Université d`Oran Quotient des opérateurs bornés extension aux

Université d’Oran
Quotient des opérateurs bornés
extension aux opérateurs non bornés
et applications
par
Gherbi Abdellah
Département de Mathematique
Faculté des Sciences
Thèse présentée à la Faculté des Sciences
en vue de l’obtention du grade de Magister
en Mathématiques
Juin, 2010
c
Gherbi Abdellah, 2010.

Université d’Oran
Faculté des Sciences
Cette thèse intitulée:
Quotient des opérateurs bornés
extension aux opérateurs non bornés
et applications
présentée par:
Gherbi Abdellah
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:
Mekki TERBECHE, président
Bekkai MESSIRDI, Encadreur
M.Hicham MORTAD, Examinateur
Abderrahmane SENOUSSAOUI, Examinateur
Mustapha CHEGGAG, Examinateur
Thèseacceptéele: ..........................

TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES ............................ iii
REMERCIEMENTS ............................... v
INTRODUCTION ................................ vi
CHAPITRE 1 : QUOTIENT DES OPÉRATEURS BORNÉS ........ 1
1.1 Quotient de deux opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ThéorèmedeDouglas........................... 3
1.3 Quotient par l’inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Inverse généralisé d’un opérateur borné . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Solution réduite sur un sous-espace fermé . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Exemplematriciel............................. 13
CHAPITRE 2 : SOMME ET PRODUIT DES QUOTIENTS ........ 14
2.1 Sommedesquotients ........................... 17
2.2 produitdesquotients ........................... 19
2.3 Exemplematriciel............................. 20
CHAPITRE 3 : CARACTÈRES DU QUOTIENT .............. 24
3.1 Adjointduquotient ............................ 24
3.2 Fermetureduquotient........................... 27
3.3 Fermabilité du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Les Adjoints successifs du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Extensionduquotient........................... 33
3.6 Symétrie, Auto-adjonction et normalité du quotient . . . . . . . . . . . 35
3.7 Adjoint de la somme et du produit des quotients . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.1 Adjoint de la somme des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.2 Adjoint du produit des quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iv
3.8 Application ................................ 45
CHAPITRE 4 : QUOTIENT DES OPÉRATEURS NON BORNÉS ..... 50
4.1 Théorème de Douglas 2eme Version.................... 52
4.2 Quotient par l’inverse généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Inverse généralisé d’un opérateur non borné . . . . . . . . . . . 54
4.3 Somme et Produit des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Somme des quotient d’opérateurs non bornés . . . . . . . . . . 55
4.3.2 Produit des quotient d’opérateurs non bornés . . . . . . . . . . 56
4.4 Adjointduquotient ............................ 61

REMERCIEMENTS
Premièrement et particulièrement, je tiens à remercier vivement mon promoteur Mon-
sieur le professeur BEKKAI MESSIRDI pour son soutient indéfectible durant la prépa-
ration de ce projet, dès le début sa confiance à mon égard et à mon travail m’a donnée
une énergie et une inspiration de soulever toutes les difficultés.
Aussi je tiens à remercier par l’occasion tous les membres du jury pour l’honneur qu’il
me font en acceptant de présider et examiner ce travail.
Finalement, j’adresse mes remerciements les plus vifs à mes parents pour leur soutient
exemplaire et leurs sacrifices loyaux durant ces longues années de quête sur la voie du
savoir.