Fiche de Travaux Dirigés 1 Opérations sur les nombres Réels

Université de Rouen
UFR des Sciences et Techniques
L1 CHIMIE - L1 SVTE
2017-2018
Fiche de Travaux Dirigés
1
Opérations sur les nombres Réels - logarithmes - exponentielles
Exercice 1 Identités remarquables - Formules du binôme
A) Développer les expressions suivantes :
(2x + 1)3 ; (1 − 2x)3 ; (2x + 3)4 ; (1 − x)5
B) Factoriser (dans R) :
16x4 − 9y 2 ; 27 − x3 ; x6 − 1
Exercice 2 Racines n-èmes
x est un réel strictement positif
A) Ecrire avec des radicaux les expressions suivantes :
x1/2
x1/3
x2/3
x3/2
x−1/2
x−2/3
1
x−3/2
x−1/2
B) Ecrire avec des puissances fractionnaires (puis simplier s'il y a lieu) les expressions suivantes :
√
x
√
3
x
√
3
x2
√
x3
1
√
3
x2
√
x
√
x3
√
x
√
3
x
√
3
x
√
4
x
√
√
3
x2 x3
√
√
4
3
x3 x4
q
√
3
x
q
3
Exercice 3 Inégalités
Les armations suivantes sont-elles vraies ? Justier. (x désigne un nombre réel)
1) x ≤ 2 ⇐⇒ x2 ≤ 4
2) (x > 0) x ≤ 2 ⇐⇒ x2 ≤ 4
3) x ≤ −2 ⇐⇒ x2 ≤ 4
Exercice 4 Valeurs absolues
A) Traduire avec des distances les inégalités suivantes puis encadrer x :
|x − 3| < 2
|x − 4| < 5
|x + 1| > 2
B) Traduire les inégalités suivantes par des inégalités de valeurs absolues :
d(x; 1) ≤ 4
d(x; −2) > 4
3<x<9
−1≤x≤5
Exercice 5 Partie entière
Donner la partie entière de :
5, 314
0, 99
− 0, 99
1
9, 01
− 9, 01
−
√
2
√
x
Exercice 6 Valeur décimale approchée
Pour chacun des nombres suivants, donner la valeur approchée à 10−n près par défaut (d.10−n )
et la valeur approchée par excès ((d + 1).10−n ), où d désigne un entier relatif.
41, 315(n = 2) ; 41, 315(n = 1) ; −9, 3814(n = 2) ; −9, 3814(n = 3)
Exercice 7 La notation scientique
A) Ecrire les nombres suivants en notation scientique :
7, 1485 714, 85 0, 0071485
− 71, 485
B) Ecrire les nombres suivants en notation décimale :
9, 368E + 3 1, 092E − 2
− 8, 416E + 4
− 3, 546E − 1
Exercice 8 Le signe
P
P
Ecrire avec le signe
les expressions suivantes :
1) x1 + x2 + ... + x7
2) x3 + x4 + ... + x80
3) x7 + x14 + ... + x280
4) x6 + x13 + ... + x279
5) x0 − x4 + x8 − x12 + x16 − x20 + x24
6) x1 + 2x3 + 3x5 + 4x7 + 5x9 + 6x11
7) (2x0 + 5) + (2x2 + 5) + ... + (2x20 + 5)
Exercice 9 Exponentielles
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) e2x + 3ex − 4 = 0
2) e3x − ex = 0
3) ex + e−x = 1
4) 4e2x < 3ex + 1
Exercice 10 Logarithme. Néperien... mais pas que !
Donner le domaine de dénition puis résoudre les équations et inéquations suivantes :
1) ln(3 − 5x) = 0
2) ln(x + 4) + ln(x − 1) = ln 6
3) ln 2x−3
5x+1 < 0
4) ln x − ln1x < 3/2
5) log x = ln x
2