Caractérisation des anneaux commutatifs pour lesquels les modules

UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
rnmm
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
000
DEPARTEMENT DE MATHEMATrQUES ET INFORMATIQUE
( THESE)
Présentée pour obtenir le Grade de Docteur de 3' Cycle
Spécialité
Option
: Mathématiques Pures
: Algèbre
Présenté par:
Soutenue le 21 Mars 1998 devant la commission d'Examen
Président: Ramet SEYDI : Professeur à l'Université ROWARD Washington
,~IJembrcs : ChérifBADJI : Professeur à l'U.C.A.D.
Mamadoll Makhtar DIOP: Maître-Assistant à l'D.C.A.D.
Mamadoll SANGHARE : Chargé d'Enseignement à J'U.C.A.D.
~
A mon Directeur de recherches Monsieur Mamadou SANGHARE qui est à
l'origine de celte thèse. C'est une grande joie pour moi que de pouvoir lui exprimer ma
:-;incère reconnaissance et ma profonde gratitude pour la bienveillance avec laquelle il
m'a guidé et pour les conseils et les encouragements qu'il m'a prodigués tout au long
de ce travail. J'ai apprécié tout particulièrement sa patience et sa grande disponibilité à
IlIOn
égard.
Ô
Atoute l'équipe du3 c Cycle d'Algèbre
o
A tous les enseignants de la faculté des Sciences qUI ont participé à ma
formation.
---.
,.
INTRODUCTION
Chapitre l
01
,
,
,
,
r ntroduction
] 0)
2°)
3°)
4°)
'"
, '" '"
_ Modules simples et Modules semi-simples
-Modules artiniens et Modules nœttériens
- Modules injectifs - Modules projectifs
- Les anneaux à identités polynomiales
,
,
,
,
03
'" .. ,
03
03
05
13
19
'"
'"
,
,
Chapitre II
20
'" '" .. ,
,
'"
,
, '"
Introduction
,. '"
1°) - Un anneau sur lequel tout A-module de type
fini vérifie la propriété (S)
2°) - Exemple d'un module qui vérifie la propriété (S)
'"
et qui n'est pas de type fini
3°) - Exemple de A-module de type fini qui ne vérifie pas la propriété (S)
20
23
29
Chapitre III.
30
Introduction
"
20
,
'"
,
1°) - F.G.S - Anneaux Commutatifs
BIBLIOGRAPHIE:
,
'"
,
30
.31
39
INTRODUCTION
L'origine de
Cl'
"Soit
un anneau commutati1~ M
A
travail l'st la proposition suivante:
un
A-module de type fini, alors tout
endomorphisme surjectif de M est un isomorphisme ".
Soit A un anneau non nécessairement c0mmutatif, M lin A-module; on dit que M vérifie
la propriété (S) si tout A-endomorphisme de M sUljectif est un isomorphisme.
Soit A un anneau,:5 la classe des A-modules de type fini,
3' la classe de A-modules
vérifiant la propriété (S), en 1969 W. V. Vasconcelos a démontré que si A est commutatif
:5 ç
3'. En général cette inclusion est stricte; dans [12] Kaïdi A.M et SANGHARE ont
donné l'exemple d'un module sur un anneau commutatif; qui vérifie (S) et qui n'est pas de
type fini.
Notre travail est de caractériser les anneaux commutatifs pour lesquels :3 et
3' sont
identiques.
Pour aborder cette étude nous avons divisé cette thèse en trois chapitres.
Le Chapitrc 1 est un rappel de l'l'l'tains résultats classiques, des dé/initions, des notations
que nous utiliserons tout au long ce travail.
Dans le Chapitre II nous faisons une synthèse de différents résultats que nous avons pu
recueillir d'articles étudiant les modules qui vérifient la propriété (S). Notamment « on
1initely generated flat modules» de W. V. Vasconcelos; « on injective and sl\ljective •
endomorphisms of tinitely generatcd modules» de Kt>. Armcndariz, Joc W. Fishcl',
Robert L. Snidcr ~ et « lll1e caractérisation des anneaux à idéaux principaux» de Kaïùi RI
Amin Mobhtar et Sangharé Mamadou .
Le Chapitre III
esl consacré ù Li car~:~<'r:salioll des FGS-anlleaux cOllllllutali b, CIl
Imontrant d'abord que tout idéal premier d'un td anneau est maximal et que les idéaux
maximaux sont en nombre fini. En suite qu'un tel anneau est semi-parfait. Et enfin sous
certaines conditions on montre qu'un FeS-aIlncau commutatif est artinien.
4
Proposition 1-1 ([6 J proposition 1 P. 46)
Soit A un anneau; les propriétés suivantes sont équivalentes:
a) Tout A-module est semi-simple
b) Le module ,.lA est semi-simple.
Démonstration:
a)
~
b)
~ a) . En effet tout A-module est isomorphe au quotient d'un module A(X) or tout
b) est évident
quotient d'un module semi-simple est semi-simple.
Définition 1-2 :
On appelle radical d'un
A-module M
(re.w de l'anneau A)
le sous-module
intersection des sous-modules maximaux de M, ou, ce qui revient au même, l'ensemble des
éléments de M annulés par tout homomorphisme de M dans un A-module simple (resp.
intersection des idéaux à gauche maximaux de A). On dit que M est sans radical si son
radical est nul.
Proposition 1-3 ( [6 J proposition 5 P. 65)
Pour qu'un A-module M soit sans radical, il faut et il suffit qu'il soit isomorphe cl un
sous-module d'un produit de A-modules simples.
Démonstration:
Si M est sans radical, alors il existe une fàmille
famille (fi)
iel
(Si)iel
de A-modules simples et une
d'homomorphismes de M dans Si, telles que les noyaux des fi aient {O}
pour intersection. On a donc le diagramme de A-modules commutatif suivant:
5
En effet si M est sans radical, alors il existe une famille (Ni) de sous-modules à gauche
maximum de M. Pour tout i
M ~ Mj~,
n
Ker fi
lE!
