3. Propriétés fondamentales des nombres réels

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Chapitre 3 – Propriétés fondamentales des nombres réels 1
3. Propriétés fondamentales
des nombres réels
Expliciter les savoirs et les procédures
1. Existe-t-il ?
Supposons qu’il existe
0
a
+
∈
ℝ
:
0
x
+
∀ ∈
ℝ
: 0
a x
< <
.
Entre les réels a et 0, on peut insérer le réel
0
2
a
>
; entre
2
a
et 0, on peut insérer
0
4
a
>
et
poursuivre le processus indéfiniment. On a 0 ...
4 2
a a
a x
< < < < <
.
Il n’y a donc pas de réel strictement positif plus petit que tous les autres réels strictement positifs.
2. Les voisins
a. Le plus petit nombre entier strictement supérieur à
2
est 2 ; en effet,
1 2 2
< <
.
Il n’y a pas de plus petit nombre rationnel strictement supérieur à
2
; en effet
1, 4 2 1,5
1, 41 2 1, 42
1, 414 2 1, 415
< <
< <
< <
La suite des rationnels
(
)
1,5;1, 42;1, 415;...
, ainsi construite à partir des approximations par
excès successives de
2
obtenues en se basant sur l’écriture décimale illimitée de ce nombre,
est strictement décroissante, mais n’a pas de limite rationnelle. Sa limite, dans
ℝ
, est le réel
2
Il n’y a pas de plus petit réel strictement supérieur à
2
, puisqu’entre deux réels on peut
toujours en insérer une infinité.
b. Le plus grand nombre entier strictement inférieur à
2
est 1 ; en effet,
1 2 2
< <
.
Il n’y a pas de plus grand nombre rationnel strictement inférieur à
2
; en effet
1, 4 2 1,5
1, 41 2 1, 42
1, 414 2 1, 415
< <
< <
< <
La suite des rationnels
(
)
1, 4;1, 41;1, 414;...
,ainsi construite à partir des approximations
successives par défaut de
2
obtenues en se basant sur l’écriture décimale illimitée de ce

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nombre, est strictement croissante, mais n’a pas de limite rationnelle. Sa limite, dans
ℝ
, est le
réel
2
.
Il n’y a pas de plus grand réel strictement inférieur à
2
; entre deux réels données, on peut
toujours en insérer une infinité.
3. Somme, différence, produit ou quotient de nombres rationnels et
d’irrationnels
a. La somme (ou la différence) de deux nombres rationnels est un nombre rationnel : dans
ℚ
,
l’addition est une opération interne et partout définie. La différence de deux rationnels est
définie comme étant la somme d’un rationnel et de l’opposé du second, et est donc aussi un
rationnel.
Le produit de deux rationnels est un rationnel : la multiplication des deux rationnels est une
opération interne et partout définie.
Le quotient d’un rationnel par un rationnel non nul est un rationnel. Il n’est en effet défini que
si le diviseur est non nul.
b. La somme de deux nombres irrationnels non opposés est un nombre irrationnel.
La différence de deux irrationnels distincts est un irrationnel.
Le produit de deux irrationnels peut être un rationnel. Exemple :
2 5 8 5 16 20
⋅ = =
.
Le quotient de deux irrationnels peut être un rationnel. Exemple :
3 2 3
2
8
=
.
c. La somme (ou la différence) d’un nombre irrationnel et d’un nombre rationnel est un irrationnel.
Le produit d’un nombre irrationnel et d’un nombre rationnel est un irrationnel.
Le quotient d’un nombre irrationnel par un nombre rationnel non nul est un nombre irrationnel.
Appliquer une procédure
4. Écritures décimales de fractions à termes entiers
a. Peuvent s’écrire sous forme d’un décimal limité :
13 7 14 9
, , ,
8 40 280 75
.
Remarque : Les nombres ci-dessus peuvent s’écrire sous forme d’un décimal illimité
périodique présentant une période constituée du chiffre 0.
Peuvent s’écrire sous forme d’un décimal illimité périodique dont la période comprend au
moins un chiffre différent de 0 :
11 3 10
, ,
3 7 75
(voir synthèse 4 ).
b. Le décimal est limité lorsque le dénominateur de la fraction irréductible est une puissance de 2,
de 5 ou un produit de puissances de ces deux nombres.

