AR - SUITES RECURRENTES LINEAIRES ET EQUATIONS

AR - SUITES RECURRENTES
LINEAIRES ET EQUATIONS
DIFFERENTIELLES LINEAIRES
Suites de nombres complexes
Notons `(C)l’espace vectoriel sur Cdes suites de nombres complexes. Si (sn)n≥0est un élément de
`(C), et si Pest le polynôme
P(X) = a0+a1X+· · · +apXp
l’application ΦPde `(C)dans lui-même qui à (sn)n≥0associe la suite
Φ(P)((sn)n≥0) = (a0sn+a1sn+1 +· · · +apsn+p)n≥0
est une application linéaire. On peut alors considérer l’application Φde C[X]dans l’ensemble L(`(C))
des endomorphismes de `(C), qui à Passocie ΦP.
Proposition 1 L’application Φest un morphisme d’algèbres.
Soit Pet Qdans C[X]. Si pest le plus grand des degrés de Pet de Q, on peut écrire
P(X) = a0+a1X+· · · +apXpet Q(X) = b0+b1X+· · · +bpXp.
Donc
(P+Q)(X) = (a0+b0)+(a1+b1)X+· · · + (ap+bp)Xp.
Alors, pour toute suite (sn)n≥0de `(C), on a
ΦP+Q((sn)n≥0) = ((a0+b0)sn+ (a1+b1)sn+1 +· · · + (ap+bp)sn+p)n≥0
= (a0sn+a1sn+1 +· · · +apsn+p)n≥0+ (b0sn+b1sn+1 +· · · +bpsn+p)n≥0
= ΦP((sn)n≥0)+ΦQ((sn)n≥0)
= (ΦP+ ΦQ)((sn)n≥0).
On en déduit donc que
ΦP+Q= ΦP+ Φq.
Si λest un nombre complexe, on a aussi
ΦλP ((sn)n≥0)=(λa0sn+λa1sn+1+· · ·+λapsn+p)n≥0=λ(a0sn+a1sn+1+· · ·+apsn+p)n≥0=λΦP((sn)n≥0),
donc
ΦλP =λΦP.

AR 2
L’application est donc linéaire.
Pour montrer que Φest un morphisme d’algèbres, il suffit, à cause de la linéarité, de montrer, que,
quels que soient pet qdans N, on a
ΦXpXq= ΦXp◦ΦXq.
Or
ΦXp◦ΦXq((sn)n≥0)=ΦXp((sn+q)n≥0)=(sn+q+p)n≥0,
et
ΦXpXq((sn)n≥0)=ΦXp+q((sn)n≥0) = (sn+p+q)n≥0.
Pour toute suite (sn)n≥0de `(C)on a donc bien,
ΦXpXq((sn)n≥0) = ΦXp◦ΦXq((sn)n≥0),
ce qui montre que
ΦXpXq= ΦXp◦ΦXq.
Remarque : on a en particulier
Φ1= Id`(C)
Suites récurrentes linéaires
Soit Pun polynôme homogène de degré pà coefficients complexes. Si Ps’écrit
P(X) = Xp−
p−1
X
k=0
akXk,
notons S(P)l’ensemble des suites de nombres complexes (sn)n≥0qui vérifient pour tout entier n
positif la relation
sp+n=
p−1
X
k=0
aksk+n.
Avec les notations précédentes, cette relation s’écrit
ΦP((sn)n≥0)=0.
L’ensemble S(P)est donc le noyau de ΦP. C’est un sous-espace vectoriel de `(C). D’autre part, l’appli-
cation qui à un élément (sn)n≥0de S(P)associe le p−uplet (s0, s1, . . . , sp−1)de Cpest une application
linéaire bijective de S(P)sur Cpcar un élément de S(P)est déterminé de manière unique par la
donnée de ses ppremiers termes. Il en résulte que S(P)est de dimension deg P.
On dira que Pest le polynôme caractéristique des éléments de S(P).