=
= S,
n
Ni
%, =
,x 1--> fi(x)
Si est un A-module simple et la surjection canonique
= x est un homomorphisme de A-modules et
= {O}.
lE!
{O} donc Kerf
injection de M dans
= {O},
d'où f est llne
lE!
iE!
f1 S, . Par conséquent
M ~ Imf, Imf étant un sous-module du
ie!
produit de A-modules simples
f1 Si .
;e!
Réciproquement si M est un sous-modules.d'un produit de modules simples
Il Si ' pour
iel
tout x ;f: 0 dans M, il existe un indice i
E
1 tel que Pi(x)
= Xi ;f: O.
Soit g la restriction
de Pi à M, g est un homorphisme de M dans Si tel que g(x);f: 0 donc d'après la
définition 1-2, M est sans radical.
Corollaire /-4 :
Tout module semi-simple est sans radical.
2) Modules artiniens et modules noethériens
Soit A un anneau et M un A-module nous dirons que le module M est artinicn
(resp.noethérien) si toute suite décroissante (resp. croissante) de sous-modules de M est
stationnaire. Le A-module M
noethérien. L'anneau A
noethérien).
est dit de longueur finie si elle est à la fois artinien et
est dit artinien (resp. noethérien) si AA est artinien (resp.
6
Proposition 1-5 : ([25J proposition 1.17 p. 17)
Soit A un anneau et soit 0 --> N ~ M ~ K -->0
une suite exacte de A-modules et d'homorphismes de A-modules. M est artinien (resp.
noethérien) si et seulement si N et K sont ortiniens (re.\jJ. l1oethériem).
Démonstration:
On peut supposer que N est un sous-module de M et que K ::::.
%.
Si M est artinien il en est de même que N car les sous-modules de N sont des sous-
MiN
modules de M. Et
est artinien car la famille des sous-modules de
MiN
est en
bijection avec celle des sous-modules de M qui contiennent N. Cette bijection conserve le
sens de l'inclusion.
Réciproquement si N et
MiN sont artinicns, soit (1) M=Mo:JMl
;;2 .... ;2M i
:JMi+1 ;2...
une suite de sous-modules de M décroissante. Alors il existe un entier no à partir duquel
la suite N
= Mo n
N;2 N n MI :d .....
;;;;?
Nn Mi;;:;? ........ est stationnaire et il existe un
entier m o à partir duquel
Posons q = sup (mo,n o) alors N n Mil
Soit x
E
Mil ; si x
Soit x
E
Mil et x
E
~
N alors x
E
M q et
N +M
ï1v
= N
+M
y{y
Vn
~ q.
M q donc la suite est stationnaire.
N alors la classe de x lnodulo N est un élément de
'
IN = N+M,,/
ïN done ' 1eXIste
N+M n
= Nn
/
1
y
E
M
il
q te que la c asse de x modulo N est égale
à la classe de y modulo N.
-
Donc x - y = 0 d'où x - y
E
N, puisque il appartient déjà à M q alors x -y
N n M q et par conséquent x
E
M q. La démonstration est identique pour le cas noethérien.
E
N n Mn =
7
Corollaire 1-6 : Toute somme directe finie de modules artiniens est artinien.
Démonstration:
La démonstration se fait par récurrence sur n. Soit M
sont artiniens. Pour n
=2
= Ml EB
EB Mn
où les Mi
on a alors une suite exacte:
Il suffit d'appliquer la proposition 1.5.
Proposition J. 7 : ([61 Théorème 4 P. 69)
Pour qu'un module soÎt semi-sÎmple et de longueur finÎ, il faut et sufjit qu'il soit
artinien et sans radical.
Démonstration:
On sait déjà qu'un module semi-simple est sans radical (corollaire 1-4) s'il est de
longueur fini il est alors artinien.
Réciproquement, soit M un module artinien sans radical. Soit R un élément maximal de
l'ensemble des intersections finies de sous-modules maximaux de
module maximal N de M, on a: N
Il
ReR d'où par définition de R, N
par suite R eN. Comme le radical de M est nul, il en résulte que R
une famille finie de sous-modules maximaux
/ f~
~
I>i
%i
n
Il
fi = Pi of et Kerf =
Ker/,
j~1
n
n
1=1
Il
R
SOllS-
=R
ct
= {O}. Il existe donc
Mi (1~ i ~ 0) d'intersection nulle. Soit
alors le diagramme d 'homomorphisme commutatif suivant:
M\
M. Pour tout
(M/M.)
/ i\ 1
s
1/
Or Vi,ls i sn, Kerfj = Mi, donc Kerf=
nKe':f:
.,1
Posons 1) =
Ù( o/M;)
nMI = {O}
fi
=
d'où f est injectif.
io 1
Pest semi-simplc, en tant que produit fini (somme directe
externe) de module simple. P est de longueur finie en tant que produit fini de modules
simples (un module simple est de longueur finie). Comme Pest semi-simple et de
longueur finie il en est de même que M.
Proposition /-8 : ( /6 J proposition 12 p. 71)
Soit A un anneau possédant un idéal bilatère nilpotent 1 tel que 1'1/1 soif artinien de
radical nul (par exemple un anneau ortinien). POl/r tout A-module lU les conditions
suivantes sont équivalentes:
a)
M est de longueurfinie
b)
AI est artinien
c)
M est noethérien.
Démonstration:
On sait d'après la définition d'un module de longueur finie que a)=> b) ct a =>c).
Supposons que M soit artinien (resp. noethérien).
Soit P un entier non nul tel que
i'
=
fOl.
