Université d`Oran Quotient des opérateurs bornés extension aux

Université d’Oran
Quotient des opérateurs bornés
extension aux opérateurs non bornés
et applications
par
Gherbi Abdellah
Département de Mathematique
Faculté des Sciences
Thèse présentée à la Faculté des Sciences
en vue de l’obtention du grade de Magister
en Mathématiques
Juin, 2010
c Gherbi Abdellah, 2010.
Université d’Oran
Faculté des Sciences
Cette thèse intitulée:
Quotient des opérateurs bornés
extension aux opérateurs non bornés
et applications
présentée par:
Gherbi Abdellah
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:
Mekki TERBECHE,
Bekkai MESSIRDI,
M.Hicham MORTAD,
Abderrahmane SENOUSSAOUI,
Mustapha CHEGGAG,
président
Encadreur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Thèse acceptée le: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS . . . . . . . .
1
CHAPITRE 1 :
1.1
Quotient de deux opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Théorème de Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Quotient par l’inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.1
Inverse généralisé d’un opérateur borné . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Solution réduite sur un sous-espace fermé . . . . . . . . . . . .
9
Exemple matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
CHAPITRE 2 :
SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS . . . . . . . . 14
2.1
Somme des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
produit des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Exemple matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
CHAPITRE 3 :
CARACTÈRES DU QUOTIENT . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1
Adjoint du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Fermeture du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Fermabilité du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Les Adjoints successifs du quotient
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5
Extension du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.6
Symétrie, Auto-adjonction et normalité du quotient . . . . . . . . . . .
35
3.7
Adjoint de la somme et du produit des quotients . . . . . . . . . . . . .
38
3.7.1
Adjoint de la somme des quotients . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.7.2
Adjoint du produit des quotient . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
iv
3.8
Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 4 :
45
QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS . . . . . 50
4.1
Théorème de Douglas 2eme Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
Quotient par l’inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.2.1
Inverse généralisé d’un opérateur non borné . . . . . . . . . . .
54
Somme et Produit des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.3.1
Somme des quotient d’opérateurs non bornés . . . . . . . . . .
55
4.3.2
Produit des quotient d’opérateurs non bornés . . . . . . . . . .
56
Adjoint du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3
4.4
REMERCIEMENTS
Premièrement et particulièrement, je tiens à remercier vivement mon promoteur Monsieur le professeur BEKKAI MESSIRDI pour son soutient indéfectible durant la préparation de ce projet, dès le début sa confiance à mon égard et à mon travail m’a donnée
une énergie et une inspiration de soulever toutes les difficultés.
Aussi je tiens à remercier par l’occasion tous les membres du jury pour l’honneur qu’il
me font en acceptant de présider et examiner ce travail.
Finalement, j’adresse mes remerciements les plus vifs à mes parents pour leur soutient
exemplaire et leurs sacrifices loyaux durant ces longues années de quête sur la voie du
savoir.
INTRODUCTION
La notion du quotient est l’une des anciens concepts en mathématique, elle est apparue
depuis l’antiquité elle fût utilisée par les Grecques, les Babéliens, Egyptiens ainsi que
dans la Civilisation Islamique. Euclide par exemple, quand il a défini la division qui
porte son nom (division euclidienne), il a utilisé la notion du quotient comme étant la
partie entière du résultat de la division de deux entiers.
Dans plusieurs branches des mathématiques abstraites, le mot quotient est souvent
utilisé pour décrire des espaces ou des structures algébriques dont les éléments sont les
classes d’équivalence de certaines relations d’équivalence sur un autre espace précis.
Par exemple, en Algèbre nous avons l’ensemble quotient, groupe quotient, l’espace quotient en Algèbre linéaire et l’espace quotient d’espace topologique dans la théorie de la
topologie des espaces...etc.
L’objet du mémoire est une extension de la notion du quotient aux cas des opérateurs linéaires bornés et ensuite à la classe des opérateurs linéaires non bornés sur un
espace de Hilbert. La notion du quotient des opérateurs est nouvelle, elle est actuellement exploitée par plusieurs équipes de recherches et utilisée dans différents domaines
de mathématiques pures (théorie spectrale des opérateurs fermés) et appliquées (résolution des équations différentielles abstraites et des équations aux dérivées partielles).
Pour réaliser ce travail, on a situé notre recherche suivant quatre points importants :
(1) Le quotient des opérateurs bornés au sens de Izumino et le théorème de Douglas.
Le théorème de Douglas est un outil incontournable pour notre sujet.
(2) Quelques opérations algébriques usuelles sur les opérateurs quotients telles que
la somme et le produit.
(3) Les différentes propriétés du quotient des opérateurs linéaires bornés notamment
L’adjoint du quotient, la fermeture, la fermabilité ...etc.
(4) La généralisation du quotient au cas des opérateurs non bornés sur un espace de
Hilbert.
Ce mémoire est organisé en quatre chapitres :
Au chapitre 1, nous abordons les notions de bases nécessaires pour notre sujet. On a
vii
défini une condition nécessaire d’existence du quotient de deux opérateurs linéaires bornés sur un espace Hilbert, cette condition porte sur le concept du graphe d’un opérateur
linéaire. On a décrit par la suite le théorème de Douglas qui sert à factoriser les opérateurs linéaires bornés lorsque les images sont emboitées ou équivalemment s’il existe
un ordre entre les opérateurs considérés. La relation entre la solution de Douglas d’une
équation abstraite du type AX = B où A et B sont deux opérateurs linéaires bornés sur un
espace de Hilbert et le quotient [B\A] est aussi établie. Le quotient [B\A] peut être obtenu à l’aide de l’inverse généralisé lorsque l’image de l’opérateur linéaire A est supposé
fermé dans H.
Ce chapitre contient un exemple d’application dans le cas des matrices finies.
Le chapitre 2 est réservé à étudier la somme et le produit des opérateurs quotients.
Dans ce contexte, on a montré que la somme et le produit des opérateurs quotients préserve le quotient, c’est-à-dire que la somme et le produit des opérateurs quotients sont
aussi des opérateurs quotients. Pour cela on a introduit quelques nouvelles notions telle
que la somme parallèle des opérateurs, cette dernière nous permet de définir une représentation en quotient irréductible pour la somme des quotients. Pour le produit, on
donne aussi une représentation irréductible en s’appuyant sur les solutions de Douglas
développées au premier chapitre. On a terminé ce chapitre par un exemple matriciel qui
confirme les résultats généraux précédemment obtenus.
Dans le troisième chapitre, on s’intéresse aux différentes propriétés spectrales des
quotients d’opérateurs linéaires bornés sur H. On a défini l’Adjoint du quotient et on
a montré que cette définition préserve le quotient et on a donné une représentation irréductible pour l’adjoint d’un opérateur quotient. On a ensuite étudié la fermeture et
la fermabilité des opérateurs quotients pour qu’on puisse définir les adjoints successifs
des opérateurs quotients tels que le second et le troisième adjoint. Puis on a exploré les
extensions des opérateurs quotients, cela nous amène à traiter le caractère symétrique,
auto-adjoint et le caractère normal des opérateurs quotients. On achève ce chapitre par
une application au cas des opérateurs fermés de domaine dense dans H, ces opérateurs
ont une expression quotient assez intéressante.
Au chapitre 4, on donne une généralisation de la notion du quotient d’opérateurs
viii
au cas non borné. On a posé les conditions nécessaires qui garantissent l’existence du
quotient des opérateurs non bornés. On a traité par la suite comme aux chapitres 1 et
2, la somme et le produit des opérateurs quotients d’opérateurs non bornés ainsi que la
notion de l’adjoint et on a montré que ces notions, comme dans le cas borné, conservent
le quotient. Nous avons traité à la fin de ce chapitre un exemple sur les opérateurs de
multiplication et on a montré que le quotient des opérateurs de multiplication est un
opérateur de multiplication par le quotient des deux fonctions.
Ce travail est achevé par des perspectives de recherche et d’une bibliographie composée de 15 références.
CHAPITRE 1
QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
On présente dans ce chapitre les concepts de base de notre étude, nous aborderons les
notions du quotient de deux opérateurs bornés A et B sur un espace de Hilbert H au sens
de Izumino. Le théorème de majoration de Douglas est un outil essentiel pour notre sujet,
il est aussi utile pour établir la relation entre le quotient [B\A] et la solution de Douglas
d’une équation du type AX = B. On terminera ce chapitre par une représentation du
quotient en fonction de l’inverse généralisé d’un opérateur borné.
1.1
Quotient de deux opérateurs bornés
Soit H un espace de Hilbert.
On désigne par B(H) l’Algebre des opérateurs bornés définis de H dans H.
Soient A et B ∈ B(H), on note par
G(A, B) = {(Au, Bu) ; u ∈ H}
G(A, B) un sous-espace de H × H.
Rappelons qu’un sous espace G de H × H est un graphe d’un opérateur linéaire sur H si
aucun élément de type (0, u) avec u 6= 0 appartient a G.
Autrement dit :
G est un graphe d’un opérateur si et seulement si ∀(0, u) ∈ G =⇒ u = 0.
Ainsi, G(A, B) est un graphe d’un opérateur linéaire sur H si :
∀u ∈ H tel que Au = 0 =⇒ Bu = 0
ou bien ∀u ∈ KerA =⇒ u ∈ KerB
Ou alors
KerA ⊂ KerB
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.1. QUOTIENT DE DEUX OPÉRATEURS BORNÉS
D’où, G(A, B) est un graphe si et seulement si KerA ⊂ KerB.
Si G(A, B) est un graphe, notons par F l’opérateur linéaire tel que G(F) = G(A, B) .
Donc F sera l’application :Au −→ Bu ∀u ∈ H,
c’est à dire ∀u ∈ H on a Bu = FAu.
D’où, B = FA, on pose F = B\A. Nous avons alors la définition suivante :
Définition 1.1.1. Soient A et B deux opérateurs bornés sur H tels que :
KerA ⊂ KerB . On appelle opérateur quotient de B par A et on note [B\A] l’application :
Au −→ Bu, ∀u ∈ H
Remarque 1.1.1. G(A, B) est le graphe de [B\A] .
[B\A] a pour domaine l’ensemble D = {Au ; u ∈ H} = ImA
Remarque 1.1.2. Le quotient de deux opérateurs bornés n’est pas forcément un opérateur borné.
Exemple 1.1.1. Soit A ∈ B(H), on a trivialement :
1) A = [A\I] avec I l’opérateur identité sur H.
2) A = [An \An−1 ] ou n ∈ N tel que n ≥ 1.
Nous allons exposer maintenant un théorème important dûe à Douglas concernant
la factorisation, l’inclusion, et la majoration des opérateurs bornés dans un espace de
Hilbert. Il est généralement attribuée à Ronald G. Douglas, bien que Douglas reconnaît
que certains aspects de ce théorème ont été avoncés bien avant lui.
2
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.2
1.2. THÉORÈME DE DOUGLAS
Théorème de Douglas
Théorème 1.2.1. Soient A et B deux opérateurs bornés sur H.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. ImB ⊂ ImA
2. BB∗ ≤ λ AA∗ pour λ > 0
3. ∃ C ∈ B(H) tel que B = AC
Si l’une de ces conditions est vérifiée alors il existe un opérateur unique D tel que B = AD
et ImD ⊂ ImA∗
D est dite la solution de Douglas de l’équation B = AX.
Preuve 1. (3) ⇒ (2)
On suppose que B = AC ou C ∈ B(H)
BB∗ = ACC∗ A∗ = kCk2 AA∗ − A(kCk2 I −CC∗ )A∗ ≤ kCk2 AA∗
car A(kCk2 I −CC∗ )A∗ ≥ 0.
En effet, ∀u ∈ H on a :
hA(kCk2 I −CC∗ )A∗ u, ui = h(kCk2 I −CC∗ )A∗ u, A∗ ui
= hkCk2 A∗ u, A∗ ui − hCC∗ A∗ u, A∗ ui
= kCk2 kA∗ uk2 − kC∗ A∗ uk2 ≥ 0
(3) ⇒ (1) On suppose que B = AC
Soit y ∈ ImB il existe alors x ∈ H tel que y = Bx = ACx, posons u = Cx on a donc
y = Au ∈ ImA
(1) ⇒ (3) Supposons maintenant que ImB ⊂ ImA.
∀ f ∈ H on a B f ∈ ImB ⊂ ImA il existe alors h ∈ (KerA)⊥ tel que Ah = B f .
Soit C1 un opérateur défini de H dans H tel que C1 f = h
D’où, ∀ f ∈ H on a B f = AC1 f c’est à dire que B = AC1 .
3
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.2. THÉORÈME DE DOUGLAS
Monrons que C1 est borné.
On sait d’après le théorème du graphe fermé que C1 est borné si et seulement si le graphe
G1 de l’operateur C1 est fermé dans H × H.
Vérifions que G1 est fermé : Soit ( fn , hn )n∈N une suite d’element de G1 telle que :
lim ( fn , hn ) = ( f , h)
n→∞
D’où,

 lim B fn = B f
n→∞
 lim Ahn = Ah
n→∞
car A et B sont bornés.
Ainsi, B f = Ah et comme kerA est fermé on a h ∈ (KerA)⊥ .
D’où, C1 f = h et par conséquent G1 est fermé et donc C1 est borné.
(2) ⇒ (3)Supposons que BB∗ ≤ λ AA∗ .
Soit C2 une application définie de ImA∗ dans ImB∗ par C2 (A∗ f ) = B∗ f .
C2 est borné car :
kC2 (A∗ f )k2 = kB∗ f k2 = hB∗ f , B∗ f i = hBB∗ f , f i ≤ λ 2 hAA∗ f , f i = λ 2 kA∗ f k2
D’où, on peut prolenger C2 sur ImA∗ en posant C2 = 0 sur (ImA∗ )⊥ . Alors, C2 A∗ = B∗ ,
posons D = C2∗ on a donc B = AD et par consiquant (2) implique (3).
De plus, KerD = KerC2∗ = (ImC2 )⊥ = (ImB∗ )⊥ = kerB et (ImA∗ )⊥ ⊂ KerC2 = (ImD)⊥
donc ImD ⊂ ImA∗ .
Montrons que D est unique :
Soit E ∈ B(H) tel que B = AE et ImE ⊂ ImA∗ alors B = AE implique que E ∗ A∗ = B∗ =
D∗ A∗ .
D’où, E f = D f pour f ∈ ImA∗ .
Si f ∈ (ImA∗ )⊥ alors f ∈ (ImE)⊥ = KerE ∗ c’est à dire E ∗ f = D∗ f = 0, ainsi D = E.
♦
Remarque 1.2.1. L’opérateur A peut s’exprimer comme étant le quotient des opérateurs
B et D (A = [B\D]) où D est la solution de Douglas de l’équation B = AD.
4
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.2. THÉORÈME DE DOUGLAS
Si ImA = ImB il existe D (resp. C) définie de H dans (KerA)⊥ (resp. (KerB)⊥ )
tels que :

