Sous-groupes additifs de R

Sous-groupes additifs de R
L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.
Théorème 1 : Sous-groupes additifs de R
Soit G un sous-groupe de (R, +). Trois cas sont possibles :
— G = {0},
— ou bien, il existe un unique a > 0 tel que G = aZ,
— ou bien, G est dense dans R.
Démonstration. On suppose que G ∈
/ {0}. Alors, il existe x0 6= 0 tel que x0 ∈ G. Quitte à remplacer
x0 par −x0 , on peut supposer que x0 > 0 et x0 ∈ G.
Par conséquent, l’ensemble A = {g > 0/ /g ∈ G} est non vide. Comme cette partie de R est minorée
par 0, elle admet une borne supérieure noté a vérifiant a > 0.
— Cas où a > 0 :
D’après la caractérisation de la borne inférieure, il existe x, y ∈ G tels que a 6 x 6 y < 2a.
Ainsi 0 6 y − x < 2a − a et donc 0 6 y − x < a. Comme y − x ∈ G et que a = inf A alors
y − x = 0.
Cela signifie qu’il existe un unique x ∈ G tel que a 6 x < 2a. D’après la caractérisation de la
borne inférieure, nécessairement a = x ∈ A. Ainsi, a = min(A).
Montrons que G = aZ par double inclusion.
Comme a ∈ G et que G est un sous-groupe de (R, +) l’inclusion aZ ⊂ G est claire.
Soit x ∈ G. Posons n = xa .
De ce fait, xa − 1 < n 6 xa puis 0 6 x − an < a. Or a, x ∈ G et n ∈ Z donc x − an ∈ G. Enfin,
comme a = inf(A) alors nécessairement x − an = 0. Ainsi, x = an ∈ aZ.
— Cas où a = 0 : Montrons que G est dense dans R.
Soient x ∈ R et > 0. Montrons que l’intervalle ouvert ]x − , x + [ contient, au moins, un
élément de G.
Comme a = 0 alors, d’après
j k la caractérisation de la borne inférieure, il existe g ∈ G tel que
0 < g < . Posons n = xg .
De ce fait, xg − 1 < n 6 xg puis 0 6 x − ng < g < .
ng est donc à la fois un élément de G et un élément de ]x − , x + [.
Remarque I
Ce résultat est à comparer avec celui décrivant les sous-groupes additifs de Z.
Soit G un sous-groupe de (Z, +). Deux cas sont possibles :
— G = {0},
— ou bien, il existe un unique a ∈ N? tel que G = aZ.
Corollaire 2 : Sous-groupes multiplicatifs de R+?
Soit G un sous-groupe de (R+? , ×). Trois cas sont possibles :
— G = {1},
— ou bien, il existe un unique b > 1 tel que G = bZ ,
— ou bien, G est dense dans R+? .
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Démonstration. Considérons l’application bijective
ln : R+? →
R
x
7→ ln(x)
Soit G un sous-groupe de (R+? , ×). On démontre aisément que ln(G) est un sous-groupe de (R, +).
Par le théorème précédent,
— ln(G) = {0},
— ou bien, il existe un unique a > 0 tel que ln(G) = aZ,
— ou bien, ln(G) est dense dans R.
Plusieurs cas s’offrent ainsi à nous.
— Si ln(G) = {0} alors G = {1}.
— S’il existe un unique a > 0 tel que ln(G) = aZ alors G = (ea )Z et b = ea convient.
— Si ln(G) est dense dans R alors eln(G) est dense dans eR , c’est-à-dire G est dense de R+? .
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