Soit Je A-module MJJM, on sait que M est dl.:
longucur finie si et seulement si .lM et MJJM sont de longueur finie (Proposition 1-5) cl
queC (M) =C (.lM) + C(Mf .lM) ([151 proposition 4-6)
De même .lM est de longueur finie si et seulement si .J2M et .JM/J2M sont de longueur
finie, on poursuit ce raisonnement jusqu'à
.JP-IM
et il sera de longueur finie si et
seulement si JPM et JP-IMfJPM sont de 10r:gueur finie. Par conséquent pour montrer que
M
est de longueur finie, il suffit de démontrer que M/JM, JM/J 2M ........ JP-I M/.J PM
sont de longueur linie. Or ces A-modllles sonl annulés pur J, clone pCllVent être considéré
comme des AIJ-modules. Puisque A/J est semi-simple (Proposition 1-7) alors les
9
A/J-moduks JP-1'Mli'-k+I M 1:Sli.:S P sont semi-simples done sont sans radical (corollaire
1-"'). Deme les A/J-modules J1'-I'M/.t-h-t' M sont de )ongLH:ur finie (proposition 1-7). D'où
M est de longueur finie.
Corollaire /-9 :
Soit A
un anneau artinien. Pour toul A-module M, les conditions suivanles sonl
équivalentes:
a)
M est de longueur jinie
h)
M est artinien et noethérien.
Démonstration:
Puisque A
est artinien, le radical de Jacobson noté
J(A)
est un idéal bilatère
nilpotent. A/.J(A) est artinien puisque A est artinien (proposition 1-5). AJJ(A) est semisimple donc il est de radical nul. Donc d'après proposition 1-8
les équivalences sont
établies. En particulier tout anneau artinien est noethérien.
Proposition /-10 ({3 J proposition 8-7 p. 90;
Toul anneau commutatifartinien A est produit direct fini d'anneaux artiniens locaux
Démonstration:
Soit
fIli
(1:S i:S n) les idéaux maximaux de A. On sait que
nm,
1/
Posons J
=
le radical de Jacobson de A, puisque A est artinien il existe no
E
rN*
1=1
tel que
J
n
(J
k
1/
= {O}. Soit no =){ donc
(car un idéal maximal qui contiendrait
(Qm, J = {O}. Or les m,k sont étranger deux à deux
m~ + m~
(i
=f:.
j) contiendrait mi et mj ce
qUl
lU
Illi
et
Illj
sonl dislincts si i:t j) donc
Il
Ii/,A
/ -=.::1
n"
m, k= {O}, alors l'homomorphisme cp :
A~->
I~l
fI(A/ k)
1=1
/
les
A/ k
lm,
A/
//1/1
k
h =
{O}. Puisque
I-~ 1
est injectif. De même cp
fil,
est sll1jectif car les m,A sont étrangers ( [3] propostion 1.10
isol1lorphismè. Puisque A est artinicn alors
=n///,
Il
J}
contredit le üüt que
P. 7). Donc cp
est un
cst arlinien (Col"OlIain' 1-6), el1 plus
sont des anneaux locaux. Donc A est un produit direct d'anneaux artiniens
locaux.
Proposition /-11 ([15J proposition 4-/2 P. 128)
Un anneau A est artinien si et seulelt/cflf si € (A) est jinie (f (A) est la longueur du
A-module
~.
Dans ce cas tout A-module de type fini est de longueur finie.
Démonstration:
Si A est artinien d'après corollaire 1-9, A est de longueur finie.
Supposons que
f (A) est finie donc A est à la fois artinien et noethérien. Soit M un A-
module de type fini alors M admet un syst0me de n générateurs, donc M est isomorphe ù
un module quotient du module AA n. Puis'lUt; AA est artinien alors AA II est aussi artinien
(Proposition 1-5). Par conséquent M est artinien et d'après le corollaire 1-9, M est de
longueur fini.
Proposition /-12 ([3 J proposition 8.8 P. 81)
Soit A un anneau local, m son idéal maximal et k = A/m son corps résiduel.
Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
i)
Tout idéal de A est principal
ii) L'idéal maximal m est principal
En combinant les théorèmes de Kothe [9] et de Cohen et Kaplansky [7] on obtient le
théorème suivant:
1\
Théorème 1-13 :
Soit A un anneau commutatif. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1)
A est artinien et tout idéal de A est principal
2)
Tout A-module est somme directe de A-modules cycliques.
Proposition 1-14 :
Soit A
un anneau local artinien à .idéaux principaux. L'ensemble des classes
d'isomorphismes des A-modules cycliques est fini.
Démonstration:
Soit M un A-module cyclique alors M
=A/l,lest un idéal de
A. Il suffit pour
prouver la proposition de montrer que lcs idéaux de A sont en nombre fïni. Soit J l'idéal
maximal de A, on a J == aA == <a > ,a EJ, car A est principal. J est aussi nilpotent. De
plus on a : 0:= <ail> c <a ll - 1> c ..... c <a> c A pour un certain n. Montrons que tout
k
idéal de A est de la forme <a > 1 S I{s n.
Soit 1 un idéal de A, 1 == <c> == cA or 1 c J, donc il existe AEA tel que c == I.a.
Si
À
est inversible alors a == À-
1
C
cc qui implique que J == 1 == <u>.
Si A est non inversible alors A EJ et 1.== ap avec PEA, ce qui implique c==a2~.
On reprend le même raisonnement :soit p est inversible dans ce cas 1 == <a 2> ou pest
non inversible et on aura c == a3~. Ainsi il existe k
E
rN , Is k Sn tel gue c == 13a" et
r)
k
est inversible d'où 1 == <a >. Ce gui prouve que tout idéal de A est de la forme <a"> 1S
k
kS n et eomme <a > sont en nombre fini. Donc les idéaux de A sont en nombre fini.
Proposition 1-15 :
Il
Soit A un anneau tel que A ==
TI A,
où les Ai sont des anneaux. Si M est un A-
1=1
module alors M est un Ai-module tel que (out A-endomorphisme f de M est un produit
de Ai-endomorphismes
fi de Mi.
12
Démonstration
Il
Soit A ==
TI A,
pour tout 1 sis n posons:
1=\
Ci ==
(5/)nj=l
== (0,0 ...... 0, 1,0....0)
UJ
t
ième place
ai
<p
)--> (0, 0,
,0,
ah
0
0)
est un isomorphi:,me d'anneaux.
