4ème Séance: Cinématique 3D, Mouvements circulaires
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4ème Séance: Cinématique 3D, Mouvements circulaires 1 2 Rappels de théorie 1°) Mouvement circulaire uniforme (MCU) ω = vitesse angulaire ∆θ ω= ∆t −−−−−−→ → − ω = constante v = vitesse linéaire ∆x v= ∆t v = constante −−−−−−→ → − v �= constante − − Pour le sens de → v ou → ω: → − ω → − a → − r ∆θ ∆x Autre expression de la vitesse angulaire: ω = 2π ∗ f = 2π T avec: f = fréquence = Nombre de tours/seconde T = 1 f = Période = Temps pour faire 1 tour → − v → − − − v =→ ω ∧→ r ou règle du tir-bouchon ∆x = r ∗ ∆θ Donc: v ω= r a = accélération centripète ou radiale v2 a= = ω2 ∗ r r a = constante −−−−−−→ → − a �= constante 2°) Analogie entre le MCU et le MRU MCU MRU ω = constante v = constante θ(t) = θ(0) + ω ∗ t x(t) = x(0) + v ∗ t → − ω θ( → − v θ ( t) 0) x(0) 3 x(t) 3°) Mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA) Reprenons le cas du MCU et faisons varier ω avec le temps. −−−−−−→ → − Soit α = dω α = constante =⇒ MCUA dt α = accélération angulaire Grandeurs angulaires Grandeurs linéaires α = constante α= at = constante dω dt at = ω(t) = ω(0) + α ∗ t ω= dv dt v(t) = v(0) + at ∗ t dθ dt v= α ∗ t2 θ(t) = θ(0) + ω(0) ∗ t + 2 dx dt a t ∗ t2 x(t) = x(0) + v(0) ∗ t + 2 at = accélération tangentielle Note: Equations analogues à celles du MRUA 4 Grandeurs angulaires Grandeurs linéaires Si v diminue → − v Si → − at v → − α au gm Si ω augmente te en → − ω ou Si ω diminue r r ∆θ ∆x v(t) ∆x = r ∗ ∆θ =⇒ ω(t) = r at =⇒ α = r 5 Accélération radiale v(t)2 ar (t) = = ω(t)2 ∗ r r → − ar r Contrairement à at , ar varie au cours du temps Accélération linéaire � → − → − ∀t : at ⊥ ar =⇒ Accélération totale: a(t) = a2t + ar (t)2 MCUA MCU Lorsque α = 0 6 C \-/ Exercice Exercice 1r Calculerla vitesseangulaireenradls et tracerle vecteurvitesseangulairepour : - Un disquetournantir 33 tours/min. - Laroue d'un v61ode 70 cm de diamdtrequi roule e 30 km/h. - La grandeaiguilled'unemontre. Quelle est la vitesseangulaireen radls de rotationde la terreet quelle est I'acc6leration terrestre? centripdted'un point de 1'6quateur Disque (p rI Exercice → − v 2 ∗ π ∗ 33 120tours i la minute et pendantdeux minutes,une pie'lre derad/s ω = Pierre 2 ∗ π ∗fait f =tourner ir la vitesse = 3.456 60 → − qui a 6t6 attachfiei une cordede 0.5m de long. ω fin du mouvement,quelssont I'anglebalayepar la pierre,sa vitesseangulaire,son RoueAdelavélo angulaire,la distanceparcouruepar la pierre, savitesselin6aire, son acc6leration acc6leration 30000 v sa3600 r6volution lin6aire = de 23.81 rad/s? ω = et = pdriode r 0.7 2 O -nxerciceIII \-/ Montre i une vite sa pierre attach6e Pierre fatigue, il fait tourner de moins en moins2∗π −3 ωpasse = 2 de ∗ π120 ∗ ftours = 3600 = 1.7 ∗ 10 rad/s ir la minute i 30 tours i la elle cordeAe O.Sm de long. En 3 secondes, minute. 2∗π Aiguille des secondes (1 tour en 1 minute): ω = 2 ∗ π ∗ f = 0.10 angulaire, rad/s son pierre, par vitesse la sa= A la fin du mouvement,quelssontI'anglebalaye 60 vitesse lin6aire et son par la pierre, sa acc6l6ration angulaire, la distance parcourue 7 acc6lerationlin6aire ? Maintenant Aiguille des minutes (1 tour en une heure): Rotation de la terre Chaque plan parallèle à l’équateur terrestre → − ω = Equateur terrestre − Disque en MCU de vitesse angulaire → ω La terre effectue 1 rotation (1 tour) en 1 jour → − a Image adaptée de: planetarium-galilee.com 2∗π ω =2∗π∗f = = 7.27 ∗ 10−5 rad/s 24 ∗ 3600 A l’équateur: r ≈ 6400 km → − ω → − v → − r a = ω 2 ∗ r = 0.0338 m/s2 v =ω∗r =0 Remarque: Aux pôles: r = 0 8 & a = ω2 ∗ r = 0 terrestre? centripdted'un point de 1'6quateur (p Exercice Exercice 2 rI Pierrefait tourner ir la vitessede 120tours i la minute et pendantdeux minutes,une pie'lre qui a 6t6 attachfiei une cordede 0.5 m de long. A la fin du mouvement,quelssont I'anglebalayepar la pierre,sa vitesseangulaire,son acc6lerationangulaire,la distanceparcouruepar la pierre, savitesselin6aire, son acc6leration lin6aire et sapdriodede r6volution? Données O -nxerciceIII r =\-/0.5 m ∆t = 120 s MaintenantPierre fatigue, il fait tourner de moins en moins vite sa pierre attach6ei une ∗ π ∗ En 1203 secondes, elle passede 120 tours ir la minute i 30 tours i la cordeAe O.Sm de2 long. ω =2∗π∗f = = 4 ∗ π rad/s minute. 