Densit´e des points rationnels sur un groupe alg

Densit´ e des points rationnels
sur un groupe alg´ ebrique
Michel Waldschmidt
`
A Wolfgang Schmidt pour son 60` eme anniversaire
TABLE DES MATI` ERES
1. Introduction
2. Transcendance et approximation diophantienne
3. Le th´ eor` eme principal
4. Cons´ equences
5. Plongement complexe d’un sous-groupe de type fini
6. La suite de l’histoire
Remerciements
Bibliographie
Partant d’une conjecture de Mazur concernant la topologie
des points rationnels sur une vari´ et´ e alg´ ebrique, nous ´ etudions
la densit´ e des sous-groupes de type fini du groupe des points
rationnels d’un groupe alg´ ebrique commutatif sur un corps
de nombres. Dans le cas particulier des groupes lin´ eaires, le
probl` eme consid´ er´ e se ram` ene ` a une conjecture bien connue
sur l’ind´ ependance alg´ ebrique de logarithmes lin´ eairement in-
d´ ependants de nombres alg´ ebriques.
Starting from a conjecture of Mazur concerning the topology of
rational points on an algebraic variety, we consider the density
properties of finitely generated subgroups of rational points on
a commutative algebraic group over a number field. In the
special case of linear algebraic groups, this problem reduces
to a well known conjecture on the algebraic independence of
linearly independent logarithms of algebraic numbers.
1. INTRODUCTION
Conjecture 1.1 (Mazur).

330 Experimental Mathematics, Vol. 3 (1994), No. 4
D´ efinition 1.2.
Plan de l’article

Waldschmidt: Densit´ e des points rationnels sur un groupe alg´ ebrique 331
Notations
2. TRANSCENDANCE ET APPROXIMATION
DIOPHANTIENNE
2a. Conjectures de transcendance sur la fonction
exponentielle
Conjecture 2.1 (d’ind´ ependance alg´ ebrique).

332 Experimental Mathematics, Vol. 3 (1994), No. 4
Conjecture 2.2 (d’ind´ ependance alg´ ebrique homog` ene
r´ eelle).
Conjecture 2.3 (des quatre exponentielles).
Proposition 2.4 (crit` ere d’ind´ ependance alg´ ebrique).
2b. Th´ eor` emes de transcendance
Th´ eor` eme 2.5 (du sous-groupe alg´ ebrique).
Th´ eor` eme 2.6 (du sous-groupe lin´ eaire).
Th´ eor` eme 2.7 (des six exponentielles).

Waldschmidt: Densit´ e des points rationnels sur un groupe alg´ ebrique 333
2c. Le th´ eor` eme de Kronecker
Th´ eor` eme 2.8 (Kronecker).
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
2d. Lemme topologique de D. Roy
Lemme 2.9
2e. Illustration de la m´ ethode avec
1. Densit´ e de sous-groupes de type fini de
(a)