Soit M un A-module, posons
Mi ==
CiM
avec
Ci
EA. Mi est un sous-ensemble de M,
c'est même un sous A-module de M car si aEA et ejm EM j alors
Mi est un ciA-module c'est à dire un Ai-module par le produit suivant:
Si i"j:. j Ci Cj = (0, ....,0)
(1). De plus (1, ...... ,1) =
Cl
+ C2 + .... + Cil == ]
n
Donc m == l.m == Clm + .... cnm. Et d'après (1) M j n
E8 Mi == fOl,
/ 0
,1
Il
M=
EB Mi. On obtient le diagramme commutatif suivant:
1=1
M
f
~
M
1-1
f est un produit de Ai-endomorphisme fi de Mi == ciM
avec i:;tj. D'où
13
3)
Modules injectifs - Modules projectifs:
On rappelle qu'un A-module M est dit injectif (resp. projectif) si tout diagramme de
M
M
A-modules:
-----.~
N
----·~L
r\
(r·csp. L
g
N__
---.~
0)
où f est injectif (resp. surjectif), se prolonge dans un diagramme commutatif de la forme:
A-modules
M
M
0
~
/\
~
h
h
Iii
(resp. l,
L
..1
N
g
~
0)
Proposition 1.16 ([20} P.21-23)
Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes:
a)
M est injectif
b)
M est facteur direct de tout module le contenant
c)
Pour tout idéal à gauche 1 de A et tout homomorphisme f de 1 dans M, il
existe x (: M tel que I(a)
= ax
pour
f01l1
a
t:
1. (Conditioll de Baer)
Un A-module M est dit indécomposables 'il n'existe pas deux sous-modules non nuls MI
et M2 de MIels que M = MI (J) Ml.
On dit qu'une extension E d'un module M esl une extension essentielle de M si pour
tout sous-module N de E, la relation N i l M
M est un sous-module essentiel de
= {O}
implique N
= fOl.
On dira aussi que
E. On appelle enveloppe injective d'un module M
toute extension essentielle injective de M. On sait que tout module admet une enveloppe
injective unique à un isomorphisme près. Si M est un A-module nous noterons E(M)
A1
l'enveloppe injective de M. Soit A
~
idempotent si e-
e.
'm anneau. Un élément
c
de
A
OLI
est dit
1.1
Deux idempotents el et e2 de A sont dits orthogonaux si CIC2 =
C2
CI = O.
Un idempotent e d'un anneau A est dit primitif si e:t:O et si pour tout couple d'idempotents
orthogonaux (e., e2) de A tels que C=
Cl
+ C2 alors c::::
ClOU C
=
C2.
Proposition /-17 :
Soit
un A-module non réduit cl zéro alors les conditiuns suivantes sont
l}f
équivalentes:
J)
M est indécomposable
2)
0 et lM sont les seuls idempotents de EndAM).
3)
1/1/ esl un idempotent primililde ElUf,lM).
Démonstration:
1=> 2) Soit K un facteur direct de M alors il existe un idempotent de EndA(M) tel
que K = cM. Puisque M est indécomposable alors K:::: {O} ou K = M.
Si K={O}=> e=Ojsi K=M=> e=l M car e/K=l K.
2) => 3) évident
3) => 1) Soit K un facteur direct de M. Soit K' un supplémentaire de K dans M ct
e la projection de M sur K suivant K', e est un idempotent de EndA(M), e et hl - c
sont orthogonaux et lM:::: e + (lM - e) donc e = 0 ou e = lM,
Si e = 0 alors K
= Me = {O} ; si
e = lM alors K = Me
= M.
Proposition /-18 ([281 Lemme P. 205)
Soit A un anneau local. Alors les seuls idemputents de A sont 0 el 1.
Démonstration:
Soit e un idempotent de A. Supposons e:t: 0 et
C
:t: 1. Alors la relation e 2 =
C qUI
est équivalente à e(l-c) = 0, entraîne que e et l-c ne sont pas inversibles dans A. Donc les
idéaux Ae et A(1-e) sont différents de A; Comme A est local, A admet un seul idéal
maximal l, et cet idéal contient Ae et A(J-p). D'où CEl et 1-c E I. Donc l=e (l-c E 1.
IS
Ce qui est absurde car 1 est un idéal maximal.
Corollaire /-19 :
Si
EIl("'~(M)
~1 1111
Soit
est local alors M est indécornposable.
module, N un sous-module de NI est dit irréductible s'il
Il
'existe pus de
sous-modules K et L de M distil1cts qui contiennent strictement N tels que N
= [( I Î L.
Proposition /-20 ([25J proposition 2.8 P. 48)
Soit A un anneau et M un A-mou'lIte injectif Alors les conditions suivantes sont
équivalentes:
1)
M est indécomposable
2)
M est non nul et A1 est l'enveloppe injective de chacun de ses sous-modules
non nuls
3)
Le sous-module nul est irréductible.
Démonstration:
1) => 2)
Supposons M
N'
~
O. Soit N lin sous-module non nul de 1\'1, alors M admet lin sous-mod\l!e
qui est l'enveloppe injective de
N. D'après la proposition 1-16
puisque N'est
injectif, il est facteur direct de M. Puisque M est indécomposable donc N' = M.
2) =>3)
Soit Ml ct M2 des sous-modules de M tels que MI Il M 2 =
MI ~{O}
donc
E(M 1) = M
et ainsi M
fOl.
Supposons que
est une extension essentielle de
1\11, par
conséquent M2 = {O}.
3) => 1) Supposons qu'il existe deux sous-modules non nuls MI et M 2 tels que
M
= Ml
E9 M 2• Par conséquent MIll M 2 = {O}. Ce qui est contraire avec l'hypothèse.
Soit A un anneau, M un A-module, x un élément de M. On appelle annulateur de x dans
A et on note Ann(x) = {a
E
Ajax
= 0 }.