 B = AD
 A = BC
ce qui implique que DC (resp. CD) est l’opérateur identité sur (KerA)⊥ (resp. (KerB)⊥ ).
Si on suppose maintenant que KerA = KerB on a donc :
Corollaire 1.2.2. B = AD ou D est un opérateur inversible définie sur H.
Si on suppose que AB = BA on obtiendra AD = DA où D est la solution de Douglas
de AX = B ce qui veut dire :
Corollaire 1.2.3. Soient A et B ∈ B(H) tels que ImB ⊂ ImA et AB = BA alors, l’unique
solution D de Douglas de AX = B est exactement le quotient [B\A].
En effet, on a d’une part :
AB = BA ⇐⇒ AAD = ADA
⇐⇒ AAD − ADA = 0
⇐⇒ A(AD − DA) = 0
ce qui implique que Im(AD − DA) ⊂ KerA.
D’autre part, Comme ImD ⊂ ImA∗ = (KerA)⊥ , on a Im(AD − DA) ⊂ ImA + ImD ⊂
(KerA)⊥ . D’où,


Im(AD − DA) ⊂
KerA
Im(AD − DA) ⊂
(KerA)⊥ 
=⇒ Im(AD − DA) = {0}
c’est à dire AD = DA et par conséquent : B = AD = DA alors D = [B\A].
Remarquons d’après la preuve précédente que :
BB∗ ≤ λ 2 AA∗ ⇔ kB∗ uk ≤ λ kA∗ uk, ∀u ∈ H
Définition 1.2.1. Soient A et B ∈ B(H) dans H.
On dit que A majore B s’il existe M > 0 tel que ∀u ∈ H on a kBuk ≤ MkAuk.
5
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.2. THÉORÈME DE DOUGLAS
D’où, si A∗ majore B∗ il existe alors une solution unique D de Douglas telle que B = AD.
Proposition 1.2.4. Soient A et B deux opérateurs dans B(H). Les conditions suivantes
sont équivalentes :
1. A majore B.
2. ∃V ∈ B(ImA, H) tel que B = VA ou bien V = [B\A].
3. ∀(xn )n ⊂ H telle que kAxn k −→ 0 ⇒ kBxn k −→ 0.
Preuve 2. (1) ⇒ (3)
On suppose que A majore B, il existe alors M > 0 tel que ∀u ∈ H kBxk ≤ MkAxk.
Soit (xn )n une suite d’éléments dans H telle que, kAxn k −→ 0, on a alors
0 ≤ kBxn k ≤ kAxn k −→ 0. D’où, kBxn k −→ 0.
(3) ⇒ (2)
Supposons que l’implication suivante est vraie :
∀(xn )n ⊂ H telle que kAxn k −→ 0 ⇒ kBxn k −→ 0
on a donc comme conséquence immédiate KerA ⊂ KerB.
Alors on peut définir un opérateur V = [B\A] : ImA −→ H tel que VAu = Bu, ∀u ∈ H
d’où B = VA.
Nous avons de plus V est continue sur ImA . En effet :
Pour toute suite (Axn )n d’éléments de ImA convergente vers Ax, on a :
kAxn − Axk −→ 0 ⇔ kA(xn − x)k −→ 0
car A est linéaire ainsi kB(xn − x)k −→ 0 d’apres(3)
D’autre part :
kV (Axn ) −V (Ax)k = kV (Axn − Ax)k
= kVA(xn − x)k
= kB(xn − x)k −→ 0
6
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.2. THÉORÈME DE DOUGLAS
D’où V est continue sur ImA, il est donc prolongeable sur ImA
et par conséquent (2) est verifiée.
(2) ⇒ (1)
Supposons que ∃ V = [B\A] ∈ B(ImA, H) tel que B = VA. On a donc :
∀u ∈ H, VAu = Bu ⇒ kVAuk = kBuk
Or, kVAuk ≤ kV kkAuk ainsi kBuk ≤ kV kkAuk
ce qui montre que A majore B
♦
Remarque 1.2.2. La condition A majore B est plus forte que KerA ⊂ KerB.
Autrement dit, A ma jore B =⇒ KerA ⊂ KerB.
Question :Quand est ce qu’on a l’implication inverse ?
Proposition 1.2.5. Soient A et B deux opérateurs de B(H) tels que ImA est fermé dans
H et KerA ⊂ KerB, alors A majore B.
Preuve 3. Soient B̃,Ã deux opérateurs définies de (H/KerA) dans H tels que :
B̃(x + kerA) = Bx et Ã(x + KerA) = Ax, ∀x ∈ H
On a B̃ est borné et Ã−1 : ImA −→ H/ImA est fermé .
Comme ImA est fermé on obtient d’après le théorème du graphe fermé que Ã−1 est borné
sur H. Soit (xn )n une suite d’elements dans H telle que kAxn k → 0, alors
kxn + KerAk = kÃ−1 (Axn )k −→ 0
D’où, kBxn k = kB̃(xn + kerA)k −→ 0.
D’après la proprieté (3) de la proposition (1.2.4), on a A majore B
♦
7
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.3
1.3. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
Quotient par l’inverse généralisé
1.3.1
Inverse généralisé d’un opérateur borné
0
Définition 1.3.1. Un opérateur borné A ∈ B(H) est dit inverse généralisé (ou pseudo0
inverse) d’un opérateur A ∈ B(H) si AA A = A.
Proposition 1.3.1. Soit A ∈ B(H).
A admet un inverse généralisé si et seulement si ImA est fermé dans H
Preuve 4. Première implication :
0
0
Soit A l’inverse généralisé de A. On a AA A = A.
0
0
0
0
Composons les deux membres de cette égalité par A on obtient AA AA = AA c’est à
0
0
dire que AA est une projection sur le sous-espace fermé ImAA .
0
0
De plus, ImA = Im(AA A) ⊂ Im(AA ) ⊂ ImA.
0
D’ou, puisque ImA = Im(AA ) alors ImA est fermé.
Inversement : Si ImA est fermé alors la projection orthogonale PImA sur ImA dans H est
borné sur H . Ainsi d’après le théorème de Douglas l’equation AX = PImA admet une
0
0
0
solution. Il existe alors A ∈ B(H) tel que AA = PImA . D’où, AA A = PImA A = A et par
0
conséquent A admet un inverse généralisé A .
♦
Corollaire 1.3.2. L’inverse généralisé d’un opérateur borné n’est pas unique.
Corollaire 1.3.3. Soient A et B deux opérateurs dans B(H).
Si ImB ⊂ ImA et ImA est fermé on a :
0
0
{A B ; AA A = A} est l’ensemble des solutions de l’équation de Douglas AX = B.
0
0
0
En effet : A(A B) = AA B = B car AA est la projection orthogonale sur ImA.
On sait d’après le théorème de Douglas qu’il existe une solution unique D de l’équation
AX = B pour laquelle ImD ⊂ ImA∗ .
0
0
0
D’où, D ∈ {A B ; AA A = A}, par conséquent il existe un inverse généralisé unique A de
0
A tel que D = A B.
8
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.3. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
0
Cet unique inverse généralisé A sera noté A† . On s’intéresse maintenant à la caractérisation de A†
Proposition 1.3.4. Soit A ∈ B(H) tel que ImA est fermé dans H, alors :
l’unique inverse généralisé A† ∈ B(H) possede les propriétes suivantes :
1. AA† A = A
2. A† AA† = A†
3. (AA† )∗ = AA†
4. (A† A)∗ = A† A
A† est aussi l’inverse généralisé de Moore Penrose.
Preuve 5. On suppose qu’il existe deux opérateurs X et Y vérifiant les propriétés précédentes.
Montrons que X = Y :
X = X(AX)∗ = XX ∗ A∗ = X(AX)∗ (AY )∗
= XAY = (XA)∗ (YA)∗Y = A∗Y ∗Y
= (YA)∗Y = Y
♦
On note par A[i] , A[i, j] , A[i, j, k] , A[i, j, k, l] les ensembles des inverses généralisés de
A vérifiant les propriétés {i}, {i, j}, {i, j, k}, {i, j, k, l} respectivement
où i, j, k, l = 1, 2, 3, 4. Ainsi d’après la proposition précédente on a A[1, 2, 3, 4] = {A† }.
Remarque 1.3.1. Si A est inversible on a A† = A−1
1.3.2
Solution réduite sur un sous-espace fermé
Théorème 1.3.5. Soient A et B ∈ B(H) tels que ImB ⊂ ImA et M un sous-espace fermé
dans H tel que KerA ⊕ M = H . Alors il existe une solution unique XM de l’équation
AX = B telle que ImXM ⊂ M.
9
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.3. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
La solution XM est dite solution réduite de l’équation AX = B sur le sous-espace M.
Preuve 6. La preuve est similaire a celle du théorème de Douglas.
♦
Proposition 1.3.6. Sous les mêmes hypotheses du théorème précédent, si ImA est fermé
dans H et Y ∈ B(H), alors Y est la solution réduite de l’équation AX = B sur M si et
seulement si :
0
0
Y = A B ou A ∈ A[1, 2]
Preuve 7. Soit XM une solution réduite sur M de AX = B .
0
0
Montrons qu’il existe A ∈ A[1, 2] tel que XM = A B.
Comme KerA ⊕ M = H, on peut choisir Q une projection sur M tel que :KerQ = KerA
0
0
0
et Q une projection sur ImA. Alors A = QA† Q appartient a A[1, 2], de plus
0
0
A B = A AXM = QXM = XM
0
Inversement, soit A ∈ A[1, 2], alors :
0
AA est une projection sur ImA
0
0
A A est une projection sur ImA
0
0
AA B = B c’est à dire que A B est une solution de l’équation AX = B.
0
Il reste a montrer qu’il existe un sous-espace M fermé dans H tel que Im(A B) ⊂ M et
KerA ⊕ M = H.
0
0
Puisque la projection AA a une image fermée on a ImA + KerA est fermé1 . De plus,
0
KerA ∩ ImA = {0}. En effet :
0
0
Soit x ∈ KerA ∩ ImA , alors Ax = 0 ⇒ A Ax = 0 = x.
0
0
0
Posons S = ImA ⊕ KerA et M = ImA + S⊥ . Comme (ImA )⊥ + S = H, on a M est fèrmé
1 voir
[15] prop1.2
10
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
2 dans
1.3. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
0
H et M ∩ kerA = {0} car KerA ∩ ImA = {0} or KerA ⊂ M alors :
0
M + KerA = ImA + S⊥ + KerA = S + S⊥ = H
0
0
On a finalement : ImA B ⊂ ImA ⊂ M et M ⊕ KerA = H.
0
D’où, A B = XM
♦
Corollaire 1.3.7. Soient A et B ∈ B(H) tels que ImA est fermé et ImB ⊂ ImA, alors :
A† B est la solution de Douglas de l’équation AX = B.
En effet : il suffit de poser M = ImA∗ .
Nous allons maintenant essayer de résumer tous les résultats obtenus précédement dans
le théorème suivant afin que nous puissions voir la relation existante entre le quotient de
deux opérateurs bornés et la solution de Douglas d’une équation de type AX = B à l’aide
de la notion d’inverse généralisé d’un opérateur borné.
2 voir
[15] prop1.3
11
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.3. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
Théorème 1.3.8. Soient A ,B deux opérateurs bornés dans H tels que :
• ImA est fermé dans H
• KerA ⊂ KerB
• ImB ⊂ ImA
Alors :
1. A majore B.
2. ∃V = [B\A] = BA† ∈ B(ImA, H)/B = VA
3. l’équation AX = B admet une solution de Douglas D = A† B.
Si de plus A commute avec B (AB = BA), on a :
V = D = [B\A] ou bien [B\A] = A† B = BA†
Preuve 8. On se limite à monter le cas où A commute avec B.
Comme AB = BA, on a :
A† AB = A† BA ⇒ B = A† BA
⇒ BA† = A† BAA†
⇒ BA† = A† B
♦
Remarque 1.3.2. Si A est inversible on a [B\A] = BA−1 et D = A−1 B
Si de plus AB = BA on a [B\A] = BA−1 = A−1 B.
Corollaire 1.3.9. Si A majore B on a [B\A] = BA† est borné sur H.
En effet :
Si A majore B, il existe d’après le théorème de Douglas un opérateur borné C1 tel que
B∗ = A∗C1 ou bien B = C1∗ A.
D’où, [B\A] ⊂ C1∗ = C. Ainsi C est une extension bornée de [B\A] et par conséquent
[B\A] est borné.
12
CHAPITRE 1. QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS
1.4
1.4. EXEMPLE MATRICIEL
Exemple matriciel
Exemple 1.4.1. Soient A et B deux matrices 
carrés diagonales
telles

 que A ne
 contient
2 0 0
1 0 0




B= 0 4 0 
aucun zéro sur les éléments diagonaux. A = 
0
1
0




0 0 3
0 0 0
1. Calculons A†
2. Calculons [B\A] = BA† et A† B
3. Vérifions que BA† = A† B
En effet :
1. Comme A ne contient aucun zéro au niveau des éléments diagonaux on a, A est
inversible.

1
2
0 0




D’où, A† = A−1 = 
0
1
0


1
0 0 3
2. Calculons [B\A]
On a d’après le théorème précédent :[B\A] = BA† = BA−1
D’où,

1
2
0 0




[B\A] = 
 0 4 0 
0 0 0
3. Remarquons que AB = BA. D’où

1
2
0 0




BA† = BA−1 = A−1 B = A† B = 
 0 4 0 
0 0 0
Ainsi la solution de Douglas D = A† B de AX = B est exactement le quotient [B\A].
13
CHAPITRE 2
SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Notre objectif à travers ce chapitre est d’étudier les opérations usuelles sur les quotients
telles que l’addition et la multiplication. Pour cela, nous devons montrer que pour tout
opérateurs A et B bornés sur H les ensembles ImA + ImB , ImA ∩ ImB et B−1 (ImA) =
{x ∈ H ; Bx ∈ ImA} sont des images d’opérateurs linéaires bornés sur H à déterminer,
afin de représenter en quotient la somme et le produit de deux opérateurs quotients. On
achève ce chapitre par un exemple matriciel.
1
Théorème 2.0.2. Soient A et B ∈ B(H), alors ImA + ImB = ImR ou R = (AA∗ + BB∗ ) 2 .


