Probabilités

Seconde
Probabilités
Année scolaire
2013/2014
Une introduction aux probabilités a été faite en classe de troisième.
I) Définitions :
1) Expérience aléatoire :
Il s'agit d'une expérience dont le résultat ne dépend que du hasard.
Exemples :
- Lancer une pièce de monnaie
- Lancer un dé
- Tirer une carte, etc...
2) Issues :
Lorsqu'on réalise une expérience aléatoire, les issues correspondent aux résultats
possibles.
Notation : On note Ω l'ensemble de toutes les issues possibles (on l'appelle l'univers
ou l'univers des possibles)
Exemples :
- On lance une pièce de monnaie : on obtient PILE ou FACE
D'où : Ω = {PILE,FACE}
- On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 : Ω = {1;2;3;4;5;6}
3) Evenement :
Un événement est une partie de Ω.
Exemples :
- On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. On a vu que Ω = {1;2;3;4;5;6}
On considère l'événement A : « Obtenir un chiffre pair »
Alors A = {2;4;6} et c'est bien une partie de Ω
- On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
On a Ω = {l'ensemble des 32 cartes du jeu}
On considère l'événement R : « Obtenir un roi »
On a R = {roi de cœur, roi de carreau, roi de trèfle, roi de pic}
Un événement ne contenant qu'une seule issue est dit élémentaire.
4) Notion de probabilité :
a) Lien statistiques/probabilités :
On considère une population sur laquelle on va étudier un caractère. On souhaire
déterminer la fréquence d'apparition du caractère.
L'idée étant d'essayer de faire le lien entre cet aspect statistique et le calcul des
probabilités associées à cette situation.
Exemple :
Dans une classe de 32 élèves, on demande à chaque élève de lancer de manière
indépendante 100 fois de suite un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de noter les
résultats obtenus.
On obtient donc au final 3 200 lancers indépendants.
Remarque : Cette situation peut être facilement simulée à l'aide d'un tableur.
Cliquer sur le lien suivant pour avoir le fichier OpenOffice Calc correspondant :
http://mangeard.maths.free.fr/Ecole/JeanXXIII/Seconde/simulation_de.ods
En fait, on utilise =ENT(6*ALEA()+1) pour simuler le lancer d'un dé.
Pour compter le nombre de 1 obtenus, on tape dans la cellule C1 :
=NB.SI(A1:A3200 ; « 1 »). On fait de même pour le nombre de 2, de 3, etc...
En dessous, on calcule la fréquence d'apparition de chaque valeur :
Pour les 1, dans la cellule C4, on a tapé = C1/3200
On peut à nouveau relancer une nouvelle simulation de 3 200 autres lancers.
1
≃ 0,166667
6
Autrement dit, chaque fréquence d'apparition s'approche de la valeur de la
probabilité. La probabilité est donc une valeur théorique vers laquelle on peut tendre
dans la réalité à condition de réaliser notre mesure un très grand nombre de fois.
On constate que les fréquences sont proches de 0,17. Or,
Pour s'en rendre bien compte, faire une simulation sur 15 ou 20 lancers.
Alors, les résultats sont plus aléatoires.
b) Situation d'équiprobabilité :
Toutes les issues ont la même probabilité de se produire.
Exemples :
- On lance un dé équilibré (=non truqué) à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1
La probabilité d'obtenir l'un de ces chiffres est
6
- On prélève une boule dans une urne dans laquelle on a placé des boules
indiscernables au toucher .
II) Probabilité d'un événement :
1) Définition :
Soit A un événement. A ⊂ Ω.
La probabilité de A, notée p(A), est la somme des probabilités de toutes les issues
favorables à A.
Exemple :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
On considère l'événement D : « Obtenir une dame »
p(D) = p(« avoir la dame de trèfle »)+p(« avoir la dame de carreau »)+p(« avoir la dame
de coeur »)+p(« avoir la dame de pic »)
2) Propriétés :
a) Soit A⊂Ω,
0≤ p(A) ≤ 1
p(Ω) = 1 ( Ω = événement certain)
et si B est un événement tel que p(B) = 0,
alors B est l'événement impossible.
b) La somme de probabilités des événements élémentaires est toujours égale à 1
c) Si on est dans une situation d'équiprobabilité, si A est un événement :
P(A) =
Nombre d ' issues favorables à A
Nombre total d ' issues possibles
3) Opérations sur les événements :
a) Evénement contraire :
Soit A un événement, l'événement contraire de A se note A
Exemple :
On prélève au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
A : « La carte tirée est un as ». Alors A : « La carte tirée est autre chose qu'un as »
b) Intersection : A∩B
Cet événement correspond aux issues qui sont à la fois dans A et dans B.
C'est donc l'événement A et B.
