K17 - spepcdailly

PC Compiègne PROGRAMME DES KHÔLLE 17 et 18 sem. du 30/01 et 06/02
1. Révisions
Un exercice de révision d’analyse ou d’algèbre
2. probabilités
2.1 Probabilités sur un univers dénombrable
Révisions du programme précédent.
Conditionnement : Probabilité conditionnelle : définition, propriété (c’est une probabilité) puis formule des
probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes. Exemple type d’application pour
chacune de ces formules.
Indépendance deux à deux, indépendance mutuelle. Lien entre les deux.
2.2 Variables aléatoires réelles discrètes
Variable aléatoire sur un univers probabilisable (Ω,T).
Loi d’une variable aléatoire sur un espace probabilisé (Ω,T, P ), révisions des lois connues de 1ère année,
première introduction de la loi géométrique. Théorème (admis) d’existence d’une probabilité Psur un espace
probabilisable (Ω,T)telle que si Xest une variable aléatoire sur (Ω,T)de support X(Ω) = {xn, n ∈N}où
les xnsont deux à deux distincts, et si Ppnest une série de réels positifs de somme 1, la loi de Xest donnée
par P(X=xn) = pnpour tout n∈N. Introduction de la loi de Poisson.
fonction d’une variable aléatoire.
Fonction de répartition.
Couples de variables aléatoires discrètes. Propriétés, définition, exemples. Loi conjointe et lois marginales
d’un couple de variables aléatoires discrètes.
Indépendance des variables aléatoires discrètes, lois conditionnelles. Exemples simples. Caractérisation
de l’indépendance de deux variables aléatoires, fonctions de deux variables aléatoires indépendantes ; loi d’une
somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement la loi P(λ)et la loi P(µ).
Variables aléatoires mutuellement indépendantes. Extension (sans démonstration) des propriétés vues en 1ère
année dans le cadre des univers finis au cas dénombrable.
Suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Modélisation d’un jeu de pile ou face infini par une
suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p.
Espérance. Définition. Exemples de calculs d’espérance. Propriétés théoriques de l’espérance.
Variance, covariance, coefficient de corrélation linéaire. Sous-espace vectoriel des variables aléatoires
admettant un moment d’ordre 2. Inégalité de Cauchy Schwarz. Définition de la variance et de l’écart-type.
Calcul de la variance des lois usuelles : Bernoulli, binomiale, géométrique et Poisson. Espérance d’un produit de
variables aléatoires indépendantes. Covariance, coefficient de corrélation linéaire. Propriétés usuelles. Variance
d’une somme de variables aléatoires indépendantes. Applications.
Fonctions génératrices. Définition, propriétés théoriques des fonctions génératrices, fonction génératrice
de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.
Résultats asymptotiques. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, inégalités de Markov
et Bienaymé Tchebychev, loi faible des grands nombres.
Prochain programme : Révisions + algèbre euclidienne
3. Démonstrations à connaître parfaitement
— Formule des probabilités composées
— Calcul de la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre
p∈]0,1[.
— Théorème de comparaison et croissance de l’espérance.
— Loi suivie par la somme de deux variables aléatoires indépendantes Xet Ysuivant la loi de Poisson de
paramètres respectifs λet µ.
— Preuve de l’existence et calcul de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire suivant la loi
géométrique de paramètre p∈]0,1[, respectivement la loi de Poisson de paramètre λ.
— Inégalités de Markov et de Bienaymé Tchebychev.
— Tous les énoncés et définitions de ces chapitres doivent pouvoir être restitués.
22/1/2017 1/2