oExercice -1- La racine carrée approchée d`un nombre réel R par la

oExercice -1La racine carrée approchée d’un nombre réel R par la méthode de Newton, définit de la façon
suivante :
U0 = R
Un+1 = (Un+ R / Un) / 2
Cette suite converge vers le calcul est arrêté lorsque | R - Un 2| < e, où e est un réel positif saisi
au clavier.
Décomposition
Modulaire :
Exercice1
Saisie_R (Var R : Réel)
Saisie_E (Var E : Réel)
Racine_Carre (R, E) : Réel
Procédure
Procédure
Fonction
Programme Principale :
1) Spécification du problème :
Résultat(s) :
Afficher racine carrée de R en appelant la fonction Racine_carre :
Ecrire (Racine_carre(R, E))
Traitement(s) :
Donnée(s) :
Saisir un Réel R supérieur à zéro en appelant la procédure Saisie_R : Saisie_R (R)
Saisir un Réel E proche de zéro en appelant la procédure Saisie_E : Saisie_E (E)
2) Algorithme
0) Début Exercice1
1) Saisie_R (R)
2) Saisie_E (E)
3) Ecrire (Racine_Carre (R, E))
4) Fin
Tableau de déclaration des objets globaux:
Objet
R
Type/nature
Réel
Rôle
Variable
E
Réel
Epsilon
Saisie_R
Procédure
Saisir R
Saisie_E
Procédure
Saisir E
Racine_carre
Fonction
Déterminer la valeur approchée de la racine carrée de
R
Procédure Saisir R :
1) Spécification du problème :
Résultat(s) : R
Traitement(s) :
Utiliser une structure Itérative à condition d’arrêt : Répéter … Jusqu’à R > 0
A chaque Itération : R = Donnée (’’Donner un réel > 0 :’’)
Donnée(s) : R
2) Algorithme
0) Début procédure Saisie_R (Var R : Réel)
1) Répéter
Ecrire (’’ Donner un réel > 0 :’’) Lire (R)
Jusqu’à R > 0
2) Fin
Procédure Saisir E :
1) Spécification du problème :
Résultat(s) : E
Traitement(s) :
Utiliser une structure Itérative à condition d’arrêt :
Répéter … Jusqu’à position (1.0000000000E-', x) ≠ 0
A chaque Itération : E = Donnée (’’E :’’)
Convertire E en chaîne : Convch (E, x)
Donnée(s) : E
2) Algorithme
0) Début procédure Saisie_E (Var E : Réel)
1) Répéter
Ecrire (’’ E :’’)
Lire (E)
Convch (E, x)
Jusqu’à position (1.0000000000E-', x) ≠ 0
2) Fin
Tableau de déclaration des objets
locaux:
Objet
x
Type/nature
Chaîne [17]
Rôle
Variable auxiliaire
Fonction Racine Carre :
1)
Spécification du problème :
Résultat(s) : Racine_carre <----- U
Traitement(s) :
Initialiser U0 : U0 <----- R
Utiliser une structure Itérative à condition d’arrêt :
Répéter … Jusqu’à |R- U2| < E
A chaque Itération : U <----- (U0+ R / U0) / 2
U0 <----- U
Donnée(s) : R, E
2)
Algorithme
0) Début Fonction Racine_carre (R, E : Réel) : Réel
1) U0 <----- R
2) Répéter
U <----- (U0+ R / U0) / 2
U0 <----- U
Jusqu’à |R- U2| < E
3) Racine_carre <----- U
4) Fin
Tableau de déclaration des objets locaux:
Pascal :
Objet
U0
Type/nature
Réel
Rôle
I
U
Réel
(I + 1) ème terme de la suite
ème
terme de la suite
Exercice -2-
Pascal :
Pi
Calculer Pi en utilisant la formule ci-dessous. Le calcul s’arrête quand la différence entre deux
termes consécutifs devient inférieure ou égale à e, où e est un réel positif saisi au clavier.La
dernière somme calculée est une valeur approchée de Pi.
Décomposition
Modulaire :
Exercice
Saisie_E (Var E : Réel)
Pi (E : Réel) : Réel
Programme Principale :
Procédure
Fonction
1) Spécification du problème :
Résultat(s) : Afficher la valeur approchée de Pi en appelant la fonction pi : Ecrire (Pi (E))
Traitement(s) :
Donnée(s) :Saisir un Réel E proche de zéro en appelant la procédure Saisie_E : Saisie_E (E)
2) Algorithme
0) Début Exercice
1) Saisie_E (E)
2) Ecrire (Pi (E))
3) Fin
Tableau de déclaration des objets globaux:
E
Objet
Type/nature
Réel
Epsilon
Rôle
Saisie_E
Procédure
Saisir E
Pi
Fonction
Déterminer la valeur approchée de Pi
Fonction Pi :
1) Spécification du problème :
Résultat(s) : Pi <---Traitement(s) :
Initialiser I : I <----.
