Connexité : exemples et applications.

Connexit´e : exemples et applications.
Par Nicolas Lanchier 1
1 Propri´et´es topologiques.
D´ efinition 1.1 — Un espace topologique Xest dit connexe s’il n’existe pas de partition de X
en deux ouverts disjoints non vides.
Exemple 1.2 — Les parties connexes de Rsont les intervalles. [3], Sect. 1.4
Exemple 1.3 — Soit (X, d) un espace m´etrique compact et (xn)n≥0une suite d’´el´ements de X
telle que limn→∞ d(xn, xn+1) = 0. Alors l’ensemble des valeurs d’adh´erence de (xn)n≥0est une
partie connexe de X. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.4 — Soit l’espace discret D={0,1}. Un espace topologique Xest connexe si et
seulement si toute application continue f:X−→ Dest constante. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.5 — Soit (Ci)i∈Iune famille quelconque de parties connexes de X. S’il existe
un indice i0∈Itel que pour tout i∈I,Ci0∩Ci6=∅alors Si∈ICiest connexe. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.6 — Soit (Cn)n≥0une famille d´enombrable de parties connexes de X. Si pour
tout n≥0, Cn∩Cn+1 6=∅alors Sn≥0Cnest connexe. [3], Sect. 1.4
D´ efinition 1.7 — On consid`ere sur Xla relation binaire xRysi et seulement s’il existe une
partie connexe C⊂Xtelle que x∈Cet y∈C. La relation Rest une relation d’´equivalence dont
les classes sont appel´ees composantes connexes de X. [3], Sect. 1.4
Proposition 1.8 — Un espace topologique Xest connexe si et seulement s’il ne poss`ede qu’une
composante connexe. [3], Sect. 1.4
2 Exemples d’espaces connexes.
D´ efinition 2.1 — Un espace topologique Xest dit connexe par arcs si pour tous x,y∈Xil
existe une application continue γ: [0,1] −→ Xtelle que γ(0) = xet γ(1) = y. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.2 — Si Xest connexe par arcs alors Xest connexe. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.3 — Soit Xune sous-vari´et´e topologique de Rn. Alors Xest connexe si et
seulement si Xest connexe par arcs.
D´ efinition 2.4 — Un espace topologique Xest connexe par lignes bris´ees si pour tous x,y∈X
il existe une ligne bris´ee d’origine xd’extr´emit´e yincluse dans X. [3], Sect. 1.4
Proposition 2.5 — Tout espace topologique connexe par lignes bris´ees est connexe par arcs.
[3], Sect. 1.4
Th´ eor` eme 2.6 — Un ouvert Ω d’un espace vectoriel norm´e est connexe si et seulement s’il est
connexe par lignes bris´ees. [3], Sect. 1.4
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.

3 Exemples d’utilisation de la connexit´e en analyse.
Th´ eor` eme 3.1 (th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires) — Soit f:X−→ Yune applica-
tion continue. Si Xest connexe alors f(X) est une partie connexe de Y. En particulier, si Y=R,
f(X) est un intervalle. [3], Sect. 1.4
Lemme 3.2 (lemme de Milnor) — Soient Kun compact de Rn,Uun voisinage ouvert de K,
v:U−→ Rnune application de classe C1et vt,t∈R, la fonction d´efinie pour tout x∈Upar
vt(x) = x+t v(x). Alors
t7→ ZK
det(dvt(x)) dx ∀t∈R
est une fonction polynˆomiale. [2], Ex 1.2.5
Th´ eor` eme 3.3 (boule chevelue) — Il existe un champ de vecteurs continu sans z´ero sur la
sph`ere Snsi et seulement si nest impaire. [2], Ex 1.2.6
Th´ eor` eme 3.4 (Brouwer) — Soient Dle disque unit´e de R2et f:D−→ Dune application
continue. Alors fadmet au moins un point fixe. [1], Sect. 1.1
Th´ eor` eme 3.5 — Soient Iun intervalle de R, Ω un ouvert de Rnet f:I×Ω−→ Rnune fonction
localement lipschitzienne en la seconde variable. Soient I1et I2deux intervalles d’intersection non
vide, (x1, I1) et (x2, I2) deux solutions de l’´equation diff´erentielle
∂tx=f(t, x(t))
S’il existe t0∈I1∩I2tel que x1(t0) = x2(t0) alors x1≡x2sur I1∩I2. [4], Sect. 10.3
Th´ eor` eme 3.6 (prolongement analytique) — Soient Ω un ouvert connexe du plan com-
plexe, fet gdeux fonctions analytiques dans Ω. Si l’ensemble Z={z∈Ω, f(z) = g(z)}admet
un point d’accumulation alors f≡gsur Ω.
D´ efinition 3.7 — Soient Γ le cercle d’incertitude de la s´erie enti`ere
f(z) = Xanzn
et Dson disque de convergence. Un ´el´ement a∈Γ est dit r´egulier s’il existe un disque ouvert
Dacentr´e en atel que fadmette un prolongement analytique sur D∪Da, singulier dans le cas
contraire. [4], Sect. 3.4
Application 3.8 — L’ensemble des points singuliers d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence
R < +∞est non vide. [4], Sect. 3.4
R´ef´erences
[1] St´ephane Gonnord, Nicolas Tosel. Th`emes d’analyse pour l’agr´egation. Topologie et analyse
fonctionnelle. Ellipses, 1996.
[2] St´ephane Gonnord, Nicolas Tosel. Th`emes d’analyse pour l’agr´egation. Calcul diff´erentiel.
Ellipses, 1998.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Claude Zuily, Herv´e Queff´elec. El´ements d’analyse pour l’agr´egation. Masson, 1995.