Exemple :
On prélève au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
Soient A : « Obtenir une dame » et B : « Obtenir un coeur »
A∩B : « Obtenir la dame de coeur »
c) Réunion : A∪B
Cet événement correspond aux issues qui sont dans A ou dans B. C'est donc
l'événement A ou B.
Exemple :
On prélève au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
Soient A : « Obtenir une dame » et B : « Obtenir un coeur »
A∪B : « Obtenir ou bien une dame ou bien un cœur »
d) Propriétés :
p ( A ) = 1 – p(A)
Si A et B sont deux événements :
p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
Démonstration :
Soit A un événement. A L'événement contraire de A.
On sait que : A ∪ A = Ω
D'où : p(A∪ A ) = p(Ω) = 1
Or, p(A∪ A ) = p(A) + p( A ) - p(A∩ A )
De plus, A∩ A = ∅ d'où : p(A∩ A ) = 0
Par conséquent : p(A) + p( A ) = 1 c'est-à-dire : p ( A ) = 1 – p(A)
Exemple : (exercice d'application)
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
1) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « La carte tirée est un roi »
B : « La carte tirée est noire »
2) Décrire les événements A∩B et A∪B et calculer leurs probabilités.
3) On considère l'événement E : « La carte tirée n'est ni un roi, ni une carte noire »
Montrer que E = A ∪B et calculer p(E).
Solution :
1) On a Ω = {ensemble des 32 cartes}
Le tirage est au hasard : il y a équiprobabilité.
Nombre de rois
4
1
D'où : p(A) =
=
=
Nombre total de cartes
32
8
Nombre de cartes noires
16
1
On a : p(B) =
=
=
Nombre total de cartes
32
2
2)
A∩B : « La carte tirée est un roi noir »
A∪B : « La carte tirée est un roi ou une carte noire »
Nombre de rois noirs
2
1
On a p(A∩B) =
=
=
Nombre total de cartes
32
16
Pour calculer p(A∪B) , on va utiliser la formule : p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
1
1
1
9
On a : p(AUB) =
+
=
8
2
16
16
3) On a A∪B : « La carte tirée est un roi ou une carte noire » alors :
A ∪B : « La carte tirée n'est pas un roi et n'est pas noire »
On a bien E = A ∪B
9
7
Donc : p(E) = p( A ∪B ) = 1 – p(AUB) = 1 –
=
16
16
Définition :
Soient deux événements A et B tels que A∩B = ∅. On dit alors que A et B sont
incompatibles. (= ils ne peuvent pas avoir lieu en même temps)
Alors : p(A∪B) = p(A) + p(B)
(car p(A∩B) = 0 )
III)
Arbres pondérés :
Partons d'un exemple :
On considère une urne contenant 3 boules vertes, 4 boules rouges et une boule noire.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On prélève deux boules de cette urne sans remise.
Modélisons cette situation à l'aide d'un arbre pondéré :
2/7
V
4/7
V
3/8
1/7
4/8
R
3/7
3/7
N
4/7
N
V
3/7
1/7
1/8
R
R
N
V
R
Explications :
- La première série de trois branches correspond au tirage de la première boule : il
n'y a que trois possibilités. Ou bien la boule est verte, ou bien rouge ou alors noire.
En tout, il y a 8 boules dans l'urne. 3 sont vertes, 4 sont rouges et 1 est noire.
On a donc 3 chances sur 8 que la première boule soit verte, 4 sur 8 qu'elle soit rouge
et 1 sur 8 noire.
On marque chaque probabilité sur chacune des branches. (on parle d'arbre pondéré)
- Ensuite, la première boule étant choisie, il n'y a plus que 7 boules dans l'urne. D'où
les probabilités sur les autres branches.
Définitions :
a) Un point d'où partent plusieurs branches est appelé un nœud.
b) Un chemin est constitué d'une succession de plusieurs branches menant de
l'origine de l'arbre à une extrémité.
Conséquence : Une issue est représentée par un chemin.
Remarque : La somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même nœud
vaut toujours 1.
Utilisation de l'arbre pour calculer des probabilités :
a) Considérons l'événement A : « Les deux boules sont vertes ».
Cette issue correspond à un seul chemin : celui « en haut » de l'arbre représenté.
Pour calculer p(A), on applique le principe multiplicatif : on multiplie les probabilités
sur toutes les branches qui constituent le chemin.
3
2
3×2
3
p(A) =
x
=
=
8
7
4×2×7
28
b) Considérons l'événement B : « Une boule est noire »
Dans ce cas, plusieurs chemins correspondent à cette issue.
Méthode :
- On calcule la probabilité de chaque chemin en appliquant le principe multiplicatif
- On ajoute toutes les probabilités obtenues
Dans ce cas, il y a 4 chemins qui correspondent à cet événement.
3
1
4
1
1
3
1
4
D'où : p(B) =
x
+
x
+
x
+
x
8
7
8
7
8
7
8
7
3
4
3
4
=
+
+
+
56
56
56
56
14
1
=
=
56
4