AR 3
Proposition 2 Soit Pet Qdeux polynômes homogènes.
1) Si Pdivise Q, alors S(P)est un sous-espace vectoriel de S(Q).
2) Si Pet Qsont premiers entre eux, alors S(P)et S(Q)sont indépendants.
1) La relation
Q=P R
donne
ΦQ= ΦR◦ΦP.
On en déduit que Ker ΦPest inclus dans Ker ΦQ.
2) Supposons maintenant que Pet Qsont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe
deux polynômes Ret Stels que
P R +QS = 1 .
Alors
Id`(C)= ΦR◦ΦP+ ΦS◦ΦQ.
Si (sn)n≥0est un élément de Ker ΦP∩Ker ΦQ, on obtient
Id`(C)((sn)n≥0) = 0 ,
ce qui montre que
(sn)n≥0= 0 .
Il en résulte que l’intersection S(P)∩S(Q)est réduite à {0}.
Proposition 3 Soit Pun polynôme homogène de degré n. Désignons par x1, . . . , xrles racines
distinctes de P, et par pkl’ordre de multiplicité de xk. Si l’on pose
Pk(X)=(X−xk)pk,
on a alors
S(P) =
r
M
k=1
S(Pk).
Cette propriété se démontre par récurrence sur le nombre rde racines de P. La propriété est évidente
si r= 1. Supposons la vraie jusqu’à l’ordre r−1, et montrons qu’elle est vraie à l’ordre r.
Désignons par Qle polynôme P2P3· · · Pr. Les polynômes P1et Qsont premiers entre eux et divisent
P. Il résulte de la proposition 2 que la somme S(P1) + S(Q)est directe et qu’elle est incluse dans
S(P). D’autre part
dim(S(P1)⊕S(Q)) = dim S(P1) + dim S(Q) = deg P1+ deg Q= deg P= dim S(P).

AR 4
On a donc
S(P1)⊕S(Q) = S(P).
Mais, en appliquant l’hypothèse de récurrence à Q, on obtient
S(Q) =
r
M
k=2
S(Pk),
et finalement
S(P) =
r
M
k=1
S(Pk),
ce qui donne le résultat.
Ce qui précède permet donc de donner une base de S(P)pour un polynôme Pquelconque, en réunis-
sant des bases des S(Pk). Cherchons donc à caractériser ces sous-espaces.
Soit aun nombre complexe. Dans ce qui suit Padésigne le polynôme (X−a)p. Nous cherchons à
déterminer S(Pa).
1) Si a= 0, les éléments de S(Pa)vérifient, pour tout ndans N, la relation
sn+p= 0 .
Ce sont donc les suites (sn)n≥0nulles à partir du rang p. Si, pour jtel que 0≤j≤p−1, l’on pose,
s(j)n=δnj ,
on obtient une base (s(0),· · · , s(p−1)) de S(P0).
2) Si a6= 0. Nous allons établir le résultat suivant :
Proposition 4 1) Une suite (sn)n≥0appartient à S(Pa)si et seulement si il existe un polynôme
Rde degré au plus p−1tel que, pour tout entier n
sn=R(n)an.
2) Si (Q0, . . . , Qp−1)est une base de Cp−1[X], alors les suites (t(0), . . . , t(p−1)) définies par
t(j)n=Qj(n)an
constituent une base de S(Pa).
Par la formule du binôme, on obtient
Pa(X)=(X−a)p=
p
X
k=0 p
k(−a)p−kXk,

AR 5
et donc, pour net jdans N, on a
Xjdj
dXj(XnP(X)) =
p
X
k=0 p
k(−a)p−k(k+n)(k+n−1) · · · (k+n−j+ 1)Xk+n.
Si 1≤j≤n−1, notons Tjce polynôme. Il est divisible par X−a. Posons
s(0) = (an)n≥0
et, pour jcompris entre 1et p−1,
s(j)=(n(n−1) · · · (n−j+ 1) an)n≥0.
Pour tout entier n, on a
p
X
k=0 p
k(−a)p−kak+n=an
p
X
k=0 p
k(−a)p−kak=Pa(a) = 0 ,
ce qui montre que s(0) est dans S(Pa).
Pour tout ndans N, et tout jtel que 1≤j≤p−1, on a
p
X
k=0 p
k(−a)p−k(k+n)· · · (k+n−j+ 1)ak+n=Tj(a)=0,
ce qui montre que s(j)est dans S(Pa).
Pour montrer que la famille (s(0), . . . , s(p−1)) est une base de S(Pa), il suffit de montrer que les
éléments de Cpconstitués des ppremiers termes de ces suites forment une base de Cp. Or la matrice
de ces vecteurs est triangulaire et ses éléments diagonaux sont (1, a, . . . , (p−1)!ap−1). Le déterminant
de cette matrice n’est pas nul, ce qui montre l’indépendance linéaire.
Si 1≤j≤p−1, posons
Rj(X) = X(X−1) · · · (X−j+ 1) ,
ainsi que
R0(X)=1.
On a alors
s(j)n=Rj(n)an.
La famille (R0, . . . , Rp−1)est une base de Cp−1[X], et on définit un isomorphisme χde cet espace sur
S(Pa)en associant à Rjla suite s(j). Si Rest un élément de Cp−1[X], il se décompose sur la base
(R0, . . . , Rp−1)sous la forme
R(X) =
p−1
X
k=0
λkRk(X).