A −B
 un opérateur sur H 0 = H ⊕ H.
Preuve 9. Soit T = 
0 0
On a d’une part, ImT = (ImA + ImB) ⊕ {0}
1
Comme ImS = Im(SS∗ ) 2 pour S un opérateur quelconque sur un espace de Hilbert,
on a
1
ImT = Im(T T ∗ ) 2


1
(AA∗ + BB∗ ) 2 0

= Im 
0
0
1
= Im(AA∗ + BB∗ ) 2 ⊕ {0}
1
D’où, ImA + ImB = Im(AA∗ + BB∗ ) 2 = ImR.
♦
Pour trouver les deux autres opérateurs qui ont pour images ImA ∩ ImB et B−1 (ImA), on
en besoin d’introduire une nouvelle notion dite somme parallèle.
Définition 2.0.1. Soient A, B ∈ B(H).
On appelle somme parallèle de AA∗ et BB∗ et on note AA∗ ⊕ BB∗ l’opérateur AX ∗Y B∗ ,
où X,Y sont respectivement les solutions de Douglas des équations RX = A et RY = B.
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Lemme 2.0.3. Soient A, B, R, X,Y les opérateurs définits ci-dessus, et P la projection
orthogonale sur ImR. Alors :
1. XX ∗ +YY ∗ = P.
2. AA∗ ⊕ BB∗ = BB∗ ⊕ AA∗ = A(I − X ∗ X)A∗ = B(I −Y ∗Y )B∗ .
où I est l’opérateur identité sur H.
Preuve 10. Montrons(1)
On pose Q = XX ∗ +YY ∗ . on a par définition
RQR = R(XX ∗ +YY ∗ )R
= RXX ∗ R + RYY ∗ R
= AA∗ + BB∗ = R2
Or :R(Q − P)R = 0 . D’ou : Im(Q − P)R ⊂ KerR .
Comme
on a

 KerR ⊂ KerX ∗
 KerR ⊂ KerY ∗

 ImX ⊂ (KerR)⊥
 ImY ⊂ (KerR)⊥
Ainsi, Im(Q − P)R ⊂ Im(Q − P) ⊂ (KerR)⊥ .
D’où, (Q − P)R = 0 et comme R(Q − P) = 0 on aura Q − p = 0 ⇒ Q = P = XX ∗ +YY ∗ .
Montrons (2) : AA∗ ⊕ BB∗ = BB∗ ⊕ AA∗ = A(I − X ∗ X)A∗ = B(I −Y ∗Y )B∗ .
Comme PX = X , PY = Y et d’apres (1) on a XX ∗ commute avec YY ∗
D’où,
AA∗ ⊕ BB∗ = AX ∗Y B∗ = RXX ∗YY ∗ R
= RYY ∗ XX ∗ R = BY ∗ XA∗
= BB∗ ⊕ AA∗
15
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Montrons les égalités restantes :
AA∗ ⊕ BB∗ = AX ∗Y B∗ = AX ∗YY ∗ R
= AX ∗ (P − XX ∗ )R
= A(X ∗ P − X ∗ XX ∗ )R
= A(X ∗ − X ∗ XX ∗ )R
= A(I − X ∗ X)X ∗ R
= A(I − X ∗ X)A∗
de la même manière on montre que BB∗ ⊕ AA∗ = B(I −Y ∗Y )B∗ .
♦
Remarque 2.0.1. L’opérateur AA∗ ⊕ BB∗ est un opérateur borné positif.
En effet :∀u ∈ H :
h(AA∗ ⊕ BB∗ )u, ui = hA(I − X ∗ X)A∗ u, ui
1
1
= hA(I − X ∗ X) 2 (I − X ∗ X) 2 A∗ u, ui
1
1
= h(I − X ∗ X) 2 A∗ u, (I − X ∗ X) 2 A∗ ui
1
= k(I − X ∗ X) 2 A∗ uk2 ≥ 0
Théorème 2.0.4. Soient A et B ∈ B(H), alors :
1
1. Im((AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 ) = ImA ∩ ImB
1
2. Im(I −Y ∗Y ) 2 = B−1 (ImA ∩ ImB) = B−1 (ImA)
1
Preuve 11. (1) Montrons que Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 = ImA ∩ ImB.
1
Comme ImS = Im(SS∗ ) 2 pour tout S ∈ B(H) et d’après la remarque précédente on a
1
1
Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 ) = Im(A(I − X ∗ X) 2 ) ⊂ ImA
1
= Im(B(I −Y ∗Y ) 2 ) ⊂ ImB
1
D’où, Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 ) ⊂ ImA ∩ ImB.
Inversement :
16
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.1. SOMME DES QUOTIENTS
Soit y ∈ ImA ∩ ImB , il existe alors u, v ∈ H tels que y = Au = Bv.
Au − Bv = 0 ⇔ RXu − RY v = 0
⇔ R(Xu −Y v) = 0
D’où, X ∗ ((Xu −Y v)) = 0. On a donc : u = (I − X ∗ X)u + X ∗Y v ∈ Im(I − X ∗ X) + ImX ∗Y .
Or d’après le théorème (2.0.2) On a
1
Im(I − X ∗ X) + Im(X ∗Y ) = Im{(I − X ∗ X)2 + (X ∗Y )(X ∗Y )∗ } 2
1
= Im(I − X ∗ X) 2
1
1
1
u ∈ Im(I − X ∗ X) 2 =⇒ Au ∈ ImA(I − X ∗ X) 2 = Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 .
1
D’où, y ∈ Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 .
1
(2) Montrons que :Im(I −Y ∗Y ) 2 = B−1 (ImA ∩ ImB) = B−1 (ImA).
1
1
Comme Im(B(I −Y ∗Y ) 2 ) = Im(AA∗ ⊕ BB∗ ) 2 ⊂ ImB ∩ ImA on a
1
Im(I −Y ∗Y ) 2 ⊂ B−1 (ImA ∩ ImB) = B−1 (ImA)
1
Inversement, si u ∈ B−1 (ImA ∩ ImB) ⇒ Bu ∈ Im(B(I −Y ∗Y ) 2 ).
1
On pose, u = (I −Y ∗Y ) 2 v + w ou v ∈ H et w ∈ KerB.
1
Or, w ∈ Im(I −Y ∗Y ) 2 ) car B = RY ⇒ B∗ = Y ∗ R et ImB∗ = ImY ∗ ⇒ KerB = KerY .
1
D’où, u ∈ Im(I −Y ∗Y ) 2 .
♦
2.1
Somme de deux opérateurs quotients
Soient [B\A] et [D\C] deux opérateurs quotients définits sur H tels que KerA ⊂ KerB
et KerC ⊂ KerD.
Comme [B\A] (resp. [D\C]) est l’appliction Au −→ Bu où u ∈ H (resp Cv −→ Dv avec
v ∈ H), on peut définir la somme [B\A] + [D\C] comme étant une application définie sur
l’intersection des domaines de [B\A] et [D\C] c’est à dire ImA ∩ ImC.
1
Or d’après le théorème précédent ImA ∩ ImC = Im(AA∗ ⊕ CC∗ ) 2 ainsi [B\A] + [D\C]
17
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.1. SOMME DES QUOTIENTS
peut se représenter comme qutient de deux opérateurs bornés où le dénominateur est un
opérateurs ayant pour image l’ensemble ImA ∩ ImC.
1
Choisissons l’opérateur A ∗C = (AA∗ ⊕CC∗ ) 2 pour être un dénominateur commun pour
[B\A] et [D\C] .
Tout revient donc a définir le numérateur N pour lequel la somme [B\A] + [D\C] =
[N\A ∗C].
Théorème 2.1.1. Soient [B\A] , [D\C] deux opérateurs quotients, alors :
[B\A] + [D\C] = [BC1 + DA1 \A ∗C]
où C1 et A1 sont respectivement les solution de Douglas X et Y des équations AX = A ∗C
et CY = A ∗C.
Preuve 12. Notons que [BX\A ∗ C] = [BX\AX] et [DY \A ∗ C] = [DY \CY ] sont respectivement les restrections de [B\A] et [D\C] sur leur domaine commun Im(A ∗ C) =
ImA ∩ ImC.
D’où, la somme [B\A] + [D\C] est l’appliction :
(A ∗C)u −→ BXu + DYu pour u ∈ H.
♦
Remarque 2.1.1. La représentation en quotient de la somme de deux quotients n’est pas
unique.
En effet : Dans le théorème précédent on substitue A ∗C par n’importe quel opérateur E
tel que ImE = ImA ∩ ImC.
Pour construire le numérateur, il suffit de trouver X et Y deux solution de Douglas des
équations AX = E et CY = E.
Remarque 2.1.2. Il existe une representation en quotient irreductible unique pour [B\A]+
[D\C] c’est celle qui s’appuie sur les solutions de Douglas .
18
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.2
2.2. PRODUIT DES QUOTIENTS
Produit de deux opérateurs quotients
Soient [B\A] , [D\C] deux opérateurs quotients définits par :
[B\A] : Au −→ Bu, ∀u ∈ H
[D\C] : Cv −→ Dv, ∀v ∈ H
Le produit [B\A].[D\C] est alors une appliction linéaire définie sur l’ensemble
D = {Cv ; Dv ∈ ImA, v ∈ H}
= {Cv ; v ∈ D−1 (ImA)} = CD−1 (ImA)
(Dv ∈ ImA ⇒ ∃u ∈ H ; Dv = Au)
Définition 2.2.1. Le produit de deux opérateurs quotients [B\A] et [D\C]est l’application :
CD−1 (ImA) −→ ImB
Cv −→ Bu
où u, v ∈ H tel que Dv = Au.
On vérifie que le produit de deux quotients est un opérateur quotient.
1
Soient RA,D = (AA∗ + DD∗ ) 2 et Y la solution de Douglas de RA,DY = D.
1
On a d’après le théorème (2.0.4) D−1 (ImA) = Im(I −Y ∗Y ) 2 .
1
D’où, CD−1 (ImA) = Im(CA2 ) ou A2 = (I −Y ∗Y ) 2 .
Théorème 2.2.1. Soient [B\A] et [D\C] deux opérateurs quotients. Alors
[B\A].[D\C] = [BD2 \CA2 ]
où D est la solution Z de Douglas de AZ = DA2 .
Preuve 13. Comme le domaine du produit est ImCA2 . La restrection de [D\C] sur ImCA2
est l’appliction CA2 u −→ DA2 u avec u ∈ H.
D’où, on a par la composition des applications :
CA2 u −→ DA2 u = AZu −→ BZu
19
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.3. EXEMPLE MATRICIEL
et par conséquent Le produit [B\A].[D\C] est l’appliction CA2 u −→ BZu pour u ∈ H.
♦
Remarque 2.2.1. La representation en quotient du produit [B\A].[D\C] n’est pas unique
.
En effet : On remplace A2 par n’importe quel opérateur F tel que ImF = D−1 (ImA),
dans ce cas choisissons Z comme étant la solution de Douglas de l’équation AZ = DF.
Remarque 2.2.2. L’unique représentation irréductible du produit [B\A].[D\C] est celle
qui est définie dans la théorème précédent.
2.3
Exemple matriciel
Exemple 2.3.1. Soient A , B , C , D des matrices carrés (2 × 2) définies par :

A=
1
1
−1 3


,B = 
1 0
2 1


 ,C = 
2 4
3 5


,D = 
2 3
3 2


1. Calculons [B\A] , [D\C]
2. Calculons [B\A] + [D\C]
3. Calculons [B\A].[D\C]
En effet :
1. Comme A et C sont inversibles on a :

[B\A] = BA−1 = 
0.75 −0.25
1.75 −0.25
20


 , [D\C] = DC−1 = 
−0.5 1
−4.5 4


CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.3. EXEMPLE MATRICIEL
2. Calculons [B\A] + [D\C] :
On a d’après la définition de la somme de deux matrices

[B\A] + [D\C] = 
0.25
0.75
−2.75 3.75


Calculons [B\A] + [D\C] comme étant la somme de deux quotients :
On a d’après le théorème (2.1.1) [B\A] + [D\C] = [(BC1 + DA1 )\A ∗C]
Finalement tout revient à estimer C1 , A1 , A ∗C.
Calculons A ∗C.
1
On a par définition de la somme parallèle A ∗ C = (AA∗ ⊕ CC∗ ) 2 = AX ∗YC∗ où
1
X,Y sont les solutions de Douglas de RX = A et RY = C avec R = (AA∗ +CC∗ ) 2
D’où,

R=
3.685322
2.9014482
2.9014482 5.9650313


de plus,
X = R−1 A
Y = R−1C
Ainsi,

A ∗C = 
0.7945757 0.9745763
0.8020849 1.7260292


Calculons C1 , A1 .
On a
AC1 = A ∗C
=⇒
C1 = A−1 (A ∗C)
A1 = C−1 (A ∗C)




0.5543478 0.9021739
0.5108697 1.3804349
 , A1 = 

D’où, C1 = 
0.8586957 1.5543479
0.0978260 −0.0760870
CA1 = A ∗C
21
CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.3. EXEMPLE MATRICIEL
Par conséquent,
[B\A] + [D\C] = [(BC1 + DA1 )\A ∗C] = (BC1 + DA1 )(A ∗C)−1


0.25 0.75

= 
−2.75 0.75
3. Calculons [B\A].[D\C].
D’après la définition du produit matriciel :

[B\A].[D\C] = 
0.75 −0.25
0.25
0.75


Calculons [B\A].[D\C] comme étant un produit de deux opérateurs quotients.
On a d’après le théorème (2.2.1) :
[B\A].[D\C] = [BD2 \CA2 ]
1
où D2 est la solution Z de Douglas de l’équation AZ = DA2 avec A2 = (I −Y ∗Y ) 2 .
1
Y est la solution de Douglas de RA,DY = D ou RA,D = (AA∗ + DD∗ ) 2 .
Commençons tout d’abord par calculer RA,D ,YetA2 .

