Cours Expressions Equations

Expression, équation, inéquation
Rappels de vocabulaire:
Une expression algébrique, à laquelle on donne souvent un nom, contient des nombres et des
lettres ainsi que des parenthèses et des opérations. Ex : 2(3a+b)+ 3x+c+4
La valeur d’une expression algébrique dépend de la valeur de chaque lettre.
Ce peut être :
Une somme de termes ( ex : 𝐴 = x3 + 2𝑥² − 3),
Un produit de facteurs ( ex : (3𝑥² + 2)(𝑥 − 1) ),
ou la combinaison des deux.
Voilà la définition mathématique
A quoi cela sert ?
Par exemple vous achetez quelque chose un prix x et vous l’améliorez pour le revendre.
Vous cherchez quel sera votre bénéfice B si vous les revendez 1,5 fois le prix x en euros que
vous l’avez payé sachant que pour l’améliorer vous avez dépensé 15 euros.
L’expression mathématique qui vous permet de calculer le bénéfice B que vous ferez en
fonction du prix x que vous l’avez acheté est :
B = 1,5 x – 15 ce n’est pas une équation.
Si vous l’avez acheté 1 euro, x = 1 donc votre bénéfice sera
B = 1,5× x – 15 = 1,5× 1 – 15 = -13,5
Vous aurez perdu 13,5 euros
Si vous l’avez acheté 11 euros, x = 11 donc votre bénéfice sera
B = 1,5× x – 15 = 1,5× 11 – 15 = 16,5 – 15 = 1,5
Vous aurez gagné 1,5 euros
Cette expression vous permet de calculer ce que vous gagnez ou ce que vous perdez.
L’équation mathématique qui vous permet de trouver à quel prix x vous devez l’acheter
pour que vous ne perdiez pas d’argent et que vous ne fassiez pas de bénéfice est B = 0
Alors vous devez résoudre l’équation B = 0
Soit 1,5x – 15 = 0
Si vous voulez faire un bénéfice de 3 euros pour trouver à quel prix vous devez l’acheter,
vous devez résoudre l’équation :
1,5x – 15 = 3
L’inéquation qui vous permet de savoir à partir de quel prix on fera un bénéfice est B > 0
Pour cela il faut résoudre l’inéquation :
1,5𝑥 − 15 > 0
1
Équations
1. Définition :
Une équation qui ne comporte qu’une lettre inconnue à la puissance 1 est une équation
du premier degré à une inconnue.
(Si la lettre est à la puissance 2 l’équation est du deuxième degré)
2. Propriétés des équations :
SI on ajoute un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une
équation qui a les mêmes solutions (une équation équivalente).
Si on multiplie par un même nombre non nul, les deux membres d’une équation on
obtient une équation qui a les mêmes solutions.
3. Application :
Soit l! ̩équation:
𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟓𝒙 − 𝟐
on ajoute − 5x aux deux membres de l! équation
𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟓 = 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟐
on réduit
̩
−𝟐𝒙 + 𝟓 = −𝟐
on ajoute − 5 aux deux membres de l! équation
−𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟓 = −𝟐 − 𝟓
on réduit
̩
−𝟐𝒙 = −𝟕
on divise les deux membres de l! équation par − 2
−𝟐𝒙 −𝟕
𝟕
=
donc 𝒙 =
−𝟐
−𝟐
𝟐
Équation produit nul :
1. Définition :
Une « équation produit nul » est une équation dont un membre est un produit de
facteurs, et l’autre est égal à 0.
2. Pourobteniruneéquationproduitdutype𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) = 0 Onseramèneàunmembreégalà0
Onfactoriselepremiermembreenunproduitdefacteursdupremierdegré
3. Propriété
Unproduitdefacteursestnulsietseulementsil'unaumoinsdesfacteurs
estnul.
𝐴 𝑥 𝐵 𝑥 = 0 ⟺ 𝐴 𝑥 = 0 ou 𝐵 𝑥 = 0
L'ensembledessolutionsestlaréuniondesensemblesdessolutionsdechaque
équation
2
Équation quotient nul
Pour obtenir une équation quotient du type : Rappel un quotient existe si son
dénominateur est différent de 0
𝐴 𝑥
=0
𝐵 𝑥
On cherche l’ensemble de définition de chacun des membres de l’équation.
On se ramène à un membre égal à 0
On réduit au même dénominateur les quotients.
On factorise le numérateur
On applique le théorème :
Un quotient est nul si et seulement si son dénominateur est non nul et son
numérateur est nul
𝐴 𝑥 =0
𝐴(𝑥)
𝑒𝑡
=0⟺
𝐵(𝑥)
𝐵(𝑥) ≠ 0
𝐵 𝑥 ≠ 0 correspond à la recherche du domaine de définition.
𝐴(𝑥) = 0 correspond à la résolution d’une équation produit.
Exemple
𝒙+𝟐
=2
𝟑−𝒙
Cette équation existe si 3 − 𝑥 ≠ 0 donc 𝑥 ≠ 3 on résout dans ℝ − 3
⇔
⇔
⇔
𝒙+𝟐
𝟑−𝒙
−2=0
𝒙 + 𝟐 − 𝟐(𝟑 − 𝒙)
𝟑−𝒙
=0
𝟑𝒙 − 𝟒
=0
𝟑−𝒙
𝐀=𝟎
Or A = 0 ⇔
𝐁≠𝟎
B
𝟒
4 4
A = 0 ⇔ 3𝑥 − 4 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 3 est dans l’ensemble de définition donc S =
𝟑
3
Inéquations
1. Définitions :
Une inéquation, du premier degré à une inconnue, est une inégalité entre deux
expressions dont l’une au moins contient un nombre inconnu désigné par une lettre.
L’inégalité peut être au sens stricte < 𝑜𝑢 > ou au sens large ≤ 𝑜𝑢 ≥
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes ses solutions, c’est à dire tous les
nombres qui rendent vraie cette inégalité.
2. Propriétés :
Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inéquation on obtient une
inéquation équivalente (qui a les mêmes solutions) de même ordre (ou sens)
Soient a, b et c trois nombres.
Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c.
Si on multiplie les par un même nombre strictement positif les deux membres d’une
inéquation on obtient une inéquation équivalente de même ordre.
Si on multiplie les par un même nombre strictement négatif les deux membres
d’une inéquation on obtient une inéquation équivalente d’ordre différent.
Soient a, b et c trois nombres.
Si a ≤ b et c > 𝟎 alors a × c ≤ b × c.
Soient a, b et c trois nombres.
Si a ≤ b et c < 𝟎 alors a × c ≥ b × c.
3. Représentation des solutions sur la droite des réels :
Les solutions sont colorées en rouge, si l’inégalité est au sens large le crochet est
tourné vers les solutions, si l’inégalité est au sens stricte le crochet n’est pas tourné
vers les solutions.
Résoudre les inéquations suivantes :
3𝑥 − 5 ≥ 2
5 − 2𝑥 ≤ 3
3𝑥 − 2 < 6𝑥 − 4
5
𝑥 + 7 > 5𝑥 − 2
2
4