Connexité : exemples et applications.

Connexité : exemples et applications.
Par Nicolas Lanchier
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Propriétés topologiques.
Définition 1.1 — Un espace topologique X est dit connexe s’il n’existe pas de partition de X
en deux ouverts disjoints non vides.
Exemple 1.2 — Les parties connexes de R sont les intervalles. [3], Sect. 1.4
Exemple 1.3 — Soit (X, d) un espace métrique compact et (x n )n≥0 une suite d’éléments de X
telle que limn→∞ d(xn , xn+1 ) = 0. Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de (x n )n≥0 est une
partie connexe de X. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.4 — Soit l’espace discret D = {0, 1}. Un espace topologique X est connexe si et
seulement si toute application continue f : X −→ D est constante. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.5 — Soit (Ci )i∈I une famille quelconque S
de parties connexes de X. S’il existe
6 ∅ alors i∈I Ci est connexe. [3], Sect. 1.4
un indice i0 ∈ I tel que pour tout i ∈ I, Ci0 ∩ Ci =
Proposition 1.6 — Soit (Cn )n≥0
S une famille dénombrable de parties connexes de X. Si pour
tout n ≥ 0, Cn ∩ Cn+1 6= ∅ alors n≥0 Cn est connexe. [3], Sect. 1.4
Définition 1.7 — On considère sur X la relation binaire x R y si et seulement s’il existe une
partie connexe C ⊂ X telle que x ∈ C et y ∈ C. La relation R est une relation d’équivalence dont
les classes sont appelées composantes connexes de X. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.8 — Un espace topologique X est connexe si et seulement s’il ne possède qu’une
composante connexe. [3], Sect. 1.4
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Exemples d’espaces connexes.
Définition 2.1 — Un espace topologique X est dit connexe par arcs si pour tous x, y ∈ X il
existe une application continue γ : [0, 1] −→ X telle que γ(0) = x et γ(1) = y. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.2 — Si X est connexe par arcs alors X est connexe. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.3 — Soit X une sous-variété topologique de R n . Alors X est connexe si et
seulement si X est connexe par arcs.
Définition 2.4 — Un espace topologique X est connexe par lignes brisées si pour tous x, y ∈ X
il existe une ligne brisée d’origine x d’extrémité y incluse dans X. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.5 — Tout espace topologique connexe par lignes brisées est connexe par arcs.
[3], Sect. 1.4
Théorème 2.6 — Un ouvert Ω d’un espace vectoriel normé est connexe si et seulement s’il est
connexe par lignes brisées. [3], Sect. 1.4
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Exemples d’utilisation de la connexité en analyse.
Théorème 3.1 (théorème des valeurs intermédiaires) — Soit f : X −→ Y une application continue. Si X est connexe alors f (X) est une partie connexe de Y . En particulier, si Y = R,
f (X) est un intervalle. [3], Sect. 1.4
Lemme 3.2 (lemme de Milnor) — Soient K un compact de Rn , U un voisinage ouvert de K,
v : U −→ Rn une application de classe C 1 et vt , t ∈ R, la fonction définie pour tout x ∈ U par
vt (x) = x + t v(x). Alors
Z
t 7→
det(dvt (x)) dx
K
∀t∈R
est une fonction polynômiale. [2], Ex 1.2.5
Théorème 3.3 (boule chevelue) — Il existe un champ de vecteurs continu sans zéro sur la
sphère S n si et seulement si n est impaire. [2], Ex 1.2.6
Théorème 3.4 (Brouwer) — Soient D le disque unité de R2 et f : D −→ D une application
continue. Alors f admet au moins un point fixe. [1], Sect. 1.1
Théorème 3.5 — Soient I un intervalle de R, Ω un ouvert de R n et f : I ×Ω −→ Rn une fonction
localement lipschitzienne en la seconde variable. Soient I 1 et I2 deux intervalles d’intersection non
vide, (x1 , I1 ) et (x2 , I2 ) deux solutions de l’équation différentielle
∂t x = f (t, x(t))
S’il existe t0 ∈ I1 ∩ I2 tel que x1 (t0 ) = x2 (t0 ) alors x1 ≡ x2 sur I1 ∩ I2 . [4], Sect. 10.3
Théorème 3.6 (prolongement analytique) — Soient Ω un ouvert connexe du plan complexe, f et g deux fonctions analytiques dans Ω. Si l’ensemble Z = { z ∈ Ω , f (z) = g(z)} admet
un point d’accumulation alors f ≡ g sur Ω.
Définition 3.7 — Soient Γ le cercle d’incertitude de la série entière
X
f (z) =
an z n
et D son disque de convergence. Un élément a ∈ Γ est dit régulier s’il existe un disque ouvert
Da centré en a tel que f admette un prolongement analytique sur D ∪ D a , singulier dans le cas
contraire. [4], Sect. 3.4
Application 3.8 — L’ensemble des points singuliers d’une série entière de rayon de convergence
R < + ∞ est non vide. [4], Sect. 3.4
Références
[1] Stéphane Gonnord, Nicolas Tosel. Thèmes d’analyse pour l’agrégation. Topologie et analyse
fonctionnelle. Ellipses, 1996.
[2] Stéphane Gonnord, Nicolas Tosel. Thèmes d’analyse pour l’agrégation. Calcul différentiel.
Ellipses, 1998.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tête. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Claude Zuily, Hervé Queffélec. Eléments d’analyse pour l’agrégation. Masson, 1995.