RA,D = 
3.443782
1.7721077
1.7721077 4.4564149


RA,DY = D ⇐⇒ Y = R−1
D
A,D

0.2946373 0.8048978

⇐⇒ Y = 
0.5560234 0.1287211
Ainsi,

A2 = 
0.7377466
−0.2444520
22
−0.2444520
0.5251796


CHAPITRE 2. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
2.3. EXEMPLE MATRICIEL
Calculons D2 .
AD2 = DA2 ⇐⇒ D2 = A−1 (DA2 )


0.1255189 0.7357254

⇐⇒ D2 = 
0.6166183 0.3509096
D’où,
[B\A].[D\C] = [BD2 \CA2 ]
= BD2 (CA2 )−1


0.75 −0.25

= 
0.25 0.75
23
CHAPITRE 3
CARACTÈRES DU QUOTIENT
Le troisième chapitre est consacré à étudier les différents caractères d’un opérateur quotient tels que l’Adjoint, la fermeture, le caractère symétrique, auto-adjoint et normal suivi
par une application aux opérateurs fermés de domaine dense dans H.
3.1
Adjoint d’un operateur quotient
Soit H un espace de Hilbert.
On sait d’après la théorie de opérateurs non bornés que l’adjoint d’un opérateur non
borné (F, D(F)) n’est définie que si le domaine D(F) est dense dans H.
Pour cette raison, nous allons imposer dès le début que [B\A] est un opérateur quotient
de domaine ImA dense dans H où A et B ∈ B(H) tels que KerA ⊂ KerB.
Soit G(A, B) = {(Au, Bu) ; u ∈ H}le graphe de [B\A].
Définition 3.1.1. On appelle adjoint de [B\A] l’opérateur [B\A]∗ tel que :
∀h ∈ D([B\A]) = ImA, ∀k ∈ D([B\A]∗ ) on a : h[B\A]h, kiH = hh, [B\A]∗ kiH
Vérifions que cette définition préserve le quotient ou bien l’adjoint d’un quotient est
aussi un opéraeur quotient.
Soit G(A, B)∗ = {(x, y) ∈ H × H ; x ∈ D([B\A]∗ ), y = [B\A]∗ x} le graphe de [B\A]∗ .
Alors :
G(A, B)∗ = {(x, y) ∈ H × H ; hx, [B\A]ti = hy,ti, ∀t ∈ ImA}
= {(x, y) ∈ H × H ; hx, [B\A]Aui = hy, Aui, ∀u ∈ H}
= {(x, y) ∈ H × H ; hx, Bui = hy, Aui, ∀u ∈ H}
On peut aussi voir que G(A, B)∗ = {(x, y) ∈ H × H ; B∗ x = A∗ y}.
D’où, le domaine de définition de [B\A]∗ est l’ensemble :
D([B\A]∗ ) = {x ∈ H ; B∗ x = A∗ y, y ∈ H}
−1
= B∗ (ImA∗ )
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.1. ADJOINT DU QUOTIENT
−1
On a d’après la propriétés (2) du théorème 2.0.4. l’ensemble B∗ (ImA∗ ) est l’image
1
de A∗ = (I − Y ∗Y ) 2 où Y est la solution de Douglas de l’équation RA∗ ,B∗ Y = B∗ avec
1
RA∗ ,B∗ = (A∗ A + B∗ B) 2 . C’est ce qui nous conduit à s’intérroger sur la possibilité de
représenter l’adjoint de [B\A] comme étant un quotient de deux opérateurs bornés a
déterminer.
Pour répondre à cette question, nous devons chercher un opérateur numérateur noté B∗
pour lequel [B\A]∗ = [B∗ \A∗ ].
On pose RA∗ ,B∗ = Rl . Soit Bl l’unique solution Z de l’équation ZRl = B.
Bl est unique d’apres le théorème de Douglas. En effet, notons par B∗l la solution de
Douglas de Rl Z ∗ = B∗ . Par passage à l’adjoint, on obtient l’unicité de Bl car l’adjoint
est unique.
Remarquons que KerRl ⊂ KerZ. Ainsi : Z = Y ∗ = Bl .
1
D’où, A∗ = (I − Bl B∗l ) 2 .
On définit d’une manière analogue Al l’unique solution W de W Rl = A tel que
KerRl ⊂ KerAl .
Comme ImA est dense dans H, on a KerA∗ = {0}.
Par conséquent, on peut trouver un opérateur borné X unique tel que B∗ A∗ = A∗ X, ce qui
veut dire que ∀u ∈ H on a B∗ A∗ u = A∗ Xu.
Posons x = A∗ u , y = Xu, on a B∗ x = A∗ y ce qui implique que (x, y) ∈ G(A, B)∗ .
Ainsi, l’appliction x = A∗ u −→ Xu = y, u ∈ H est tout simplement l’opérateur [B\A]∗ .
Ceci signifie que [B\A]∗ peut se représenter en quotient de deux opérateurs bornés.
Notons par B∗ la solution X de l’équation A∗ X = B∗ A∗ .
On a donc :
25
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.1. ADJOINT DU QUOTIENT
Théorème 3.1.1. Si [B\A] est un opérateur quotient de domaine ImA dense dans H,alors
[B\A]∗ = [B∗ \A∗ ]
1
où, A∗ = (I − Bl B∗l ) 2 et B∗ est l’unique solution X de A∗ X = B∗ A∗ .
Explicitement :
B∗ = Vl B∗l où Vl est l’isometrie partielle obtenue d’après la décomposition polaire
1
Al = Vl (A∗l Al ) 2 .
Preuve 14. Il suffit de montrer que B∗ = Vl Bl .
Soit Pl la projection orthogonale sur ImRl .
Alors, D’après la propriété (1) du lemme 2.0.3., A∗l Al + B∗l Bl = Pl .
1
Vérifions que (A∗l Al ) 2 = A∗l Vl :
1
1
Al = Vl (Al A∗l ) 2 =⇒ A∗l = (Al A∗l ) 2 Vl∗
1
=⇒ A∗l Vl = (Al A∗l ) 2 Vl∗Vl
1
=⇒ A∗l Vl = (Al A∗l ) 2
On a par définition Al Rl = A et Bl Rl = B.
D’où,
1
A∗ B∗ = B∗ A∗ = Rl B∗l (I − Bl B∗l ) 2
1
1
= Rl (Pl − Bl B∗l ) 2 B∗l = Rl (A∗l Al ) 2 B∗l
= Rl A∗l Vl B∗l = A∗Vl B∗l
Comme KerA∗ = {0} alors A∗ est injectif.
D’où, B∗ = Vl B∗l .
♦
1
Corollaire 3.1.2. [B\A]∗ = [Vl B∗l \(I − Bl B∗l ) 2 ].
Remarque 3.1.1. La représentation en quotient de l’adjoint d’un opérateur quotient
[B\A] n’est pas unique.
26
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.2. FERMETURE DU QUOTIENT
En effet :
Soient C,D deux opérateurs bornés dans H tels que ImC = ImA∗ et B∗C = A∗ D,
alors d’après la définition de l’adjoint de [B\A] on a [B\A]∗ = [D\C].
Remarque 3.1.2. L’unique représentation en quotient irréductible de [B\A]∗ est celle
qui apparaisse dans le théorème précédent.
Pour construire le second adjoint [B\A]∗∗ = [B∗ \A∗ ]∗ , on en besoin d’imposer que
ImA∗ est dense dans H .
Mais comme le second adjoint d’un tel opérateur non borné n’est que sa fermeture, tout
revient alors à étudier la fermeture et la fermabilité de [B\A].
Dans tout ce qui suit , on considère les mêmes operateurs A, B, Al , Bl , Pl , A∗ , B∗ définits
ci-dessus.
3.2
Fermeture du quotient d’opérateurs bornés
Définition 3.2.1. Soient [B\A] un opérateur quotient d’opérateurs bornés A et B
et G(A, B) = {(Ax, Bx) ; x ∈ H} son graphe.
On dit que [B\A] et fermé si son graphe G(A, B) est fermé dans H × H.
G(A, B) est fermé dans H × H revient à dire que pour toute suite (xn )n de D([B\A])
convergente vers x et la suite des images ([B\A]xn )n convergente vers y dans H, alors,
x ∈ D([B\A]) = ImA et y = [B\A]x.
Proposition 3.2.1. [B\A] est fermé dans H si et seulement si D([B\A]) = ImA muni du
produit scalaire du graphe h , i[B\A] est un espace de Hilbert.
Le produit scalaire du graphe est défini par : ∀x, y ∈ H ; Ax, Ay ∈ ImA,
hAx, Ayi[B\A] = hAx, AyiH + h[B\A]Ax, [B\A]AyiH
= hAx, AyiH + hBx, ByiH
kAxk[B\A] =
q
kAxk2 + kBxk2
27
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.2. FERMETURE DU QUOTIENT
Preuve 15. ” =⇒ ” Supposons que [B\A] est fermé.
On voit que h , i[B\A] est bien un produit scalaire sur ImA.
Il reste à vérifier que D([B\A]) = ImA est complet pour k . k[B\A] .
Soit (Axn )n ⊂ ImA une suite de Cauchy pour k . k[B\A] . Alors,
kAxn −Axm k2[B\A] = kAxn −Axm k2 +k[B\A]Axn −[B\A]Axm k2 = kAxn −Axm k2 +kBxn −Bxm k2
et par conséquant (Axn )n et ([B\A]xn )n = (Bxn )n sont de Cauchy dans H. Elles convergent
respectivement vers y et z dans H.
Puisque [B\A] est fermé dans H, il existe x ∈ H tel que y = Ax ∈ ImA et z = [B\A]y = Bx.
D’autre part, kAxn − Axk2[B\A] = kAxn − Axk2 + kBxn − Bxk2 −→ 0 lorsque n −→ +∞.
” ⇐= ” (ImA, k . k[B\A] ) est un espace de Hilbert
Vérifions que [B\A] est fermé dans H.
H
H
Soit (Axn )n ⊂ ImA telle que, Axn −→ y et [B\A]xn = Bxn −→ z.
Alors, (Axn ) est une suite de Cauchy dans (ImA, k . k[B\A] ), Elle doit converge vers
Aw ∈ ImA.
kAxn − Awk2[B\A] = kAxn − Awk2 + k[B\A]Axn − [B\A]Awk2 −→ 0 lorsque n −→ +∞
D’où, Axn −→ Aw et [B\A]Axn = Bxn −→ [B\A]Aw = Bw.
Par unicité de la limite on trouve y = Aw et z = [B\A]y = [B\A]Aw = Bw.
♦
Remarque 3.2.1. Si [B\A] est fermé de ImA dans H alors,
[B\A] ∈ L (ImA, k . k[B\A] ), H et on dit que [B\A] est assimilable à un opérateur borné.
Théorème 3.2.2. Soient A et B deux opérateurs bornés sur H tels que KerA ⊂ KerB,
[B\A] est fermé si et seulement si ImA∗ + ImB∗ est un sous-espace fermé dans H, où A∗
et B∗ sont respectivement les adjoints de A et B.
Preuve 16. (Démonstration abrégée)
L’idée principale de la démonstration est l’identification d’une fonction J définie par :
1
J(z) = h[B\D]z, [A\D]zi pour z ∈ ImD où, D = (A∗ A + B∗ B) 2 , comme étant une isomé
trie de (ImA∗ + ImB∗ , h , i) dans G(A, B), h , i[B\A] , et à partir de laquelle, on conclut
l’équivalence déclarée dans le théorème.
28
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.3. FERMABILITÉ DU QUOTIENT
♦
Corollaire 3.2.3. Soit [B\A] un opérateur quotient tel que B est inversible, alors
[B\A] est fermé dans H.
0
Preuve 17. Soit B = BPImA où PImA est la projection orthogonale sur ImA.
0∗
ImB + ImA∗ = ImPImA B∗ + ImA∗ = ImPImA
0∗
car, ImB = H et ImPImA est la fermeture de ImA∗ . D’où, ImB + ImA∗ est fermé dans H.
0
Ainsi, d’après le théorème précédent on a [B\A] = [B \A] est fermé dans H.
♦
Corollaire 3.2.4. Si C est un opérateur fermé sur H alors C peut s’exprimé comme le
quotient [B\A] où A et B sont deux opérateurs borné sur H tels que ImA∗ + ImB∗ est
fermé dans H.
3.3
Fermabilité d’un quotient
Définition 3.3.1. Un opérateur quotient [B\A] est dit fermable si la fermeture de son
garphe G(A, B) est un graphe d’un autre opérateur.
Cette défintion est équvalente à dire :
Définition 3.3.2. Un opérateur quotient [B\A] est fermable si :
pour toute suite d’éléments (xn )n dans H, l’implication suivante est vraie.

 Ax −→
n
 Bxn −→
0
=⇒ y = 0
y
On note par [B\A] la fermeture de [B\A] quand elle existe.
Remarque 3.3.1. Tout opérateur quotient fermé est fermable, mais l’inverse n’est pas
vrai.
29
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.3. FERMABILITÉ DU QUOTIENT
Lemme 3.3.1. Soient Vl l’isometrie partielle obtenue d’après la décomposition polaire
1
Al = Vl (A∗l Al ) 2 et P∗ la projection orthogonale sur ImA∗ , alors :
P∗ = I − Bl B∗l + BlVl∗Vl B∗l = A2∗ + B∗∗ B∗
Preuve 18. On a d’après la propriété (1) du lemme 2.0.3, A∗l Al commute avec B∗l Bl .
D’où,
Vl∗Vl B∗l Bl = B∗l BlVl∗Vl ....(i)
Soit Q = I − Bl B∗l + BlVl∗Vl B∗l , or d’après la propriété (1) du lemme 2.0.3 et (i) on a
Q2 = Q ce qui signifie que Q est une projection orthogonale dans H.
Comme I − Bl B∗l ≤ Q on aura ImP ⊂ ImQ. Pour l’autre inclusion notons tout d’abord :
B∗l (I − Bl B∗l ) = (Pl − B∗l Bl )B∗l
= A∗l Al B∗l
et KerA∗l Al B∗l = KerVl B∗l . D’ou, Ker(I − Bl B∗l ) ⊂ KerVl B∗l .
Ce qui implique que ImQ ⊂ ImP.
♦
Lemme 3.3.2. Soient [B\A] un opérateur quotient et Al , Bl les opérateur définits cidessus. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :
1. [B\A] est fermable
2. KerAl ⊂ KerBl
1
−1
3. Im(I − Bl B∗l ) 2 = (B∗ (ImA∗ ) est dense dans H
Preuve 19. (1) ⇒ (2)
Soit u ∈ KerAl c’est à dire que Au = 0. Montrons que u ∈ KerBl .
Comme Al est défini comme étant une extension naturelle de l’appliction
30
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.3. FERMABILITÉ DU QUOTIENT
Rl x −→ Ax ou x ∈ H. on peut trouver une suite d’éléments xn pour laquelle :
Rl xn −→ u
Axn −→ Au = 0
D’où, Bxn = Bl Rl xn −→ Bl u ce qui implique Bl u = 0.
(2) ⇒ (3) Soit u ∈ H tel que (I − Bl B∗l )u = 0, montrons que u = 0
Comme Ker(I − Bl B∗l ) ⊂ KerVl B∗l , on a B∗l u ∈ KerVl = KerAl .
D’où, Bl B∗l u = 0.
Ainsi, u = (I − Bl B∗l )u + Bl B∗l u = 0.
(3) ⇒ (1)
Soit (xn ) une suite d’éléments dans H telle que