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c.
11
3,66666...
3
=
de période 6
3
0, 428571428571...
7
=
 de période 428571
10 2
0,133333...
75 15
= =
de période 3
5. Écriture fractionnaire de décimaux illimités périodiques
4,377777777...
b= −
100 437, 77777...
10 43, 7777...
90 437 43
394 197
90 45
b
b
b
b
= −
= −
= − +
− −
= =
⌢
332,323232...
c=
100 33232,323232...
332,323232...
99 33232 332
32900
99
c
c
c
c
=
=
= −
=
3,329999
d=
1000 3329,9999...
100 332,9999...
900 3329 332
2997 333
900 100
d
d
d
d
=
=
= −
= =
6. Approximations rationnelles d’une racine carrée
a. La machine à calculer utilisée donne
3 1,732050808
=
et 1552
1,732142857
896
=.
Le rationnel
1552
896
est une approximation par défaut de
3
à
4
10
−
près. L’erreur est inférieure à
4
10
−
.

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b. Lorsque ce procédé de mise au carré est répété un nombre suffisant de fois, c’est-à-dire en
calculant
3 1
−
avec un exposant égal à une puissance de 2 suffisamment grande, il peut fournir
une approximation de la valeur cherchée avec une erreur inférieure à un
0
ε >
donné.
Cela peut être démontré comme suit.
La suite
(
)
0
3 1
n
n∈
−
N
tend vers 0, puisque
0 3 1 1
< − <
. D’après la définition de la limite
d’une suite (cas réel) :
(
)
( )( )
(
)
0 0 0
: 3 1
n
m n n m
+
∀ε ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ − < ε
R N N
Considérons une valeur donnée d’
ε
, strictement positive. Soit m convenant dans la définition
ci-dessus pour cette valeur d’
ε
, et soit
1
n une puissance de 2 strictement supérieure à m. La
puissance
(
)
3 1
n
−
peut
2
alors s’écrire sous la forme
3
−
p q
avec
0
,∈p q
N
. Pour la valeur de
n donnée ci-dessus. On a donc
(
)
3 1
n
− < ε
3
− < ε
p q
3
− ε <
p q
3
ε
− <
p
q q
3
p
q q
ε
< +
(1)
Puisque
0
∈q
N
, on a:
1
≥
q
1
1
≥
q
q
ε
ε ≥
q
ε
≤ ε
,
3 3
q
ε
+ ≤ + ε
(2)
De plus, d’après le développement fourni dans l’énoncé, on sait que
(
)
0 3 1
n
< −
1
On pourrait démontrer qu’une telle valeur existe, mais on ne le fera pas ici.
2
On a pu constater dans l’exemple développé dans l’énoncé de l’exercice que cela était vrai pour
1 2
2 , 2
= =
n n
et
3
2
=
n mais on peut facilement démontrer par récurrence que cela est encore vrai pour
2
=
k
n quel que soit
0
∈k
N
.

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Chapitre 3 – Propriétés fondamentales des nombres réels 5
d’où
0 3
< −
p q
3
<
p
q
(3)
De (1) , (2) et (3), on tire que
3 3
p
q
< < + ε
D’où
p
q
est une approximation (par excès) de
3
à moins de
ε
près.
Ce procédé peut être généralisé au calcul de valeurs approchées des autres racines carrées non
entières.
c. On a
2 5 3
< <
, donc
0 5 2 1
< − <
.
La suite des puissances entières de
5 2
−
tend vers 0 puisque
5 2 1
− <
.
(
)
2
5 2 9 4 5
− = −
(
)
2
9 4 5 161 72 5
− = −
(
)
2
161 72 5 51841 23184 5
− = −
51841 23184 5 0
−
≃
51841
5
23184
≃
7. Héron d’Alexandrie et les racines carrées
a. 1
er
rectangle
2 18 9
< <
2
e
rectangle les côtés de ce rectangle sont 9 2
5,5
2
+
= et 18 36
3, 272727...
5,5 11
= =
36
18 5,5
11
< <
3
e
rectangle les côtés de ce rectangle sont
4,386363...
et 4,1036269…
4,1036269... 18 4,386363...
< <
4
e
rectangle les côtés de ce rectangle sont 4,2449952… et 4,2402873…
4, 24028739... 18 4, 24499252...
< <
Dès le 4
e
encadrement, on a une approximation de
18
à
2
10
−
près :
18 4, 24
≃