60 A la fin du mouvement,quelssont I'anglebalayepar la pierre,sa vitesseangulaire,son Angle balayé angulaire, la distance parcourue par la pierre, sa vitesse lin6aire et son acc6l6ration lin6aire acc6leration θ(t) = θ(0) + ω ∗ t ? =⇒ ∆θ = θ(∆t) − θ(0) = ω ∗ ∆t = 480π rad /4 M/ ExereicefV V -angulaire Vitesse ω =Une 4π rad/s lourde roue de 60 cm de diamdtreest mise en mouvementpar une corde que I'on a tourn6eautourde sacirconfdrence,et i laquelleon a suspenduune pidce servantde poids. de 12spourparcowir5.4 m entombant. Celle-cia besoin Accélération angulaire Quel est le nombre de tours/min atteint et combien de rotations la roue ex6cute-t-elle dω = 0 car ω = ?constante en fonction du temps pendant ce temps dt / ExerciceV 9 Distance parcourue ∆x = ∆θ ∗ r = 240π m Vitesse linéaire v = ω ∗ r = 2π m/s Accélération linéaire v2 a= = 8π 2 m/s2 r Période de révolution 2π T = = 0.5 s ω 10 lin6aire et sapdriodede r6volution O -nxercice Exercice 3III \-/ MaintenantPierre fatigue, il fait tourner de moins en moins vite sa pierre attach6ei une elle passede 120 tours ir la minute i 30 tours i la cordeAe O.Sm de long. En 3 secondes, minute. A la fin du mouvement,quelssont I'anglebalayepar la pierre,sa vitesseangulaire,son acc6l6ration angulaire, la distance parcourue par la pierre, sa vitesse lin6aire et son acc6lerationlin6aire ? /4 Données M/ ExereicefV - m r =V0.5 ω(0) = 2 ∗ π ∗ f (0) = 2 ∗ π ∗ 120 = 4π rad/s 60 par Une lourde roue de 60 cm de diamdtreest mise en mouvement une corde que I'on a une pidce servantde poids. tourn6eautourde sacirconfdrence,et i laquelleon a suspendu 2 ∗ π ∗ 30 = 2 ∗ π5.4 ∗ fm(∆t) = = π rad/s ∆t = 3asbesoinde 12sω(∆t) pourparcowir entombant. Celle-ci 60 Quel est le nombre de tours/min atteint et combien de rotations la roue ex6cute-t-elle ? pendantce temps Accélération angulaire ω(t)/ = ω(0) +Vα ∗ t Exercice =⇒ ω(∆t) = ω(0) + α ∗ ∆t ω(∆t) − ω(0) α = faisantun = −π rad/s2 une direction Une balle estlanc6eavecunevitessevo dans=⇒ ∆t avecI'horizontale.Elle atteirit 2 secondesplus tard sur une 60o ande deangulaire Vitesse plate-formede 5 mdtresde haut. estla vitesseinitiale de cetteballe ? ω(∆t) =Quelle π rad/s horizontaleet verticalede la Quellessont les composantes vitesseinitiale de cetteballe ? A qtrelinstantest-elleau sommetde11satrajectoire? *----* 5m Angle balayé α ∗ t2 θ(t) = θ(0) + ω(0) ∗ t + 2 α ∗ (∆t)2 =⇒ ∆θ = θ(∆t) − θ(0) = ω(0) ∗ ∆t + = 7.5π rad 2 Distance parcourue ∆x = ∆θ ∗ r = 3.75π m Vitesse linéaire v(∆t) = ω(∆t) ∗ r = 0.5π m/s Accélération linéaire v(∆t)2 ar (∆t) = = 0.5π 2 m/s2 r at = r ∗ α = −0.5π m/s2 =⇒ � a(∆t) = ar (∆t)2 + a2t = 5.18 m/s2 12 /4 M/ ExereicefV V- Exercice 4 Vitesse (angulaire) initiale nulle Une lourde roue de 60 cm de diamdtreest mise en mouvementpar une corde que I'on a tourn6eautourde sacirconfdrence,et i laquelleon a suspenduune pidceservantde poids. Celle-cia besoinde 12spourparcowir5.4m entombant. Quel est le nombre de tours/min atteint et combien de rotations la roue ex6cute-t-elle pendantce temps? / ExerciceV vo dansune direction faisantun Une balle estlanc6eavecunevitesse Données ande de 60oavecI'horizontale.Elle atteirit 2 secondesplus tard sur une plate-formede 5 mdtresde haut. ∆x = 5.4 m Quelleestla vitesseinitiale de cetteballe ? et verticalede la Quellessontles composantes ∆t =horizontale 12 s vitesseinitiale de cetteballe ? = 0.3 de msatrajectoire? A qtrelinstantest-elleaursommet Quelleestla hauteurmaximumde la trajectoire? plate-forme ω(0) 0 rad/sla balle atterritdb? de la= A quelledistancedu bord MCUA → − r *----* 5m ∆x .13 Fréquence finale ω(0) = 0 rad/s =⇒ at ∗ ∆t2 ∆x = 2 Donc: Dès lors: =⇒ v(0) = 0 m/s =⇒ at = 0.075 m/s 2 =⇒ ω(∆t) = ω(0) + α ∗ ∆t = 3 rad/s f (∆t) = 3 tour/s 2π 3 = ∗ 60 tour/min 2π = 28.65 tour/min Nombre de rotations en 12 secondes 5.4 ∆x = = 18 rad ∆θ = 0.3 r 1 tour = 1 rotation = 2π rad Donc: n = 18 2π ⇐⇒ 1 rad = = 2.86 tours 14 1 tour 2π at α= = 0.25 rad/s2 r