16
Proposition /-21 ([16} Proposition 2.4 P. 515)
Soit M un A-module. M est injectifer indécomposable si et seulement si
M
=E(A/
j ),
où J est un idéal irréductifJ/e. Dans ce cas, pour tout x non nul de M, AIIII{-\)
est un idéal à gauche irréductible et M
=E (A/AI/I/(x)).
On rappelle qu'un sous-module N d'un module M est dit superflu dans M
pour tout sous-module L de M, la relation N + L
=M
implique L
SI,
= M.
Soit M un module et soit P un module projectif. On dit que P est une enveloppe
projective de M s'il existe un homomorphisme surjectif f de P sur M tel que Kerf soit
superflu dans P.
On montre que si un module admet une enveloppe projective, alors cette enveloppe
projective est unique à un isomorphisme près. Les enveloppes projectives n'existent pas
toujours. On dit qu'un anneau A est semi-parfait à gauche (resp. parfait) à gauche si tout
A-module à gauche de type fini possède une enveloppe projective (resp. tout A-module à
gauche admet une enveloppe projective). Les propositions suivantes donnent une
caractérisation des anneaux semi-parfaits et parfaits.
Proposition /-22 ([20} Théorème 2-1 P.134)
Soit A
un anneau, J
son radical de Jacobson. Les conditions suivantes sont
équivalentes:
a)
A est semi-parfait à gauche
b)
A est semi-parjàit à droite
c)
A/J est semi-simple et pour tout idempotent
de A tel que
e= x
x de AJJ
il existe un idempotent e
17
Proposition /-23 ({20) P. 130 th. 5)
Soil il
1117
al7neau. Les conditions suij'{tnles sont équivalenles .
0)
A est ]Jarfail
/J)
/.e.\ idfaux ({ droile lIIol/ogtJl/es de A
vérifient la condition de chaÎne
Jescendoille.
i) Le mdintl de ]acobso1l ] de A l'sI T-nilpOlell! cl gClUche.
c)
ii)
d)
j,
'anneou AI] est selili-simpie.
A ne conI ient pas une injinité d' ickmpotents orthogonaux
Un sous-ensemble non vide X d'un anneau A est dit T-nilpotent à gauche si pour toute
suite
(llll)lIdN
ct' éléments de X, il existe
Il,,
c rN tel que a!)~II"""'"li n = O.
o
Un anneau A est parfait si A est sèmi-parfait et vérifie la propriété c) -i) de la propo-
sition 1-23.
Proposition /-24 : ({22/ Théorème 3.9 P. 40)
Soit P un module pn~iectifel f: B - - > P
UII
épimorphisme alors B = Kerft9 P' où
P':: P.
Démonstration:
Soit le diagramme suivant;
.....
p
........
'Y
.
........................
À"
B-----f----l~~ P
Puisque Pest projectif il existe y : P - - > B tel que foy
b
E
B on a: b = (y of) (b) + (b - (yot)(b)). Or ("lof) Cb)
E
= Ip
donc y est injectif. Soit
Im'Y et Imy :: P et
18
f [b - (yot) bl = f(b) -[foy )(f(b) = 0 d'où h - (y ot)(b) E Kerr. De plus Imy {\ Kerf ={O},
car si
x E lm y (\ Kerf on a: x E lm y et x E Kerf; x E lm y
entraîne qu'il existe
Y EP tel que
y (y)
= X; x EKerf entraîne que f(x) = O.
Donc f ly(y)l = f(x) = 0 d'où y = 0 ce ql.Ü entraîne que x=O.
Proposition /-25 :.
Tout module projectifindécomposable vér!fie la propriété (S).
Démonstration:
Soit P un A-module projectif indécomposable et f un endomorphisme surjectif de P.
f: P --> P; d'après la proposition 1-25
P = Kerf
EB P' ou P'
~P
or Pest
indécomposable donc Kerf=O d'où f est injectif.
Propm'itioll /-26 (/26J propositioll /-26 P. 16)
Slir lin anneau semi-pwj'ait lOllf //Iodlile projecli/vérifie la propriété (5).
Propositioll /-27 (/lJ Propositioll /7- /0 P. /96)
Soit A
lm
(alors Rad P
anneau de radical irA) = J Si P est un A-module pro/l'ct!!
= JP.
Corol/aire /-25
(Rad P = radical de P),
(/11
Corol/aire 17 -12 P. /92)
Soif i = J(A). P un A-module cl galr'-"'/ie projeclif' tel que iP est superplu dans P
(exemple si P est de typejini) alors J(EndA(P)) = Hom (P, JP) et
EndlCP/
' / JCEnJ. J CP)):::::'"
E d
n
/D/
A
,\
{1I}!,/
Propositioll /-28 :
Soif M un A-module produit direct de modules H j
Si HOIll A (Hi,H)
= 0, pour tout
seulemenr si pour toU{ j
E
(iJ)
E
0
E
J).
J2 avec i:;é j alors M vér!fie la propriété (S) si et
J, If; vérUie lu ,')!-'opriété (S).
19
Démonstration:
RtSsulte de l'égalité End..\ M =
Il fI/ti/li
JE.!
§4 - LES ANNEAUX A IDENTITES POLYNOMIALES
Définition 1.21 :
Soit A un anneau. On dit que A vérifie une identité polynomiale, s'il existe un
entier
HErN'
et un polynôme P
:F
0 en les variables non commutatives
XI, X2,""
XII
à
coefficients dans le centre C de A tels que. pour tout a" a2,.'" an de A, l'on ait
Si de plus l'un au moins des coefficients de P est inversible dans A on dira que ;\ esl
à identité polynomiale ou tout simplement que A est un P.J. anneau.
