sur un intervalle Iest une algèbre.
Proposition. Si fet gsont deux fonctions continues sur Iet si gne s’annule pas sur Ialors f
gest aussi une
fonction continue sur I.