 Ax −→
n
 Bxn −→
0
y
Alors, (Rl xn ) est convergente. Posons z = lim Rl xn .
n→∞
D’où, Al z = lim Al Rl xn = lim Axn = 0 on a donc
n→∞
n→∞
(I − Bl B∗l )Bl z = Bl (Pl − B∗l Bl )z
= Bl A∗l Al z = 0
Comme Ker(I − Bl B∗l ) = {0} on a Bl z = 0.
D’où, y = lim Bxn = lim Bl Rl xn = Bl z = 0.
n→∞
n→∞
♦
Corollaire 3.3.3. Si [B\A] est fèrmable on a P∗ = A2∗ + B∗∗ B∗ = I.
Remarque 3.3.2. Si [B\A] est un opérateur quotient fermable de domaine ImA dense
dans H alors l’adjoint [B\A]∗ = [B∗ \A∗ ] est aussi un opérateur dont le domaine
1
ImA∗ = Im(I − Bl B∗l ) 2 est dense dans H.
ce qui garantit l’existence de [B\A]∗∗
31
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.4
3.4. LES ADJOINTS SUCCESSIFS DU QUOTIENT
Les Adjoints successifs du quotient
Théorème 3.4.1. Soit [B\A] un opérateur fermable de domaine dense dans H, alors :
1
[B\A]∗∗ = [B\A] = [B∗∗ \(I − B∗ B∗∗ ) 2 ] = [Bl \Al ]
Preuve 20. On a par définition [B\A]∗∗ = [B∗ \A∗ ]∗ = [B∗∗ \A∗∗ ].
On voit d’après le corollaire 3.3.1 que A∗l = (A∗ )l = A∗ et B∗l = B∗ .
1
D’où, A∗∗ = (I − B∗ B∗∗ ) 2 .
Notons par X l’unique solution de A∗ X = B∗∗ A∗∗ .
Comme
1
1
A∗ X = B∗∗ (I − B∗ B∗∗ ) 2 = (I − B∗∗ B∗ ) 2 B∗∗
= A∗ B∗∗
On a X = B∗∗ ou bien B∗∗ = B∗∗ .
1
D’où, [B\A]∗∗ = [B∗∗ \A∗∗ ] = [B∗∗ \(I − B∗ B∗∗ ) 2 ].
Pour l’autre égalité, notons tout d’abord que [Bl \Al ] est un quotient d’après la propriété
(2) du lemme 3.3.2.
Comme ImAl est dense dans H on a VlVl∗ = I et par conséquent :
1
1
ImAl = (Vl A∗l AlVl∗ ) 2 = Im(I − B∗ B∗∗ ) 2
et A∗ Bl = B∗∗ Al .
Ainsi, d’après la remarque 3.1.1, on a [B∗ \A∗ ]∗ = [Bl \Al ].
♦
Remarque 3.4.1. Si [B\A] est un opérateur quotient fermé de domaine ImA dense dans
H, on a :
1
[B\A] = [B\A]∗∗ = [B∗∗ \(I − B∗ B∗∗ ) 2 ]
Remarque 3.4.2. Si T est un opérateur fermé de domaine dense dans H, alors T est
representable comme quotient de deux opérateurs bornés, posons T = [B\A].
1
Comme T = T ∗∗ on peut écrire T = [B∗∗ \(I − B∗ B∗∗ ) 2 ] où B∗∗ est un opérateur défini de
la même manière comme au théorème 3.4.1
32
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.5. EXTENSION DU QUOTIENT
Corollaire 3.4.2. Soit [B\A] un opérateur quotient. Alors :
1
[B\A]∗∗∗ = [B∗∗ \(I − B∗ B∗∗ ) 2 ]
1
= [B∗ \(I − B∗∗ B∗ ) 2 ]
[B\A]∗∗∗∗ = [B\A]∗∗
Preuve 21. Une démonstration similaire à celle du théorème précédent nous permet de
1
trouver les propriétés (1) et (2). Pour cela on se limite à montrer que Im(I − B∗ B∗∗ ) 2 est
dense dans H pour garantir l’existence de [B\A]∗∗∗ .
1
1
Soit x ∈ Ker(I − B∗ B∗∗ ) 2 c’est a dire que (I − B∗ B∗∗ ) 2 x = 0
Montrons que x = 0
On a d’après le lemme 3.3.1
1
A∗ B∗∗ x = (P∗ − B∗∗ B∗ ) 2 B∗∗ x
1
= B∗∗ (I − B∗ B∗∗ ) 2 x = 0
D’où, B∗∗ x ∈ KerA∗ .
Comme KerA∗ ⊂ KerB∗ on a aussi :B∗∗ x ∈ (KerA∗ )⊥ .
D’où, B∗∗ x = 0 et par conséquant, x = (I − B∗ B∗∗ )x + B∗ B∗∗ x = 0.
♦
Comme nous l’avons indiqué dans le début du chapitre III, nous allons introduire la
nontion d’extension d’un opérateur quotient pour qu’on puisse définir la symétrie d’un
quotient et bien l’auto-adjonction par la suite.
3.5
Extension d’un opérateur quotient
Définition 3.5.1. Soient [B\A] , [D\C] deux opérateurs quotients .
On dit que [D\C] est une extension de [B\A] (ou bien [B\A] est une restrection de [D\C])
et on note [B\A] ⊂ [D\C] si : G(A, B) ⊂ G(C, D) où G(A, B) et G(C, D) sont respectivement les graphes de [B\A] et [D\C] .
33
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.5. EXTENSION DU QUOTIENT
Lemme 3.5.1.
[B\A] ⊂ [D\C] ⇐⇒ ∃X ∈ B(H)/A = CX, B = DX
Preuve 22. Notons tout
 d’abord
 que G(A,
 B) et G(C,
 D) sont respectivement les images
A 0
C 0
 et F = 
 où A, B,C et D sont des opérateurs
des opérateurs T = 
B 0
D 0
bornés sur H.
[B\A] ⊂ [D\C]
⇐⇒
G(A, B) ⊂ G(C, D)
⇐⇒
ImT ⊂ ImF


X Y
 oùX,Y, Z, K ∈ B(H) ; T S = F
∃S = 
Z K

 AX = C
 BX = D
Douglas
⇐⇒
⇐⇒
♦
Si [B\A] est un opérateur quotient de domaine dense ImA dense dans H on a :
Lemme 3.5.2.
[D\C] ⊂ [B\A]∗ ⇐⇒ B∗C = A∗ D et ImD ⊂ ImA
Preuve 23. Supposons que [D\C] ⊂ [B∗ \A∗ ]. On a donc, C = A∗ X et D = B∗ X
pour un certain opérateur X.
D’où, B∗C = B∗ A∗ X = A∗ B∗ X = A∗ D et ImD ⊂ ImB∗ ⊂ ImA.
Inversement :
−1
Si B∗C = A∗ D et ImD ⊂ ImA on a ImC ⊂ B∗ (ImA∗ ) = ImA∗ .
D’où, il existe un opérateur Y ∈ B(H) tel que C = A∗Y .
Ainsi, A∗ D = B∗C = B∗ A∗Y = A∗ B∗Y .
Or, A∗ (D − B∗Y ) = 0 ce qui montre que Im(D − B∗Y ) ⊂ KerA∗ .
34
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.6. SYMÉTRIE, AUTO-ADJONCTION ET NORMALITÉ DU QUOTIENT
Comme ImD ⊂ ImA on a aussi Im(D − B∗Y ) ⊂ (KerA∗ )⊥ .
D’où, D − B∗Y = 0 =⇒ D = B∗Y . Ainsi, [D\C] ⊂ [B∗ \A∗ ].
♦
−1
On conclut a partir de ce lemme que ImC ⊂ ImA∗ = B∗ (ImA∗ ).
D’où,
−1
Remarque 3.5.1. [D\C] = [B\A]∗ ⇐⇒ B∗C = A∗ D et ImC = B∗ (ImA∗ )
Remarque 3.5.2. La relation [B\A] ⊂ [D\C] n’implique pas que [D\C]∗ ⊂ [B\A]∗ .
Cette impliction n’est plus vraie que si ImC ⊂ ImA.
3.6
Symétrie, Auto-adjonction et normalité du quotient
Définition 3.6.1. Un opérateur quotient [B\A] de domaine dense dans H est dit symétrique si et seulement si [B\A] ⊂ [B\A]∗
Ainsi, D’après le lemme 3.5.2 on a :
Lemme 3.6.1.
[B\A] symetrique ⇐⇒ B∗ A = A∗ B et ImB ⊂ ImA
Définition 3.6.2. [B\A] est dit auto-adjoint si [B\A] = [B\A]∗
Corollaire 3.6.2. Un opérateur quotient symetrique [B\A] est dit auto adjoint si :
[B\A]∗ ⊂ [B\A]
D’où, d’après le lemme3.5.2 on a :
−1
[B\A] est auto-adjoint si et seulement si B∗ A = A∗ B et B∗ (ImA∗ ) = ImA.
Notons que jusqu’ici nous n’avons pas imposé de condition sur A et B sauf qu’ils sont
35
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.6. SYMÉTRIE, AUTO-ADJONCTION ET NORMALITÉ DU QUOTIENT
bornés et ImA est dense dans H pour garantir l’existence de l’adjoit [B\A]∗ sans oublier
la condition KerA ⊂ KerB.
Une question naturelle peut etre envisagée lorsque A et B sont auto-adjoints.
Autrement dit, si A et B sont auto-adjoints, le quotient [B\A] est il auto-adjoint ?
Cela nous amène à poser une question similaire concernant le cas ou A et B sont normaux.
Nous allons essayer de répondre à toutes ces questions à travers le théorème suivant
Théorème 3.6.3. Soient S et T deux opérateur bornés auto-adjoints (resp. normaux) tels
que ImS ⊂ ImT et ST = T S, alors l’unique solution D de Douglas de l’équation T X = S
est auto-adjointe (resp :normale) et commute avec S et T .
Preuve 24. On se limite a montrer le cas où T et S sont normaux tels que T S = ST et
ImS ⊂ ImT .
Alors comme T (DT − T D) = ST − T S = 0 on a Im(DT − T D) ⊂ ImT .
On a de plus :
ImD ⊂ (KerD∗ )⊥ ⊂ (KerT )⊥
D’où,
Im(DT − T D) ⊂ ImD + ImT ⊂ (KerT )⊥
Ainsi,
DT = T D
on a aussi DS = SD car S = T D.
Montrons que D est normal.
Notons que D∗ est une extension naturelle de l’appliction T ∗ u −→ S∗ u où u ∈ H.
Ainsi, on a d’une part :
ImD∗ ⊂ S∗ = ImS ⊂ ImT = (KerT )⊥
36
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.6. SYMÉTRIE, AUTO-ADJONCTION ET NORMALITÉ DU QUOTIENT
D’autre part, nous avons d’après le théorème de Fuglede-Putnam :
D∗ T = T D∗
D∗ S = SD∗
D’où,
T (D∗ D − DD∗ ) = D∗ T D − T DD∗
= D∗ S − SD∗ = 0
et
Im(D∗ D − DD∗ ) ⊂ KerT
Or,