}O
CHAPITRE Il
INTRODUCTION
Ce chapitre est divisé en trois parties: une première partie consacrée cl la démonstration
de la proposition 1.2 de W.V. Vasconcelos dans 126J : « Dans un anneau commutatif A tout
A-moùule de type fini vérifie la propriété (S) », Cette démonstration est basée
essentiellement sur le théorème de Cayley Hamilton, Dans la deuxième parlie nous
donnerons un exemple de module qui n'est pas de type fini et qui vérifie la propriété (S). Cet
exemple est tiré de [12J, théorème 8 ùe Kaïdi El Amin et Sangharé Mamadou. Enfin un
exemple de module de type fini qui ne vérifie pas la propriété (S) 12].
1)
Un anneau sur lequel tout A-module M de type fini vérifie la propriété (S)
Théorème 11-1 : (De Cayley Hamilton)
Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini, il == endA(M) et
fEB. Soient {x},....,x n} un système générateurs de M et aU (1
~
i
~ 11
et 1 ~ j
~
n) des
Il
éléments de A tels que f(Xi) =
~ a;jX 1
•
Si peT) est le polynôme Garactéristique de la
};)
matrice a
= (au) 1$ i$l\, l$j s:
1\
alors P(t)
=
0
Démonstration:
Soit A'
=
A[fJ ç B (car un élément de Alfj est de la forme
A' est un anneau commutatif unitaire et l'appiication
$:A'xM-->M
(U,X) 1---> u(x) = U.x
définit une structure de A'-module sur M.
21
L ,.l,x,
x=
{XI, .... ,x ll }
= (ll\h O,
avec
lIi
~ Ici I~I
,~I
1=1
est un système générateurs du.A'-module M.
Posons L' = A'u et soit
CI
LlI,x,
LÀ,ll' (x,)
,~I
donc
1/
1/
1/
Soit x un élément de M alors
TI
:A'u _ _> M
,O);
;c n = (0,
,0, 0,
,11\1).
fI est A'-linéaire et surjectif.
Rcmarquc:
L' = A,II est un A'-module libre dont une base est {CI'
Cl, ..... , Cu}.
1/
f(Xi) = La"x;
1:::; i:::; n.
1=1
Soit cp : L' --> L' l'endomorphisme du A'-module L' dénni par:
cp(Ci)
=[f.C, - Ia'le,],
f E A' ct
Ci
EA,II.
/=1
fIocp : L' --> M'est A'-linéaire,
et On a ,
nI '1' (c,l) ~ n [foC, -
G,e,
ln
est A'-linéaire implique que
/1
Il
TI [cp (ei)] = f.Xi
t
- :Laux/
./=1
= f(Xi) - :La,/x/ = 0
ce qui implique que ITocp
= OB'
/=1
cp : L' -->L' A'-linéaire, il existe cp': L' -->L' tel que cpocp'
=
cp'ocp
= dct cp.h'
1/
cp( Ci)
= f.Ci - Lai) C
J
donc la matrice associe à cp est (8/
f -
3ij IMkj et dct cp
= P(f).
.1=1
Soit x E M, il existe y E L' tel que fI(y) = x,
On a: P(f)(x)
=
dct cp
(TI (y» = TI (det cp(y» =
Cc qui implique P(f) - OB'
fI (cpocp' (y»
=
ITo cp Icp'(y)] = 0
Corof/aire II.i :
Soit A lin anneau commutatif: 1 lin idéal de A et M un A-module de typejini. On
suppose M
= lM, alors il existe
aE 1 tel que (1 +a)x
=0
\7XE
M.
Démonstmtioll :
Il
Soit {x},....,x n } un système générateur de M .Soit f = 11\1 , f(Xi) = Xi =
I>1f
XI' aij
E I.
1=1
n
P(T)= det (T ln - X) = T n + uIT -\ +...+ U n-1T + an
= f~1
+
+ .........+ an.\ + an
a\f1'\
=1+ a
avec
Or P(u)
=0
(1 + a) x
=0
a =
U \
=- 1 +
U \
OÙ
X = (aij) 1~ i ~ n, 1~ j ~n
+.......+ a
+.......+ a n-I + an
E
n.\
+U
Il
1
donc la multiplication par 1 + a est l'endomorphisme nul d'où
"ix
E
M.
Coral/aire II.2 : (Lemme de Nakayama)
un anneau commutatif, 1 un idéal de A
Soit A
Jacobson de
A. alors si M
nécessairement M
contenu dans le radical de
est un A-module de type fini tel que
M = lM, on a
= O.
Démonstration:
D'après le corollaire 11.1, il existe a
est inversible dans A. Soit
or 1 = (1 +a ) - a
E III
E
1 tel que (l + a)x = 0 Vx
a = (1 + a)A: si a *A alors a ç
ce qui est absurde. Donc
{l
=A
l1l
E
M. Or 1 + a
un idéal maximal de A,
,donc x = 0
"ix
E
M. c'est
n
dire M= O.
Corollaire //.3 :
Soit A lin anneau commutatif et M un A-module. Si M est un A-module de type
fini, soitl un endomorphisme surjectifdu A-!JIodule M Alors il existe ft
(1 + ht)(I11)
=0
"im EM.
E
AUJ tel que
Démonstration:
M est un A-module de type fini donc M est un A[ fI module de type fini par le
.,
prodUIt sUivant:
lA[f]XM -+ M
Ju,m) H u(m) == Il.m
).
Posons 1 = (f) un idéal de l'anneau AlfI, 1 == (1) = A[1'I.f, on a donc: l.M = M car
1'.M
= f(M) == M. Alors il existe d'après le corollaire 1l.2
etE 1
tel que (1 +a)(m) == 0 'v'm
EM
a El=> 3h E A[f] : a = hf donc (1 + hf)(m) = 0 'v'm EM.
Proposition lIA :
Soit A
lin anneau commutatif' et M lin A-module de type fini. Soit
f lin
endomorphisme de M surjectifalors f est un isomorphisme.
Démonstration:
D'après le corollaire 11.3, il existe h E A[f) tel que (1+ hf)(m=) = 0 'v'm EM.
Soit m EM tel que f(m) = 0 alors (1 + hf)(m) = 0 => m + hf(m) = 0 => m = O.