Initialiser s2 : s2 <----Utiliser une structure Itérative à condition d’arrêt : Répéter … Jusqu’à
A chaque Itération :
S1 <----- S2
Calculer S2 :
Incrémenter le compteur : I <-----
Donnée(s) : E
2) Algorithme
0) Début Fonction Pi (E : Réel) : Réel
1) I <----2) S2 <----3) Répéter
S1 <----- S 2
S2 <----I <----Jusqu’à
4) Pi <----5) Fin
Tableau de déclaration
des objets locaux:
I
Objet
Type/nature
Réel
Compteur
S1, S2
Réel
Deux Somme consécutifs
Exercice -1-
Pascal:
Rôle
Exercice -2-
Pascal:
Exercice -3-
Pascal:
Exercice -4-
Pascal:
Exercice -5-
Pascal:
Exercice -6-
Pascal:
Exercice -7-
Pascal:
Exercice :
Pour x très proche de zéro on a :
Calculer cos (x) en utilisant la formule ci-dessus. Le calcul s’arrête quand la différence entre
deux
termes consécutifs devient inférieure ou égale à e, où e est un réel positif saisi au clavier.La
dernière somme calculée est une valeur approchée de cos (x).
Pascal :
1ère Méthode :
2ème Méthode :
Exercice :
Pour x très proche de zéro on a :
Calculer sinus (x) en utilisant la formule ci-dessus. Le calcul s’arrête quand la différence entre
deux termes consécutifs devient inférieure ou égale à e, où e est un réel positif saisi au clavier.
La dernière somme calculée est une valeur approchée de sinus (x).
Pascal :
1ère Méthode:
2ème Méthode:
Exercice :
Pour x un réel
Calculer ex en utilisant la formule ci-dessus.
Le calcul s’arrête quand la différence entre deux termes consécutifs devient inférieure ou
égale à e, où e est un réel positif saisi au clavier.
La dernière somme calculée est une valeur approchée de ex.
Pascal :
1ère Méthode:
2ème Méthode:
Exercice:
Pour x un réel dans]-1..1[
Calculer log (1+x) en utilisant la formule ci-dessus. Le calcul s’arrête quand la différence
entre deux termes consécutifs devient inférieure ou égale à e, où e est un réel positif saisi au
clavier.
La dernière somme calculée est une valeur approchée de log (1+x).
Pascal :
1ère Méthode :
2ème Méthode :
Exercice:
Pour x un réel dans]-1..1[
Calculer log (1-x) en utilisant la formule ci-dessus. Le calcul s’arrête quand la différence entre
deux termes consécutifs devient inférieure ou égale à e, où e est un réel positif saisi au clavier.
La dernière somme calculée est une valeur approchée de log (1-x).
Pascal :
1ère Méthode:
2ème Méthode:
Point fixe
Cos(x) - x = 0
Décomposition Modulaire :
Point_fixe
Saisie_E (Var E : Réel)
Procédure
Pt_fixe(E : Réel) : Réel
Fonction
Programme Principale :
1) Spécification du problème :
Résultat(s) :
Afficher le point fixe de ƒ en appelant la fonction pt_fixe si f(a)*f(b) < 0:
Si f (a)*f (b) < 0 Alors Ecrire (Pt_fixe (A, B, E))
Sinon
Ecrire ( ’’ ƒ non monotone dans [ ’’ ,a, ’’ .. ’’ ,b, ’’ ] ’’)
Traitement(s) :
Donnée(s) :
Saisir un Réel E proche de zéro en appelant la procédure Saisie_E : Saisie_E (E)
Saisir a
Saisir b > a
2) Algorithme
0) Début Pt_fixe
1) Saisie_E (E)
2) Ecrire (’’a : ’’) lire (a)
3) Répéter Ecrire (’’b : ’’) lire (b) Jusqu’à b > a
4) Si f (a)*f (b) < 0 Alors Ecrire (Pt_fixe (A, B, E))
Sinon
Ecrire ( ’’ ƒ non monotone dans [ ’’ ,a, ’’ .. ’’ ,b, ’’ ] ’’) Fin Si
5) Fin
Tableau de déclaration des objets globaux:
Objet
E
Type/nature
Réel
Epsilon
Saisie_E
Procédure
Saisir E
Pt_fixe
Fonction
Déterminer le point fixe de ƒ
Procédure Pt_fixe :
Rôle
1) Spécification du problème :
Résultat(s) : Pt_fixe <----- m
Traitement(s):
Initialiser M : M <----- (a + b) / 2
Utiliser une structure Itérative à condition d’arrêt :
Tant que ((b - a) > e) et (f (m) <> 0) Faire
A chaque Itération:
Si f (a)*f (m) > 0 Alors a <----- m
Sinon
b <----- m
M <----- (a + b) / 2
Donnée(s) : A, B, E
2) Algorithme
0) Début Fonction Pt_fixe (A, B, E : Réel) : Réel
1) M <----- (a + b) / 2
2) Tant que ((b - a) > e) et (f (m) <> 0) Faire
Si f (a)*f (m) > 0 Alors a <----- m
Sinon
b <----- m Fin Si
M <----- (a + b) / 2
Fin Tant que
3) Pt_fixe <----- m
4) Fin
Objet
m
locaux:
Type/nature
Réel
Rôle
Milieu de l’intervalle [a, b]
Tableau
de
déclarat
ion des
objets
Pascal: