Sous-groupes additifs de R

Sous-groupes additifs de R
L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.
Soit Gun sous-groupe de (R,+). Trois cas sont possibles :
—G={0},
— ou bien, il existe un unique a > 0tel que G=aZ,
— ou bien, Gest dense dans R.
Théorème 1 :Sous-groupes additifs de R
Démonstration. On suppose que G /∈ {0}. Alors, il existe x06= 0 tel que x0∈G. Quitte à remplacer
x0par −x0, on peut supposer que x0>0et x0∈G.
Par conséquent, l’ensemble A={g > 0/ /g ∈G}est non vide. Comme cette partie de Rest minorée
par 0, elle admet une borne supérieure noté avérifiant a>0.
—Cas où a > 0:
D’après la caractérisation de la borne inférieure, il existe x, y ∈Gtels que a6x6y < 2a.
Ainsi 06y−x < 2a−aet donc 06y−x < a. Comme y−x∈Get que a= inf Aalors
y−x= 0.
Cela signifie qu’il existe un unique x∈Gtel que a6x < 2a. D’après la caractérisation de la
borne inférieure, nécessairement a=x∈A. Ainsi, a= min(A).
Montrons que G=aZpar double inclusion.
Comme a∈Get que Gest un sous-groupe de (R,+) l’inclusion aZ⊂Gest claire.
Soit x∈G. Posons n=x
a.
De ce fait, x
a−1< n 6x apuis 06x−an < a. Or a, x ∈Get n∈Zdonc x−an ∈G. Enfin,
comme a= inf(A)alors nécessairement x−an = 0. Ainsi, x=an ∈aZ.
—Cas où a= 0 :Montrons que Gest dense dans R.
Soient x∈Ret  > 0. Montrons que l’intervalle ouvert ]x−, x +[contient, au moins, un
élément de G.
Comme a= 0 alors, d’après la caractérisation de la borne inférieure, il existe g∈Gtel que
0< g < . Posons n=jx
gk.
De ce fait, x
g−1< n 6x gpuis 06x−ng < g < .
ng est donc à la fois un élément de Get un élément de ]x−, x +[.
Ce résultat est à comparer avec celui décrivant les sous-groupes additifs de Z.
Soit Gun sous-groupe de (Z,+). Deux cas sont possibles :
—G={0},
— ou bien, il existe un unique a∈N?tel que G=aZ.
Remarque I
Soit Gun sous-groupe de (R+?,×). Trois cas sont possibles :
—G={1},
— ou bien, il existe un unique b > 1tel que G=bZ,
— ou bien, Gest dense dans R+?.
Corollaire 2 :Sous-groupes multiplicatifs de R+?
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Démonstration. Considérons l’application bijective
ln : R+?→R
x7→ ln(x)
Soit Gun sous-groupe de (R+?,×). On démontre aisément que ln(G)est un sous-groupe de (R,+).
Par le théorème précédent,
—ln(G) = {0},
— ou bien, il existe un unique a > 0tel que ln(G) = aZ,
— ou bien, ln(G)est dense dans R.
Plusieurs cas s’offrent ainsi à nous.
— Si ln(G) = {0}alors G={1}.
— S’il existe un unique a > 0tel que ln(G) = aZalors G= (ea)Zet b=eaconvient.
— Si ln(G)est dense dans Ralors eln(G)est dense dans eR, c’est-à-dire Gest dense de R+?.
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