Formulaire sur la dérivée

Formulaire sur la dérivée
Définition
x
y
xx+h
f(x)
f(x)
h
f(x+h)
f(x)
Définition de la dérivée
f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
Équation de la droite tangente
en (x,f(x)) (yfonction de h)
y=f(x) + f0(x)h
Approximation de f(x+h)
f(x+h)≈f(x) + f0(x)h
x
y
a x
f(x)
f(x)
(x−a)
f(x)
f(a)
Définition de la dérivée
f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
Équation de la droite tangente
y=f(a) + f0(a)(x−a)
Approximation par la droite
tangente
f(x)≈f(a) + f0(a)(x−a)
Notations
Différentes notations pour la dérivée de y=f(x) = x2.
Notations pour la dérivée première
f0(x)y0x20dy
dx
d f (x)
dx
dx2
dx
f0(a)y0|x=ax20
x=a
dy
dx 
x=a
d f (x)
dx 
x=a
dx2
dx 
x=a
Notations pour la dérivée seconde
f00(x)y00 x200 d2y
dx2
d2f(x)
dx2
d2x2
dx2
f00(a)y00|x=ax200
x=a
d2y
dx2
x=a
d2f(x)
dx2
x=a
d2x2
dx2
x=a
Propriétés de la dérivée
Linéarité
k f (x)0=A f 0(x),k∈R
f(x) + g(x)0=f0(x) + g0(x)
Produits et quotients
f(x)g(x)0=f0(x)g(x) + f(x)g0(x)
f(x)
g(x)0=f0(x)g(x)−f(x)g0(x)
g(x)2
Règle de chaine
fg(x)0=f0g(x)g0(x)
Fonctions algébriques
(A)0=0,A∈Rxa0=ax(a−1) ,a∈R
Fonctions exponentielles et logarithmes
ex0=exln(x)0=1
x
bx0=bxln(b)logb(x)0=1
xln(b)
Fonctions trigonométriques
sin(x)0=cos(x)cos(x)0=−sin(x)
tan(x)0=sec2(x)cot(x)0=−csc2(x)
sec(x)0=sec(x)tan(x)csc(x)0=−csc(x)cot(x)
Fonctions trigonométriques inverses
asin(x)0=1
√1−x2acos(x)0=−1 √1−x2
atan(x)0=1
x2+1actg(x)0=−1 x2+1
asec(x)0=1
x√x2−1acsc(x)0=−1 x√x2−1
Dérivation logarithmique
Pour dériver une fonction de la forme uv.
Truc 1 : utiliser l’identité A=eln(A)
uv0=eln(uv)0=evln(u)0
Truc 2 : appliquer ln et dérivation implicite
y=uv⇐⇒ ln(y) = ln(uv)⇐⇒ ln(y) = vln(u)
ln(y)0=vln(u)0=⇒y0
y=vln(u)0

Définition de la différentielle
x
y
xx+dx
f(x)
y
dx
∆x
∆y
dy
y+dy ≈y+∆y=f(x+dx)
y=f(x)
Approximation de ∆ypar dy si ∆xest petit:
∆y≈dy =f0(x)dx.
Notation différentielle avec y=f(x) = x2:
dy =y0dx =f0(x)dx =2x dx.
Rarement utilisé en calcul différentiel de base, mais valable:
d2y=y00dx2=f00(x)dx2=x2dx2 .
Propriétés des différentielles
Linéarité
uet vfonctions de x
d(ku) = k du,k∈R
u+du
udu
k(u+du)
ku kdu
du+v=du +dv
u+du v +dv
udu vdv
uvdu dv
u+vdu +dv
Produits et quotients
uet vfonctions de x
duv=vdu +u dv d u
v=vdu −u dv v2
udu
v
dv
uv
udv
vdu
dudv
(négligable)
Règle de chaine
zest fonction de yfonction de x
dz =dz
dy dy =dz dy
dy
dx dx
Fonctions algébriques
dA =0dx,A∈Rdxa=ax(a−1)dx,a∈R
Exponentielles et logarithmes
dex=exdx d ln(x) = 1
xdx
dbx=bxln(b)dx d logb(x) = 1
xln(b)dx
Fonctions trigonométriques
dsin(x) = cos(x)dx d cos(x) = −sin(x)dx
dtan(x) = sec2(x)dx d cot(x) = −csc2(x)dx
dsec(x) = sec(x)tan(x)dx d csc(x) = −csc(x)cot(x)dx
Fonctions trigonométriques inverses
dasin(x) = 1
√1−x2dx d acos(x) = −1 √1−x2dx
datan(x) = 1
1+x2dx d actg(x) = −1 1+x2dx
dasec(x) = 1
x√x2−1dx d acsc(x) = −1 x√x2−1dx