 ImD ⊂
 ImD ⊂
(KerT )⊥
(KerT )⊥
=⇒ Im(D∗ D − DD∗ ) ⊂ (KerT )⊥
Ce qui montre que D∗ D = DD∗ c’est à dire D est normal.
Une preuve similaire à celle-ci nous permet d’obtenir le cas auto-adjoint.
♦
On en déduit a partir de ce théorème et du corollaire 1.2.3 le résultat suivant :
Théorème 3.6.4. soit [B\A] un opérateur quotient. On suppose que A et B sont autoadjoints (resp. normaux) commutants entre eux, alors [B\A] est un opérateur fèrmable
auto-adjoint (resp. normal).
Preuve 25. On va juste montrer que [B\A] est fermable car les deux autres résultats sont
des conséquences immédiates du théorème précédent.
1
Remarquons tout d’abord que les opérateurs A ,B et RA∗ ,B∗ (= (A∗ A + B∗ B) 2 ) commutent
entre eux, soit Al (resp. Bl ) l’unique solution X (resp. Y ) de l’équation XRA∗ ,B∗ = A∗
(resp. Y RA∗ ,B∗ = B∗ ).
On a donc,
Al RA∗ ,B∗ = A∗
Bl RA∗ ,B∗ = B∗
37
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
D’où, Al et Bl sont normaux par le théorème précédent (car RA∗ ,B∗ est auto-adjoint).
on a de plus Al (resp. Bl ) commute avec A,B,RA∗ ,B∗ et comme KerA ⊂ KerB on obtient :
KerAl ⊂ KerBl
Ce qui implique d’après le lemme 3.3.2 que [B\A] est fermable.
♦
Exemple 3.6.5. Notons que chacune des matrices diagonales A et B considérées dans
l’exemple 1.4.1 est auto-adjointe de plus AB = BA
le quotient [B\A] est aussi une matrice diagonale.
Ainsi, [B\A] n’est pas seulement auto-adjointe mais elle commute aussi avec A et B ce
qui est compatible à ce qu’on a obtenu dons les deux théorèmes précédents.
3.7
Adjoint de la somme et du produit des quotients
Rappellons que si [B\A] et [D\C] sont deux quotients, on a :
1. [B\A] + [D\C] = [BC1 + DA1 \E]
Où E, A1 ,C1 sont trois opérateurs bornés sur H tels que ImE = ImA ∩ ImC
C1 , A1 sont respectivement les solutions X,Y de Douglas des équations :
AX = E et CY = E
2. [B\A].[D\C] = [BN\CM]
Où M et N sont deux opérateurs bornés tels que ImM = D−1 (ImA).
N est la solution X de Douglas de AX = DM.
3. L’adjoint de [B\A] (resp [D\C]) s’il existe, il est donné par :
[B\A]∗ = [B∗ \A∗ ] (resp. [D\C]∗ = [D∗ \C∗ ])
Où A∗ et B∗ sont les opérateurs définits précédement.
C∗ et D∗ sont deux opérateurs définis de la même manière que celle de A∗ , B∗ .
38
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7.1
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
Adjoint de la somme des quotients
Théorème 3.7.1. Soient [B\A] et [D\C] deux opérateurs quotients.
On suppose que ImA ∩ ImC est dense dans H, alors :
[B\A]∗ + [D\C]∗ ⊂ ([B\A] + [D\C])∗
Preuve 26. soient E, A1 ,C1 les opérateurs définits ci-dessus.
On a par définition de la somme des quotients :
[B\A] + [D\C] = [BC1 + DA1 \E]
D’une manière analogue, soient F,U,V trois opérateurs linéaire sur H tels que ImF =
ImA∗ ∩ ImC∗
U et V sont respectivement les solutions X,Y de Douglas des équations :
A∗ X = F et C∗Y = F
D’où, [B\A]∗ + [D\C]∗ = [B∗ \A∗ ] + [D∗ \C∗ ] = [B∗U + D∗V \F]
Finalement, tout revient à montrer que :
[B∗U + D∗V \F] ⊂ ([BC1 + DA1 \E])∗
Ainsi, d’après le lemme 3.5.2 il suffit de vérifier que
1. (BC1 + DA1 )∗ F = E ∗ (B∗U + D∗V )
2. Im(B∗U + D∗V ) ⊂ ImE
Remarquons que la deuxième condition est satisfaite car on a déjà supposé que ImE est
dense dans H.
Montrons(1) :
39
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
Comme B∗ A∗ = A∗ B∗ et D∗C∗ = C∗ D∗ , on a :
(BC1 + DA1 )∗ F = (C1∗ B∗ + A∗1 D∗ )F
= C1∗ B∗ F + A∗1 D∗ F
= C1∗ B∗ A∗U + A∗1 D∗C∗V
= E ∗ B∗U + E ∗ D∗V
= E ∗ (B∗U + D∗V )
♦
Remarquons d’après la remarque 3.5.1 que dans le théorème précédent, l’égalité peut
s’effectuer si et seulement si
−1
ImF = (BC1 + DA1 )∗ (ImE ∗ )
3.7.2
Adjoint du produit des quotient
Théorème 3.7.2. Soient [B\A] et [D\C] deux opérateurs quotients sur H. On suppose
que D−1 (ImA) est dense dans H, alors :
[D\C]∗ [B\A]∗ ⊂ ([B\A][D\C])∗
Preuve 27. Soient M et N les opérateurs définits ci-dessus.
On d’après la formule du produit des quotients :
[B\A].[D\C] = [BN\CM]
Soient U,V deux opérateurs bornés sur H tels que ImU = B−1
∗ (ImC∗ ) et B∗U = C∗V .
Alors :
[D\C]∗ [B\A]∗ = [D∗ \C∗ ].[B∗ \A∗ ] = [D∗V \A∗U]
Ainsi, tout revient à montrer que [D∗V \A∗U] ⊂ [BN\CM]∗ .
Il suffet donc de vérifier :
40
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
1. (BN)∗ (A∗U) = (CM)∗ (D∗V )
2. ImD∗V ⊂ ImCM
Montrons (1) :
(BN)∗ (A∗U) = N ∗ B∗ A∗U = N ∗ A∗ B∗U
= (AN)∗ (B∗U) = (DM)∗ (C∗V )
= M ∗ D∗C∗V = M ∗C∗ D∗V
= (CM)∗ (D∗V )
Montrons(2) :
Notons que ImM = D−1 (ImA) est dense dans H et ImD∗ ⊂ ImC.
D’où,
ImD∗V ⊂ ImD∗ ⊂ ImC = ImCM
♦
Nous allons esseyer de voir dans ce qui suit quand est ce on aura l’egalité dans le théorème précédent.
Théorème 3.7.3. Soient [B\A] et [D\C] deux opérateurs quotients. Supposons que
D−1 (ImA) est dense dans H. Si ImD est fermé et dim(ImD)⊥ < ∞, alors :
([B\A][D\C])∗ = [D\C]∗ .[B\A]∗
Preuve 28. Il suffit de prouver que ([B\A][D\C])∗ ⊂ [D\C]∗ .[B\A]∗ .
Or, on a suivant la remaque 3.5.1 :
([B\A][D\C])∗ ⊂ [D\C]∗ .[B\A]∗ ⇐⇒


(BN)∗ (A∗U) =
 (BN)∗−1 (Im(CM)∗ ) ⊂
(CM)∗ (D∗V )
ImA∗U(= A∗ B−1
∗ (ImC∗ ))
L’égalité (BN)∗ (A∗U) = (CM)∗ (D∗V ) est vérifiée d’après la preuve précédente. Montrons que :
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ ImA∗U(= A∗ B−1
∗ (ImC∗ ))
41
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
Avant de montrer cette inclusion, on va prouver une inclusion plus faible :
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ ImA∗
−1
∗
∗
Soit w ∈ (BN)∗ (Im(CM)∗ ), montrons que w ∈ ImA∗ (= B−1
∗ (ImA )) ou bien B w ∈
ImA∗ , ce qui est equivalent a prouver que1 :
khBx, yik
< ∞.....(i)
x∈H,Ax6=0 kAxk
sup
Posons K = A−1 (ImD), K est un sous espace fermé dans H car ImD est fermé dans H
De plus, H = K ⊕ K ⊥ .
Comme dimD⊥ < ∞, on a dimK ⊥ < ∞. Soient PD la projection orthogonale sur ImD et
L un opérateur linéaire définie de K ⊥ dans (ImD)⊥ tel que :
Lv = (I − PD )Av, v ∈ K ⊥
L est alors surjectif. D’où, dimK ⊥ ≤ dim(ImD)⊥ .
Notons que AK = ImA ∩ ImD = ImAN.
D’où :
ImA = AK + AK ⊥ = ImAN + AK ⊥
= {A(Nu + v) ; u ∈ H, v ∈ K ⊥ }
On a aussi d’après la condition KerA ⊂ KerB :
ImB = {B(Nu + v) ; u ∈ H, v ∈ K ⊥ }
Ainsi l’inegalité (i) devient :
khBNu + Bv, wik
< ∞ ouu ∈ H, v ∈ K ⊥ ....(ii)
kANu
+
Avk
A(Nu+v)6=0
sup
Comme AK ⊥ est de dimension finie, on obtient l’inégalité (ii) si on arrivera à montrer
1 voir
[4] (corollaire2)
42
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
que :
|hBNu, wi| ≤ λ1 kANuk pour u ∈ H....(iii)
|hBv, wi| ≤ λ2 kAvk pour v ∈ H....(iv)
où λ1 et λ2 sont deux constants indépendents de u et v respectivement.
Montrons (iii) : On va tout d’abord prouver que :
−1
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ (BN)∗ (Im(CD† DM)∗ )
ou D† est l’inverse généralisé de D tel que : DD† D = D et D† D est la projection orthogonale sur (KerD)⊥ .
Comme Im(D† DM) ⊂ ImM on a :
Im(CD† DM) ⊂ ImCM
D’où, d’après le théorème de Douglas il existe un opérateur borné X tel que :
CD† DM = CMX
on obtient d’après la condition KerC ⊂ KerD et la relation C(D† DM − MX = 0) que :
D(D† DM − MX) = 0 ce qui implique que DM = DMX et par conséquent :
AN = ANX
On a aussi : BN = BNX car KerA ⊂ KerB.
Comme [BN\CM]∗ = [(BN)∗ \(CM)∗ ], on obtient :
(BN)∗ (CM)∗ = (BNX)∗ (CM)∗ = X ∗ (BN)∗ (CM)∗
= X ∗ (CM)∗ (BN)∗ = (CMX)∗ (BN)∗
= (CD† DM)∗ (BN)∗
43
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.7. ADJOINT DE LA SOMME ET DU PRODUIT DES QUOTIENTS
−1
D’où, Im(CM)∗ ⊂ (BN)∗ (Im(CD† DM)∗ ce qui implique que :
−1
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ (BN)∗ (Im(CD† DM)∗ )
Ainsi on peut trouver z ∈ H tel que :
(BN)∗ w = (CD† DM)∗ z
On aura donc :
|hBNu, wi| = |hu, (BN)∗ wi| = |hu, (CD† DM)∗ zi|
= |h(CD† DM)u, zi| ≤ kCD† k.kDMukkzk
Posons λ1 = kCD† k.kzk. D’où :
|hBNu, wi| ≤ λ1 kANuk ∀ u ∈ H
Montrons(iv) :
Comme K ⊥ est de dimension finie , on peut voir que l’application Av −→ Bv,V ∈ K ⊥ est
borné, alors il existe λ2 une constante positive telle que (iv) est satisfaite.
Ainsi (i) est vérifiée et par suite :
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ ImA∗
Déduisons que :
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ ImA∗U(= A∗ B−1
∗ (ImC∗ ))
44
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.8. APPLICATION
−1
Soit w ∈ (BN)∗ (Im(CM)∗ ), où w = A∗ h pour un certain h ∈ H. Alors :
(BN)∗ w = (BN)∗ A∗ h = N ∗ B∗ A∗ h = (AN)∗ B∗ h
= (DM)∗ B∗ h = M ∗ D∗ B∗ h
On a (BN)∗ w ∈ Im(CM)∗ , ainsi il existe k ∈ H tel que : (BN)∗ w = (CM)∗ k.
D’où,
M ∗C∗ B∗ h = M ∗C∗ k
On pose M ∗ = M et comme ImM est dense dans H, on a D∗ B∗ h = C∗ k.
−1
D’où, B∗ h ∈ D∗ (ImC∗ ) = ImC∗ c’est à dire que h ∈ B∗−1 (ImC∗ ).
Ainsi, w = A∗ h ∈ A∗ B−1
∗ (ImC∗ ) ce qui implique que :
−1
(BN)∗ (Im(CM)∗ ) ⊂ ImA∗U(= A∗ B−1
∗ (ImC∗ ))
ce qui achève la preuve .
♦
3.8
Application aux opérateurs fermés de domaine dense dans H
On a vu dans le corollaire 3.2.4 que tout opérateur C fermé dans H peut s’exprimer
