l`équation de Schrödinger indépendant du temps

LectureNotes2016
L’équation de Schrödinger
Le Hamiltonien
-
Rappel:
* L’opérateur pour la position: x̂ = x
* L’opérateur pour la quant. de mouvement: p̂ =
i~
d
dx
Est-ce qu’il y a un opérateur pour l’énergie?
Dans la mécanique classique, l’énergie totale est appelé “le
Hamiltonien classique”:
p2
H(x, p) =
+ V (x)
2m
Avec p = p̂, nous pouvons formuler “le Hamiltonien
quantique”:
~2 d 2
Ĥ =
+ V (x)
2m dx2
l’opérateur pour l’énergie
Il existe certains état, appelés “états stationnaires” ou “états
propres du Hamiltonien”, pour lesquels l’action du
Hamiltonien donne l’énergie du système:
H (x) = E (x)
operateur
valeur
Cette dernière éq. est en fait un variant de l’éq de
Schrödinger
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Valeur moyenne
Z du Hamiltonien:
⇤
hHi =
H
dx
et si est un état stationnaire
Z
Z
⇤
⇤
hHi =
H dx =
E dx
Z
= E | |2 dx = E
(si
est normalisée)
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L’équation de Schrödinger, indépendant du temps
Comment peut on trouver la fonction d’onde d’un système?
- En résolvant l’equation de Schrödinger
@ (x, t)
i~
=
@t
~2 @ 2 (x, t)
+ V (x) (x, t)
2m @x2
Note: ce sont des dérivés partielles, car (x, t) est une
fonction, à la fois du temps et de la position
Supposons que le potentiel est indépendant du temps:
V = V (x)
-> possibilité de séparer les variables x et t:
(x, t) = (x) '(t)
“une solution séparable”
C’est une restriction forte, mais avec cela, les solutions
générales peuvent être trouvées
@
Alors: )
=
@t
d'
i~
=
dt
1 d'
i~
=
' dt
fonc. de t
d'
dt
;
@2
d2
=
'
@x2
dx2
~2 d 2
' + V (x) '
2m dx2
~2 1 d 2
+ V (x)
2m dx2
fonc. de x
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Deux fonctions différentes, qui sont égales.
-> il faut que les 2 soient constantes!
La partie spatiale:
~2 1 d2 (x)
+ V (x) (x) = cst. (x)
2m
dx2
ici, nous pouvons identifier le Hamiltonien, et alors la
constante doit être
✓
◆ égale à l’énergie ( H = E )
2
2
~ d
+ V (x)
(x) = H (x) = E (x)
2m dx2
Voilà “l’équation de Schrödinger indépendant du temps”
La partie temporelle:
1 d'
i~
=E
' dt
d'
=
dt
iE
'
~
'(t) = e
iE
~
t
Note: cette simple évolution de temps est valide seulement si
la fonction d’onde peut être séparée en parties temporelles et
spatiales indépendantes
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Etats stationnaires
La fonction d’onde total dépend du temps:
iE
(x, t) = (x) e ~ t
(x, t) est une fonction séparable)
(ici
Considérons la probabilité de présence, ou la “densité de
probabilité” pour une solution séparable:
| (x, t)|2 =
⇤
=
⇤
iE
e~t
e
iE
~ t
=
⇤
= | (x)|2
Cela ne dépend pas du temps!
-> Toujours la même probabilité de trouver le système dans
une position particulière
La valeur moyenne de la position:
Z
Z
iE
iE
⇤ ~ t
⇤
hxi =
e x e ~ t dx =
x
dx
ne dépend pas du temps
alors:
dhxi
=0
dt
)
hpi = 0
-> Un état qui correspond à une solution séparable ne
bouge pas!
On appelle un tel état: un “état stationnaire”
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Dispersion
Imaginer un grand nombre de mesures de la position, x
- valeur moyenne: hxi
- résultat d’une mesure individuelle: probabiliste
- -> dispersion des résultats autour hxi
Cette dispersion n’apparaît pas à cause de limitation
techniques, mais parce que la MQ est intrinsèquement
probabiliste
Définition de la dispersion (de la position):
rD
E p
2
x=
(x hxi) = hx2 i hxi2
Pareil pour la quantité de mouvement:
rD
E p
2
p=
(p hpi) = hp2 i hpi2
Quelle est la dispersion de l’énergie, si un système se trouve
dans un état stationnaire?
H2
= H (H ) = H (E ) = E 2
Z
Z
⇤ 2
) hH 2 i =
H
dx = E 2 | |2 dx = E 2
( E)2 = hH 2 i
hHi2 = E 2
E2 = 0
-> Pour un état stationnaire, le résultat d’une mesure de
l’énergie est certain
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Principe d’incertitude
Inégalité de Heisenberg
Dans la MQ, les dispersions de certaines quantités sont
fortement liées
Un tel exemple est x et p
Meilleure connaissance de x ( x petit)
-> mauvais connaissance de p ( p grand)
(et vice versa)
x
p
~
2
L’inégalité de Heisenberg
L’impossibilité de connaître x et p simultanément
x et p sont des “quantités conjuguées”
Un autre paire de quantités conjuguées sont le temps et
l’énergie:
E
t
7
~
2
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Commutation:
Considérons deux opérateurs: A et B
AB (l’action de B suivie par l’action de A), n’est pas
nécessairement la même chose que BA (l’action de A suivi
par l’action de B)
Définition:
[A, B] ⌘ AB BA
est “le commutateur” de A et B
-
si [A, B] = 0 , A et B commutent
si [A, B] 6= 0 , A et B ne commutent pas
Deux opérateurs qui ne commutent pas sont conjugués
-> ils obéissent à une inégalité de Heisenberg
Si [A, B] 6= 0
)
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A
B>0
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Exemple ; incertitude position - quantité de mouvement:
Les vitesses d’une balle (m = 0.050 g) et d’un électron (m =
9.1 × 10-31 kg) sont les mêmes; v = 300 m/s, avec une
incertitude de 0.01%. Avec quelle précision peut-on mesurer
la position des deux, si les positions sont mesurés en même
temps que les vitesses?
-
l’électron:
p = mv = 2.7 × 10-28 kg m/s
Δp = mΔv = 2.7 × 10-32 kg m/s
~
= 0.2 cm
) x
2 p
-
la balle:
p = mv = 15 kg m/s
Δp = mΔv = 1.5 × 10-3 kg m/s
~
= 3 × 10-32 m
) x
2 p
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Exemple ; incertitude temps - énergie:
Un atome peut rayonner à un instant quelconque après
avoir été excité. Dans un cas typique, on trouve qu’un atome
excité a en moyenne un temps de vie d’environ 10-8 s. C’est
à dire, pendant cette période, l’atome émet un photon et sera
désexcité. Quel est le minimum d’incertitude Δν pour la
fréquence du photon?
Δt ≈ 10-8 s
⌫=
⌫
E
h
)
⌫=
E
h
~
1
=
= 8 ⇥ 106 s
2 th
4⇡ t
-> largeur spectrale!
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1