2) Exemple d'un module gui vérifie la propriété (S) et qui n'est pas de type fini.
Soit A un anneau commutatif artinien possédant un idéal non principal. On se
propose de montrer qu'il existe un A-module qui n'est pas de type fini et qui vérifie la
propriété (S). Cette construction est due à Kaïdi El Amin Mokhtar et Sangharé
Mamadou (voir 112]).
Puisque A
n
e~t
artinien donc A est un produit. /ïni d'anneaux artiniens locaux. Or on sait que
/1
si A ==
A, alors A est un FGS-anneau si seulement si les Ai sont des FGS-anneaux
,~l
(Chapitre III, proposition 111.8), donc on peut supposer A artinien local. Nous avons
besoin des lemmes suivants:
Lemme II.5. :
Soit A lin anneau artinien local possédant au nloins un idéal non principal. Alors A
admC!t
/111
2
11I111C!1ll1-qllotient B qui est local d 'idJolmaximal J tel que J2 = {O} et tel que J/J
soit un B/J - e.space vectoriel de dimension d~'II:;.
Démonstration:
Soit N l'idéal maximal de A, posons D =
~2 et S =
%2
l'idéal maximal de
D. Puisque A est non principal alors N n'est pas principal (proposition 1.12) dans A. Donc
S est non principal dans D ce qui implique que diInD/S(
%2)
est supérieure ou égale à
deux.
Donc
d'où
;<,2 ::=S ::=
D alors B
i
=
%a EB %b EB K"c'est-à-dire S
=
s~
puisque J2
=
Da E8 DbEB K. Comme K est un idéal de
% est bien défini. Soit J un idéal maximal de B alors J % et
=
=
=
(0),
'ÏJ
2
est lin BI].cspaçç
(0) alors JI1"
V I.li:tori el ,
d'autre parl
J ""
'YK -:::.Da œ Dh .
qui est un B/J-espace vectoriel est de dimension deux
(--;02 =.J = Daffi Db). Donc l'anneau B = D/K répond à la question.
Lemme II. 6 :
Soit A un anneau artinien local possédant un idéal non principal. Alors A admet un
anneau quotient B
2
= e EB be où e est un sous-anneau de
2
où b =t 0 avec a = ab = b = O.
B local d'idéal maximal
ae =t ()
25
Démonstration:
D'après le lemme 11.5, A admet un anneau quotient B local d'idéal maximal
J=xHEebB où x *0 et b *0 avec J2 =
th00r0ml.?s dl.? Cohen
151
o.
Cûmme Il est artinien ct local d'après les deux
il cxisk un sous-anneau C (Ii.? Il. local d'id0al maximal aC *0, t<:\
que B
= C + .J = C + xH
que C
= C + aB,
Ee bB. On peut prendre' x =
bC = bB et que C n bC
li
c8r
li ~C
= {O}, on obtient B =
et x EJ. En remarquant
CEe bC.
D'où le lemme 11.6.
Lemme II. 7 :
Soil C un anneau local d'idéal maxima/lIC
*0
lolal âesfraclions de / 'anneau des polynômes CfxJ el
pOlir
10111
élémenll1l de M pOl'
0-
(m)
= l1XI1l.
Cl
avec ,/
=
O.
POSOJ1S
M / 'anlleall
/e C-endoll1orphisl7le de M défini
Alors:
a) a(5=(52=0
b) Si/esl un C-endomorphisme de M commulant avec
c)
f(ant)
= amf(1)
Tout
C~(Htdomuf'phlJ,'me
Cl ,
alors pour /oulm
E
/vI,
(1)
sw:Jec/(( de
M
cummu/(tf7{
avec
CY
est
/tI1
automorphisme de M.
Démonstration:
Remarquons d'abord qu'un élément
ID
de M est inversible dans M si et seulement
si mg: aM: En effet soit m E aM et supposons que m est inversible dans M c'est-à-dire
qu'il existe m'EM tel que mm' = m'm = 1. Puisque m=aml, où ml E M, on a amlm' = l
2
d'où a mlm'
= a = O. C'est une contradiction car a*O.
Inversement si m g:aM alors
m g: aC (l'idéal maximal) donc m est inversible dans C donc dans M.
a) a
0-
2
2 2
(m) = a xm = 0 Vm EM, et o-(o-(m)) = axo-(m) = ax axm = a x m = 0 Vm EM
donc ~\o-
0-
2
O.
b) Soit fun C-enclomorphisme cie M commutant avec a . soit m un élément quelconquc dc
y1 alors on a: a (l'(m» = ax l'(m) = l'(a (m» = f(axlll) donc quelque soit
III
dans M
f(axm) = axf(m) (2).
Démontrons par récurrence que :\in E f},J* f(axllm) = ax ll f(m).
D'après (2) f(axm) = ax f(m), supposons que l'(axll-1m) = ax ll -I rem). Alors pour tout
n E ft.,J* on a : (3) f(axllm) = f(ax x"·lm) = axf(xll'1m) cI'après (2).
D'autre part ax" f(m) = x(ax ll . l f(m» = x f(axll.lm) = xa f(xll'Im) =ax f(xll.lm) (4).
En combinant (3) et (4) on a : f(ax"m)
tenu
dLll~lit
= ax ll f(m) quelque soit n E t,.f. Il en résulte, compte
que fest C-linéairc que pour tout m'E C[xj et pour tout m EM
f(am'm) = am'f(m).
Soit m EMet m'E C(x] \ a C(x] tel que m.m'EC[x] on a :f(am' .m.l) = am'm f(l).
D'autre part f(am'm) = am'f(m), donc am' f(m) = am'm f(l). Puisque m' EC(x]\aC(x]
alors m'est inversible d'où af(m) = am f(l).
c) Soit g un C-endomorphisme surjectif de M commutant avec a on a:
g(am) = am gel) d'après b), gel) est nécessairement inversible car sinon gel) EaM, c'està-dire il existe m' EM tel que gel) = am' d'où g(am) = amam' = a 2 mm' = 0 \i mEM
donc g(aM) = ag(M) = aM ={O} (g est surjectif) ce qui
est absurde. Donc gel) est
inversible.
