l`équation de Schrödinger indépendant du temps

LectureNotes2016
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L’équation de Schrödinger
Le Hamiltonien
- Rappel:
* L’opérateur pour la position:
ˆx=x
* L’opérateur pour la quant. de mouvement:
ˆp=i~d
dx
Est-ce qu’il y a un opérateur pour l’énergie?
Dans la mécanique classique, l’énergie totale est appelé “le
Hamiltonien classique”:
H(x, p)= p2
2m+V(x)
Avec
p=ˆp
, nous pouvons formuler “le Hamiltonien
quantique”:
ˆ
H=
~2
2m
d2
dx2+V(x)
l’opérateur pour l’énergie
Il existe certains état, appelés “états stationnaires” ou “états
propres du Hamiltonien”, pour lesquels l’action du
Hamiltonien donne l’énergie du système:
H (x)=E (x)
operateur valeur
Cette dernière éq. est en fait un variant de l’éq de
Schrödinger

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Valeur moyenne du Hamiltonien:
hHi=Z ⇤H dx
et si
est un état stationnaire
hHi=Z ⇤H dx=Z ⇤E dx
=EZ| |2dx=E
(si
est normalisée)

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L’équation de Schrödinger, indépendant du temps
Comment peut on trouver la fonction d’onde d’un système?
- En résolvant l’equation de Schrödinger
i~@ (x, t)
@t=
~2
2m
@2 (x, t)
@x2+V(x) (x, t)
Note: ce sont des dérivés partielles, car
(x, t)
est une
fonction, à la fois du temps et de la position
Supposons que le potentiel est indépendant du temps:
V=V(x)
-> possibilité de séparer les variables x et t:
(x, t)= (x)'(t)
“une solution séparable”
C’est une restriction forte, mais avec cela, les solutions
générales peuvent être trouvées
Alors:
)@
@t= d' dt;@2 @x2=d2 dx2'
i~ d'
dt=
~2
2m
d2
dx2'+V(x) '
i~1
'
d'
dt=
~2
2m
1 d2
dx2+V(x)
fonc. de tfonc. de x

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Deux fonctions différentes, qui sont égales.
-> il faut que les 2 soient constantes!
La partie spatiale:
~2
2m
1 d2 (x)
dx2+V(x) (x)=cst. (x)
ici, nous pouvons identifier le Hamiltonien, et alors la
constante doit être égale à l’énergie (
H =E
)
✓
~2
2m
d2
dx2+V(x)◆ (x)=H (x)=E (x)
Voilà “l’équation de Schrödinger indépendant du temps”
La partie temporelle:
i~1
'
d'
dt=E
d'
dt=
iE
~'
'(t)=e
iE
~t
Note: cette simple évolution de temps est valide seulement si
la fonction d’onde peut être séparée en parties temporelles et
spatiales indépendantes

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Etats stationnaires
La fonction d’onde total dépend du temps:
(x, t)= (x)e
iE
~t
(ici
(x, t)
est une fonction séparable)
Considérons la probabilité de présence, ou la “densité de
probabilité” pour une solution séparable:
| (x, t)|2= ⇤ = ⇤eiE
~t eiE ~t= ⇤ =| (x)|2
Cela ne dépend pas du temps!
-> Toujours la même probabilité de trouver le système dans
une position particulière
La valeur moyenne de la position:
hxi=Z ⇤eiE
~tx eiE ~tdx=Z ⇤x dx
ne dépend pas du temps
alors:
dhxi
dt
=0 )hpi=0
-> Un état qui correspond à une solution séparable ne
bouge pas!
On appelle un tel état: un “état stationnaire”