comme étant le quotient [B\A], où A et B sont deux opérateurs bornés sur H tels que A
est positif et ImA∗ + ImB∗ est fermé dans H.
La remarque 3.4.2 nous donne une autre représentation en quotient pour les opérateurs
fermés de domaine dense dans H.
Notre objectif à travers cette partie est de préciser une telle representation en quotient
pour les opérateurs fermés de domaine dense dans H, et étudier quelques propriétés
fondamentales de cette classe d’opérateurs.
Notation : On note par V (H) l’ensemble des contractions pures définies sur H :
A ∈ V (H); ∀x ∈ H avec x 6= 0 kAxk ≤ kxk
45
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.8. APPLICATION
Ker(I − A∗ A) = {0}
et par C (H) l’ensemble des opérateurs fermés de domaine dense dans H.
1
Théorème 3.8.1. L’équation Γ(B) = B(I − B∗ B)− 2 , pour tout B ∈ V (H) définit une
fonction inversible Γ de V (H) dans C (H) telle que
Γ−1 (C) = C[ I +C∗C)−1
21
pour tout C ∈ C (H)
Commentaire du théorème
Le théorème nous montre que pour tout opérateur C ∈ C (H) il existe une contraction
1
pure unique B telle que Ker(I − B∗ B) = {0} et C = [B\(I − B∗ B) 2 ].
1
Preuve 29. Supposons que B ∈ V (H) et soit A = (I −B∗ B) 2 un élément positif de V (H).
Alors, Γ(B) = BA−1 et B∗ B + A2 = I.
D’où, d’après le théorème 3.2.2, on a Γ(B) est un opérateur fermé sur H.
Comme le domaine de Γ(B) est ImA qui est dense dans H, on obient Γ(B) ∈ C (H).
Inversement, soit C ∈ C (H). alors :
D’après le corollaire 3.2.4 il existe A et B ∈ B(H) tels que C = [B\A], A est positif et
1
B∗ B + A2 = I c’est à dire que A = (I + B∗ B) 2 où A a pour domaine l’image de C.
On a pour tout x ∈ H tel que x 6= 0 ; kxk2 − kBxk2 = kAxk2 > 0.
1
D’où, B ∈ V (H) et Γ(B) = B(I − B∗ B)− 2 = C, ce qui implique que :
1
C∗ = (I − B∗ B)− 2 B∗ = A−1 B∗ , on a de plus ∀x ∈ H :
x = A2 x + A−1 (I − A2 )A−1 A2 x
= (I + A−1 B∗ BA−1 )A2 x = (I +C∗C)A2 x
D’où, (I +C∗C) est inversible avec (I +C∗C)−1 = A2 .
1
Ainsi, B = CA = C[ I +C∗C)−1 2 ∈ V (H).
1
Vérifions que si C = [B\(I − B∗ B) 2 ] alors B est unique.
1
1
Soit [B\(I − B∗ B) 2 ] = [D\(I − D∗ D) 2 ] associés à deux contractions pures B et D dans
V (H).
46
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.8. APPLICATION
1
1
Alors, d’après le lemme 3.5.1, on a (I − B∗ B) 2 = (I − D∗ D) 2 X et B = DX. On peut voir
facilement que X ∗ X = I, c’est à dire que X est unitaire.
1
1
D’où, I − B∗ B = (I − D∗ D) 2 XX ∗ (I − D∗ D) 2 = (I − D∗ D) ce qui implique que
B∗ B = D∗ D et par conséquant, X = I et D = B.
♦
Lemme 3.8.2. ([11]. Lemme 1) Γ(B∗ ) = Γ(B)∗
Quelques propriétés d’opérateurs fermés de domaine dense dans H
1
Si T ∈ C (H), alors il existe une contraction pure B unique tel que T = [B\(I − B∗ B) 2 ]
1.Adjoint de T
1
Suivant le lemme 4.8.2, on a : T ∗ = [B∗ \(I − BB∗ ) 2 ]
2. Normalité, Symétrie et auto-adjonction de T
On va étudier en premier lieu le produit T ∗ T (resp. T T ∗ )
Lemme 3.8.3.
1. T ∗ T = [B∗ B\(I − B∗ B)]
2. T T ∗ = [BB∗ \(I − BB∗ )]
1
3. T T ∗ T = [BB∗ B\(I − B∗ B) 2 ]
Preuve 30.
1
1
1
1
(1). Comme B−1 Im(I − BB∗ ) 2 = Im(I − B∗ B) 2 et (I − BB∗ ) 2 B = B(I − B∗ B) 2
1
On pose N = (I − B∗ B) 2 et M = B, on a donc :
1
1
ImN = B−1 Im(I − BB∗ ) 2 et (I − BB∗ ) 2 M = BN
Ainsi, d’après la définition du produit des quotients on a :
1
1
T ∗ T = [B∗ \(I − BB∗ ) 2 ][B\(I − B∗ B) 2 ]
1
= [B∗ M\(I − B∗ B) 2 N] = [B∗ B\(I − B∗ B)]
47
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.8. APPLICATION
De la même façon, on montre (2) et (3).
♦
Corollaire 3.8.4. Si B est normal, alors T est normal.
Rappellons que T est symétrique (resp. auto-adjoint) si : T ⊂ T ∗ (resp. T = T ∗ ).
Théorème 3.8.5. les conditions suivantes sont équivalentes :
1
1. T = [B\(I − B∗ B) 2 ] est symétrique
1
1
2. ∃X ∈ B(H) ; (I − B∗ B) 2 = (I − BB∗ ) 2 X et B = B∗ X
1
3. B∗ (I − B∗ B) 2 est auto-adjoint.
1
1
4. W = B2 + (I − BB∗ ) 2 (I − B∗ B) 2 est une isométrie .
Preuve 31. ”(1) =⇒ (2)” (évidente d’après le lemme 3.5.1)
”(2) =⇒ (3)”
1
1
B∗ (I − B∗ B) 2 = X ∗ B(I − B∗ B) 2
1
1
= X ∗ (I − BB∗ ) 2 B = (I − B∗ B) 2 B
”(2) =⇒ (4)”
1
1
X ∗ X = X ∗ (I − BB∗ ) 2 (I − BB∗ ) 2 + X ∗ BB∗ X
1
1
= (I − B∗ B) 2 (I − B∗ B) 2 + B∗ B = I
1
1
D’où, X est une isométrie. W = BB∗ X + (I − BB∗ ) 2 (I − BB∗ ) 2 X = X, par conséquent W
est une isométrie.
”(3) =⇒ (1)” (Lemme 4.5.1)
”(4) =⇒ (3)”, si W ∗W = I alors :
h
i h
i
1
1 ∗
1
1
1
2
2
B2 + (I − BB∗ ) 2 (I − B∗ B) 2
B2 + (I − BB∗ ) 2 (I − B∗ B) 2 = B∗ B2 + B∗ (I − BB∗ ) 2
1
1
1
1
1
1
2
(I − B∗ B) 2 + (I − B∗ B) 2 (I − BB∗ ) 2 B2 + (I − B∗ B) 2 (I − BB∗ ) 2 (I − B∗ B) 2 = B∗ B2 +
1
1
1
1
1
B∗ (I − B∗ B) 2 B∗ (I − B∗ B) 2 + (I − B∗ B) 2 B(I − B∗ B) 2 B + (I − B∗ B) − (I − B∗ B) 2 BB∗
1
(I − B∗ B) 2
48
CHAPITRE 3. CARACTÈRES DU QUOTIENT
3.8. APPLICATION
1
D’où, si on pose B∗ (I − B∗ B) 2 = C on a :
2
2
B∗ B2 +C2 +C∗ − B∗ B −C∗C = I(= W ∗W )
2
2
Or, C2 +C∗ −C∗C − (B∗ B − B∗ B2 ) = 0.
2
Comme B∗ B − B∗ B2 = B∗ (I − B∗ B)B = CC∗ , on a donc
2
C2 +C∗ −C∗C −CC∗ = 0. Ainsi, (C −C∗ )2 = 0.
1
Par conséquent, C = C∗ ou bien B∗ (I − B∗ B) 2 est auto-adjoint.
♦
Corollaire 3.8.6. Si B est auto-adjoint, alors T est auto-adjoint.
49
CHAPITRE 4
QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
On s’intéresse dans ce chapitre à donner une généralisation de la notion du quotient
d’opérateurs au cas non borné. On va poser les conditions nécessaires qui garantissent
l’existence du quotient des opérateurs non bornés. On traite par la suite comme aux chapitres 1 et 2, la somme et le produit des opérateurs quotients d’opérateurs non bornés
ainsi que la notion de l’adjoint et on montre que ces notions, comme dans le cas borné,
conservent le quotient. On achéve ce chapitre un exemple sur les opérateurs de multiplication et on montre que le quotient des opérateurs de multiplication est un opérateur de
multiplication par le quotient des deux fonctions.
Soient (A, D(A)) et (B, D(B)) deux opérateurs non bornés sur un espace de Hilbert
H, de domaines respectifs D(A) et D(B) denses dans H .
Supposons que D(A) ∩ D(B) est un ensemble non trival D(A) ∩ D(B) 6= {0}.
Soit  la restriction de A sur le domaine D(Â) = D(A) ∩ D(B) tel que Ker ⊂ KerB.
Définition 4.0.1. On appelle opérateur quotient [B\Â] l’appliction :
Âx −→ Bx , ∀x ∈ D(Â) = D(A) ∩ D(B)
L’opérateur [B\Â] a pour domaine D([B\Â]) = Im ⊂ ImA, et pour graphe le sous espace
G(Â, B) = {(Âx, Bx) ; x ∈ D(Â)}.
Remarque 4.0.1. Si D(A) = D(B) ou bien D(A) ⊂ D(B) on obtient [B\Â] = [B\A]
Si A et B sont fermés tels que D(A) = D(B) = H, on obtient la notion du quotient d’opérateurs bornés développée au premier chapitre.
Exemple 4.0.7. Soient α, β deux fonctions mesurables définies de R dans C telles que
α(x) 6= 0 ∀x ∈ R et soient A et B deux opérateurs définits sur L2 (R) par :
A : L2 (R) −→ L2 (R)
f −→ A f (x) = α(x) f (x)
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
B : L2 (R) −→ L2 (R)
f −→ B f (x) = β (x) f (x)
Les domaines de A et B sont donc :
D(A) = { f ∈ L2 (R) ; α(x) f (x) ∈ L2 (R)}
D(B) = { f ∈ L2 (R) ; β (x) f (x) ∈ L2 (R)}
D(A) et D(B) sont denses dans L2 (R).
Supposons que D(A) ∩ D(B) 6= {0L2 (R) } par exemple |β (x)| ≤ C|α(x)|, C > 0 pp sur R
où D(A) ∩ D(B) = { f ∈ L2 (R) ; α(x) f (x) ∈ L2 (R) et β (x) f (x) ∈ L2 (R)}
Soit  la restriction de A sur le domaine D(Â) = D(A) ∩ D(B).
Comme α(x) 6= 0 ∀x ∈ R, on a Ker ⊂ KerB.
Ainsi, le quotient [B\Â] existe et il est donné par l’appliction :
[B\Â] : Im −→ ImB
α(x) f (x) −→ [B\Â]{α(x) f (x)} = β (x) f (x)
Ce qui implique que pour toute fonction g ∈ ImÂ
β (x)
g(x)
[B\Â]g(x) =
α(x)
D’où, le quotient [B\Â] est l’opérateur de multiplication sur L2 (R) par la fonction
[B\Â] est borné si et seulement si
β (x)
α(x)
β (x)
α(x)
∈ L∞ (R)
[B\Â] est symétrique et alors auto-adjoint si et seulement si
β (x)
α(x)
est réelle.
Remarque 4.0.2. Soit (A, D(A)) un opérateur non borné sur H, alors A peut s’exprimer
ˆ ou Iˆ est la restrection de l’opérateur identité sur le domaine de A.
par A = [A\I]
D’autre part, Iˆ = [A\A].
Par analogie au cas du quotient des opérateurs bornés, on va essayer de donner une
généralisation du théorème de Douglas au cas non borné, pour qu’on puisse définir par
la suite les défférentes propriétés du quotient des opérateurs non bornés.
51
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.1
4.1. THÉORÈME DE DOUGLAS 2EME VERSION
Théorème de Douglas 2eme Version
Théorème 4.1.1. Soient (A, D(A)), (B, D(B)) deux opérateurs non bornés sur un espace
de Hilbert H de domaines respectifs D(A) et D(B) denses dans H.
1. Si BB∗ ≤ AA∗ alors il existe une contraction C tel que B ⊂ AC
BB∗ ≤ AA∗ ⇐⇒ D(AA∗ ) ⊂ D(BB∗ ) et ∀ f ∈ D(AA∗ ) on a hBB∗ f , f i ≤ hAA∗ f , f i
2. Si C est un opérateur pour lequel B ⊂ AC alors ImB ⊂ ImA
3. Si ImB ⊂ ImA, il existe alors un opérateur C de domaine dense dans H
et un nombre M ≥ 0 tel que :

 B = AC
 kC f k2 ≤ M{k f k2 + kB f k2 }, ∀ f ∈ D(C)
De plus :
Si B est borné alors C est borné.
Si A est borné alors C est fermé.
Appelons l’operateur C obtenu dans 3, la solution de Douglas de l’équation AX = B.
Preuve 32. (1) Supposons que BB∗ ≤ AA∗ , on a donc :
D(AA∗ ) ⊂ D(BB∗ et ∀ f ∈ D(AA∗ ) ; hBB∗ f , f i ≤ hAA∗ f , f i
Comme D(AA∗ ) ⊂ D(A) et D(BB∗ ) ⊂ D(B), on définit un opérateur C∗ de ImA∗ dans
ImB∗ tel que C∗ A∗ f = B∗ f pour f ∈ D(AA∗ ).
C∗ est une contraction car,
kC∗ A∗ f k2 = kB∗ f k2 = hBB∗ f , f i ≤ hAA∗ f , f i = kA∗ f k2
D’ou, C∗ est prolongeable sur ImA∗ , on pose C∗ f = 0 pour f ∈ (ImA∗ )⊥ .
Ainsi, C∗ A∗ ⊂ B∗ où bien B ⊂ AC.
(2) Si B ⊂ AC alors ImB ⊂ ImA (évident).
52
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.2. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
(3) Supposons que ImB ⊂ ImA :
On a, ∀ f ∈ D(B); B f ∈ ImB ⊂ ImA. D’où, il existe h ∈ D(A) tel que B f = Ah.
Soit C un opérateur défini de D(B) dans D(A) tel que C f = h pour toute f ∈ D(B).
On a donc, B f = AC f ∀ f ∈ D(B) c’est dire que B = AC.
On applique le théorème du graphe fermé pour l’opérateur C en munissant D(B) de la
norme du graphe de B, on obtient ∃M ≥ 0 tel que
kC f k2 ≤ M{k f k2 + kB f k2 } ∀ f ∈ D(B)
(4.1)
Si B est borné il est clair d’après (4.1) que C est borné de plus il est prolongeable
sur H tout entier.
Si A est borné, soit ( fn ,C fn )n une suite d’éléments du graphe de C convergente vers
( f , g). Alors, la suite ( fn , AC fn )n converge vers ( f , Ag) (car A est borné)
Posons :AC fn = B fn .
On a ( fn , B fn )n converge vers ( f , Ag). si B est fermé alors, Ag = B f ou bien C f = g.
Ainsi, C est fèrmé.
♦
Remarque 4.1.1. Si (A, D(A)) et (B, D(B)) sont deux opérateurs non bornés sur H tels
que ImB ⊂ ImA, alors, A peut être considéré comme étant le quotient [B\C] où C est la
solution de Douglas de l’équation AX = B.
Si D(A) ∩ D(B) 6= {0}, soit Ĉ (resp. Â) la restriction de C (resp. A) sur D(A) ∩ D(B).
Si  commute avec Ĉ alors :
Ĉ = [B\Â]
4.2
Quotient par l’inverse généralisé
L’objet de cette partie est d’exprimer le quotient [B\Â] à partir de l’inverse généralisé
de  lorsque  est à image fermée.
53
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.2.1
4.2. QUOTIENT PAR L’INVERSE GÉNÉRALISÉ
Inverse généralisé d’un opérateur non borné
Définition 4.2.1. Soit (A, D(A)) un opérateur non borné fermé de domaine dense dans
H. On appelle inverse généralisé et on note(A− , D(A− )) tout opérateur non borné fermé
tel que :
ImA ⊂ D(A− ) , ImA− ⊂ D(A)
∀u ∈ D(A) : Au = AA− Au
∀v ∈ D(A− ) : A− v = A− AA− v
Remarque 4.2.1. La relation ainsi définie est symétrique, c’est à dire :
A− inverse généralisé de A ⇐⇒ A inverse généralisé de A− .
Théorème 4.2.1. Soit (A, D(A)) ∈ C (H). Alors :
(A, D(A)) admet un inverse généralisé unique noté (A+ , D(A+ )) tel que :
AA+ A = A ,
(A+ A)∗ = A+ A ,
A+ AA+ = A+
(AA+ )∗ = AA+
D(A+ ) = ImA ⊕ KerA∗
Lemme 4.2.2.
• L’opérateur AA+ est une projection orthogonale sur le sous-espace ImA
D(AA+ ) = D(A+ ), ImA = {x ∈ D(A+ ) ; AA+ x = x}
• L’opérateur A+ A est une projection orthogonale sur le sous-espace ImA+ .
D(A+ A) = D(A), ImA+ = {y ∈ D(A) ; A+ Ay = y}
Soient (A, D(A)), (B, D(B)) deux opérateurs non bornés avec des domaines denses dans
H, tels que D(A) ∩ D(B) 6= {0}.
Soit  la restrection de A sur le domaine D(Â) = D(A) ∩ D(B) tel que Ker ⊂ KerB.
54
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Alors : Si D(Â) est dense dans H et  est fermé.
On a :
[B\Â] = BÂ+
Où Â+ est l’inverse généralisé de Moore-Penrose de Â. On a donc :
+
∀x ∈ D(Â) : [B\Â]Âx = B Â
 x = Bx ( car ImÂ+ ⊂ D(Â))
|{z}
PImÂ+
Remarque 4.2.2. Si  est inversible on obtient : [B\Â] = BÂ−1
4.3
Somme et Produit des quotient d’opérateurs non bornés
Soient (A, D(A)), (B, D(B)), (C, D(C)) et (E, D(E)) des opérateurs non bornés avec
des domaines denses dans H tels que :
D(A) ∩ D(B) 6= {0} et D(C) ∩ D(E) 6= {0}
Soient [B\Â] et [E\Ĉ] deux opérateurs quotients ou Â, Ĉ sont respectivement les restrection des opérateurs A et C sur les ensembles D(Â) = D(A) ∩ D(B) et D(Ĉ) = D(C) ∩
D(E).
L’objet de cette partie est d’etudier la somme et le produit des quotients d’opérateurs
non bornés.
4.3.1
Somme des quotient d’opérateurs non bornés
Soient [B\Â] et [E\Ĉ] les quotients définis ci-dessus. La somme [B\Â] + [E\Ĉ] est
alors l’application définie sur l’ensemble
D+ = {x ∈ H ; x ∈ Im et x ∈ ImĈ}
= Im ∩ ImĈ
55
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
D’où, le domaine de [B\Â] + [E\Ĉ] est D+ = Im ∩ ImĈ.
Soit F̂ un opérateur tel que ImF̂ = Im ∩ ImĈ. Alors :
Existe t-il une representation en quotient de la somme [B\Â] + [E\Ĉ] ?
La réponce de cette question entraine la recherche d’un opérateur numérateur N pour
lequel la somme [B\Â] + [E\Ĉ] = [N\F̂].
le théorème suivant nous donne une formule du numérateur en s’apeyant sur le théorème
de Douglas pour le cas non borné.
Théorème 4.3.1. Soient [B\Â] et [E\Ĉ] deux quotients d’opérateurs non bornés sur H.
Alors :
[B\Â] + [E\Ĉ] = [BĈ1 + E Â1 \F̂]
Où Ĉ1 et Â1 sont respectivement les solutions X et Y des équations : ÂX = F̂ et ĈY = F̂.
Preuve 33. Notons tout d’abord que le théorème de Douglas 2eme version nous assure
l’existence de Ĉ1 et Â1 car ImF̂ ⊂ Im et ImF̂ ⊂ ImĈ.
On a de plus,
[BĈ1 \F̂] = [BĈ1 \ÂĈ1 ] et [E Â1 \F̂] = [E Â1 \ĈÂ1 ] sont respectivement les restrictions de
[B\Â] et [E\Ĉ] sur leur domaine commun ImF̂ = Im ∩ ImĈ.
D’où, la somme est l’application définie par :
F̂u −→ BĈ1 u + E Â1 u, ∀u ∈ D(F)
♦
Remarque 4.3.1. La représentation en quotient de la somme des quotients d’opérateurs
non bornés n’est pas unique.
4.3.2
Produit des quotient d’opérateurs non bornés
Sous les même notations du théorème précédent, soient [B\Â] et [E\Ĉ] deux opérateurs quotients d’opérateurs non bornés, on sait que le domaine de définition de [B\Â]
(resp. [E\Ĉ]) est Im (resp. ImĈ) .
56
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Alors : le produit [B\Â].[E\Ĉ] est une application définie sur l’ensemble
D× = {Ĉu ; Eu ∈ ImÂ, u ∈ D(Ĉ)}
Eu ∈ Im ⇐⇒ ∃v ∈ D(Â) tel que Eu = Âv
D’où, la définition suivante :
Définition 4.3.1. Le produit [B\Â].[E\Ĉ] est l’application :
D× −→ ImB
Ĉu −→ Bv
telle que u ∈ D(Ĉ), v ∈ D(Â) et Eu = Âv.
Pour pouvoir representer le produit [B\Â].[E\Ĉ] comme quotient de deux opérateurs
non bornés, on en besoin d’identifier un opérateur Â2 pour lequel D× = ImĈÂ2 et un
opérateur numérateur M de sorte que :
[B\Â].[E\Ĉ] = [M\ĈÂ2 ]
En effet, on a
D× = {Ĉx ; Ex ∈ ImÂ, x ∈ D(Ĉ)}
= {Ĉx ; x ∈ E −1 (ImÂ)}
= ĈE −1 (ImÂ)
Soit (Â2 , D(Â2 )) un opérateur tel que ImÂ2 = E −1 (ImÂ), alors :
D× = Ĉ(ImÂ2 ) = ImĈÂ2
Théorème 4.3.2. Soient [B\Â], [E\Ĉ] et Â2 les opérateurs définits ci-dessus.
Alors :
[B\Â].[E\Ĉ] = [BE2 \ĈÂ2 ]
Où E2 est la soluition X de l’equation ÂX = E Â2 .
57
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Preuve 34. Notons tout d’abord que l’opérateur E2 existe d’après le théorème de Douglas (cas non borné) car Im ⊂ ImE Â2 .
Comme la restriction de [E\Ĉ] sur ImĈÂ2 est :
ĈÂ2 u −→ E Â2 u avec u ∈ D(Â2 )
on obtient d’après la composition des applications suivantes :
ĈÂ2 u −→ E Â2 u = ÂE2 −→ BE2
que le produit [B\Â].[E\Ĉ] est :
ĈÂ2 u −→ BE2 pour u ∈ D(Â2 )
♦
Remarque 4.3.2. La représentation en quotient du produit des quotients d’opérateurs
non bornés n’est pas unique.
Exemple 4.3.3. Soient A, B, E trois opérateurs définits de L2 (]0, +∞[, R) dans L2 (]0, +∞[, R)
tels que :
A : L2 (]0, +∞[, R) −→ L2 (]0, +∞[, R)
f −→ A f (x) = (x + 1) f (x)
B : L2 (]0, +∞[, R) −→ L2 (]0, +∞[, R)
f −→ B f (x) = x f (x)
E : L2 (]0, +∞[, R) −→ L2 (]0, +∞[, R)
f −→ E f (x) = (x + 2) f (x)
Remarquons que A et B sont deux opérateurs non borné ayant le meme domaine de
définition
D(A) = D(B) = { f ∈ L2 (]0, +∞[, R) ; x f (x) ∈ L2 (]0, +∞[, R)}
58
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
x
x+1
On sait aussi que ∀ f ∈ Im(A) : [B\A] f (x) =
f (x).
Nous savons de plus que l’opérateur E est non borné car :
D(E) = { f ∈ L2 (]0, +∞[, R) ; (x + 2) f (x) ∈ L2 (]0, +∞[, R)}
= { f ∈ L2 (]0, +∞[, R) ; x f (x) + 2 f (x) ∈ L2 (]0, +∞[, R)}
= { f ∈ L2 (]0, +∞[, R) ; x f (x) ∈ L2 (]0, +∞[, R)} = D(A) = D(B)
Ainsi,
x+2
f (x)
∀ f ∈ Im(A) : [E\A] f (x) =
x+1
(1)Calculons [B\A] + [E\A]
Remarquons que les deux quotients ont le même dénominateur A, d’ou on a suivant les
notations du théorème 4.3.1 : Ĉ = Â = A.
Posons F̂ = A
Ainsi, d’après la définition de la somme des quotients on a :
[B\A] + [E\C] = [BC1 + EA1 \F̂]
où C1 et A1 sont respectivement les solution X et Y des équations : AX = F̂ et CY = F̂.
Comme F̂ = A on a : C1 = A1 = Iˆ où Iˆ est la restriction d’opérateur identité sur D(A).
D’où,
ˆ
[B\A] + [E\A] = [BIˆ + E I\A]
= [B + E\A]
Or,
[B + E\A] : ImA −→ Im(B + E)
(x + 1) f (x) −→ [B + E\A]{(x + 1) f (x)}
tel que :
[B + E\A]{(x + 1) f (x)} = [B f (x) + E f (x)]
= x f (x) + (x + 2) f (x)
= (2x + 2) f (x)
59
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.3. SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS
Comme x + 1 6= 0 ∀x ∈]0, +∞[ on pose :
2x + 2
∀g(x) ∈ ImA : [B + E\A]g(x) =
g(x) = 2g(x)
x+1
D’ou,
la somme [B\A] + [E\A] est l’ opérateur de multiplication par la fonction constante 2.
(2)Calculons [B\A].[E\A]
Nous savons que le domaine de définition du produit de deux quotients [B\Â].[E\Ĉ] est
donné par D× = ĈE −1 (ImA).
Dans notre cas nous avons : Â = Ĉ = A. D’où
D× = D([B\A].[E\A]) = AE −1 (ImA)
Selon le théorème 4.3.2, soit (Â2 , D(Â2 )) un opérateur sur L2 (]0, +∞[, R) défini par :
x+1
f (x)
Â2 f (x) =
x+2
tel que ImÂ2 = E −1 (ImA). Cela implique que :
D× = A(ImÂ2 ) = ImAÂ2
On a donc :
[B\A].[E\A] = [BE2 \AÂ2 ]
où E2 est la solution X de l’équation AX = E Â2 .
Calculons E2 : Comme AE2 = E Â2 , soit f (x) ∈ D(Â2 ) alors :
on a d’une part,
(AX) f (x) = A[X f (x)] = (x + 1)[X f (x)]
D’autre part,
x+1
E Â2 ( f (x)) = E{
f (x)} = (x + 1) f (x)
x+2
60
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.4. ADJOINT DU QUOTIENT
ˆ Ainsi :
D’où, E2 = I.
ˆ Â2 ] = [B\AÂ2 ]
[B\A].[E\A] = [BI\A
tel que :
[B\AÂ2 ] : ImAÂ2 −→ ImB
h
i
h
i
(x+1)2
(x+1)2
f
(x)
−→
[B\A
Â
]{
f (x)} = B f (x) = x f (x)
2
x+2
x+2
(car ImAÂ2 ⊂ ImA)
h
i
(x+1)2
Comme x+2 6= 0, ∀x ∈]0, +∞[ on pose pour g(x) ∈ ImAÂ2 ,
x(x + 2)
[B\A].[E\A] = [B\AÂ2 ]g(x) =
g(x)
(x + 1)2
4.4
Adjoint du quotient d’opérateurs non bornés
Soient (A, D(A)), (B, D(B)) deux opérateurs non bornés avec des domaines D(A) et
D(B) denses dans H tels que : D(A) ∩ D(B) 6= {0}.
on définit  la restriction de A sur D(A) ∩ D(B). Soit [B\Â] un opérateur quotient de
domaine Im dense dans H.
Définition 4.4.1. On appelle adjoint de [B\Â], l’opérateur [B\Â]∗ tel que :
∀x ∈ ImÂ, ∀y ∈ D([B\Â]∗ ) : h[B\Â]x, yi = hx, [B\Â]∗ yi
[B\Â]∗ admet pour graphe le sous-espace G(Â, B)∗ = {(x, y) ∈ H × H ; y = [B\Â]∗ x}.
On a :
G(Â, B)∗ = {(x, y) ∈ H × H ; y = [B\Â]∗ x}
= {(x, y) ∈ H × H ; hx, [B\Â]ti = hy,ti , ∀t ∈ ImÂ}
= {(x, y) ∈ H × H ; hx, [B\Â]Âui = hy, Âui , ∀u ∈ D(A) ∩ D(B)}
= {(x, y) ∈ H × H ; hx, Bui = hy, Âui , ∀u ∈ D(A) ∩ D(B)}
61
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.4. ADJOINT DU QUOTIENT
On peut voir aussi que :
G(Â, B)∗ = {(x, y) ∈ D(B∗ ) × D(Â∗ ) ; B∗ x = Â∗ y}
où B∗ et Â∗ sont respectivement les adjoints de B et Â
−1
On conclut a partir de sa que le domaine de [B\Â]∗ est D([B\Â]∗ ) = B∗ (ImÂ∗ ).
−1
Soit Â∗ un opérateur tel que ImÂ∗ = B∗ (ImÂ∗ ). Alors :
Théorème 4.4.1. Sous les mêmes hypothèses précédentes, on a :
[B\Â]∗ = [B∗ \Â∗ ]
où B∗ est la solution X de l’équation Â∗ X = B∗ Â∗ .
Preuve 35. Notons que ImB∗ Â∗ ⊂ ImÂ∗ .
D’où, d’après la propriété (3) du théorème de Douglas 2eme version, il existe un opérateur X de domaine dense dans H tel que Â∗ X = B∗ Â∗ ce qui garantit l’existence de B∗ .
On a donc : Â∗ Xv = B∗ Â∗ u pour u ∈ D(Â∗ ) et v ∈ D(X).
Posons : x = Â∗ u et y = Xv, on obtient alors :
Â∗ y = B∗ x ce qui implique que (x, y) = (Â∗ u, Xv) ∈ G(Â, B).
Par conséquent l’adjoint [B\Â]∗ est l’application :
x = Â∗ u −→ y = Xv
♦
Remarque 4.4.1. La représentation en quotient de l’adjoint d’un opérateur quotient
d’opérateurs non bornés n’est pas unique.
Exemple 4.4.2. Reconsidérons ici les fonctions α et β de l’exemple 4.0.7 avec α(x) 6= 0
et β (x) 6= 0 ∀x ∈ R. On a
[B\Â] : Im −→ ImB
g(x) −→ [B\Â]g(x) =
62
β (x)
α(x)
g(x)
CHAPITRE 4. QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS
4.4. ADJOINT DU QUOTIENT
Calculons [B\Â]∗ :
Soient Â∗ et B∗ les adjoints de  et B
Â∗ f (x) = α(x) f (x)
B∗ f (x) = β (x) f (x)
pour f ∈ D(Â∗ ) ∩ D(B∗ ).
On a d’après le théorème 4.4.1 : [B\Â]∗ = [B∗ \Â∗ ] où Â∗ est un opérateur défini sur
−1
L2 (R) tel que ImÂ∗ = B∗ (ImÂ) et B∗ est la solution de l’équation Â∗ X = B∗ Â∗ .
α(x)
f (x) pour
β (x)
−1
= B∗ (ImÂ).
Posons Â∗ f (x) =
On a bien ImÂ∗
f ∈ D(Â∗ ).
Calculons B∗ :
Comme Â∗ B∗ = B∗ Â∗ , on a d’une part : ∀ f ∈ D(Â∗ ); Â∗ B∗ f (x) = α(x)(B∗ f (x)).
h
i
α(x)
∗
∗
D’autre part, B Â∗ f (x) = B
f (x) = α(x) f (x).
β (x)
D’où, (B∗ f (x)) = f (x) c’est à dire que B∗ est la restriction Iˆ∗ de l’opérateurs identité
sur D(Â∗ ).
On a finalement : [B\Â]∗ = [B∗ \Â∗ ] = [Iˆ∗ \Â∗ ]
où,
[Iˆ∗ \Â∗ ] : ImÂ∗ −→ ImIˆ∗
α(x)
β (x)
Comme
α(x)
β (x)
f (x) −→ [Iˆ∗ \Â∗ ]
n
α(x)
β (x)
o
f (x) = f (x)
6= 0 on pose pour toute fonction g ∈ D(Â∗ ) :
∗
[B\Â] g(x) =
β (x)
g(x) =
α(x)
β (x)
g(x)
α(x)
Remarque 4.4.2. Les résulats obtenus dans le cas borné sur la fermeture, la fermabilité,
le caractère symétrique, auto-adjoint, les extensions...etc restent valables dans le cas non
borné en prenant attention aux domaines des opérateurs considérés.
63
PERSTECTIVES
• Spectre du quotient d’opérateurs linéaires.
• Calcul fonctionnel du quotient d’opérateurs bornés.
• Caractères du quotient d’opérateurs fermés.
BIBLIOGRAPHIE
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