Soit 111 un élément de M :
1) Si m EaM alors i l existe m' EM tel que m = am', supposons g(m) = 0,
g(m) = g(am') =am'g(l) = O. Puisque gel) est inversible, alors am' = 0 c'est-à-dire m = O.
2) Si m
~
aM, alors m
7:-
am' \i m' EM donc am
g(am) = ag(m) = amg(1) donc g(am)
7:-
7:-
0 d'où am E aM/{O},
0 d'où g(m) 7:- O. g est donc un automorphisme.
Proposition //-8 :
Si A esl
1111
1/11
o/)neClu arliniel1 local (/(i/llellanl
U/)
idéal non principal, alors il exisle
A-Illodule (lui /) 'esl pOol' de ZllJe ./ini el donl l 'w7I7ea/l des cndoll7oljJhi,\')}/e.\' E
al1l1eau local
d0111
1'idéal lIIaxilllal J esl de
esl
1/1/
(,(II'I"I} 111/1.
Démonstration:
D'après le lemme ll-G on peut supposer que A est de la forme
C est un sous-module de A et a 2 = ah
A
= C EB hC où
= b2 = O.
Considérons l'anneau total des fractions M de l'anneau des polynômes C[xj et soit
l'application de A dans End(M) définie pour tout élément
À
=
Cl
(r
+ pb de A où
a, ~EC par <p (À) = al 1\1 + ~O", 11\1 étant l'application identité de M et
0"
le
C-endomorphisme de M défini dans le lemme 11-7, <p est un homomorphisme d'anneaux
qui confère à M une structure de A-module. SClit f un A-endomorphisme du A-module
M alors f est un C-endomorphisme qui commute avec
0":
En etIet puisque f est un
A-endomorphisme, alors f est un C-endomorphisme (A = C EB bC),
f
(0"
(m» = f(axm)
=
ax f(m)
=
cr (f(m» .
Soit E l'anneau des A-endomorphismes du A-module M et J l'ensemble des éléments
non inversibles de E. Si f
E
J alors
t'(l) est un élément de aM (car f(l) est non
inversible).
Or d'après l'égalité (1) du lelllllle 11-7,
(car f(l) EaM et a 2 =0) donc f(m)
E
pOlir LOlll III
E
M , af(lll) = f(am) = am 1'(1) = 0
aM.
Montrons que J est un idéal de E bilatère:
Soient f et g deux élements de J et h un élément de E. Comme t'CM) ç aM et
ç aM pour tout élément m dans M on a :
(ah t)(m)
= ah
(a tb)(m)
= a f[h(m)] ::: f [ah (m)]=a hem) t'(l = 0
[f(m)J
= hla f(m)J = n f(llI) h(l) =
0
3) Exemple de A-module de type fini gui ne vérifie pas la propriété (S).
Dans
un anneau commutatif tout module de type fini verifie la propriete (8). Dans
l'exemple ci-dessous on a remplacé la propriété de commutativité par la propriété
d'identités polynomiales. Ainsi
011
peut trouver lin A-module de type lini qui ne vérifie pas
la propriété (S) sur un anneau A identités polynomiales. ([2] Exemple 3.1)
Soit Q le groupe des nombres rationnels, c'est un
~-module.
Soit ~poo le groupe commutatif engendré par les éléments non nuls Co, Ch"" Cu,. ....
°
vérifiant pC o = et pour tout i
E
nt pCi = C i- I
~poo est donc un ~-module. Soit M
A
=
q
[s
0] avec q E Q, SE Set
z
Z
où p est un entier naturel premier.
= Q œ221;00,
soit S = Hom~(Q, LZ(loo) et
ELZpoo.
A est un anneau à identités polynomiales, M comme A-module est cyclique et engendré
par (1,0).
Soit f: M ---> M
tel que: mI-l
>
[po
O]m
p
f est un homomorphisme surjectif et f n'est pas injectif, car
30
CHAPITRE III
FGS -ANNEAUX COMMUTATIFS
INTRODUCTION
Il
~st d~
lradition que des
eh~reh~urs sïnlér~ss~nt
ù l'étude de
œrtain~s
classes
d'anneaux caractérisés par une propriété (P).
Dans [7] I.S. COHEN et I. KAPLANSKY étudient les anneaux commutatifs sur
lesquels tout module est somme directe de modules eycliqucs.
Dans [8] D. Z. DJOZOVIC étudie ks anl1eaux sur
ksqu~ls
tout épimorphisme
~st
Lin
isomorphisme.
KAIDI El Amin Mokhtar et SANGBAH.E Mamadou dans [12 ] donnent une
caractérisation des anneaux artiniens à idéaux principaux. Dans [241 M. SANGHARE étudie
quelques classes d'anneaux liées au lemme de FITTING.
FISHER et SNIDER étudient les anneaux A qui sont tels que tout A-module de type
fini vérifie la propriété (S) (resp. (1)) et en donnent plusieurs résultats. On rappelle qu'un
module M sur un anneau A est dit vérifier la propriété (S) (resp. (1)) si tout A-endomorphisme
slujectif (resp. injectif) de M est un automorphisme de M.
Dans le même ordre d'idées dans [4] M. BARRY, CT. GlJEYE et M. SANGHARE:
étudient les FGI-anneaux commutatifs. Un FGI-anneau est un anneau A commutatif sur
lesquels tout A-module qui vérifie la propriété (1) est de type fini.
Partant du résultat bien connu de W. VASCONCELOS : Dans un anneau commutatif
A, tout endomorphisme surjectif d'un A-module M de type fini est un automorphisme, nOlis
étudions dans ce ehapitre les anneaux commutatifs sur lesquels tout module qui vérifie (S) est
de type fini.
~
1
,1,
§1 - FGS - ANNEAUX COMMUTATIFS
Tous les anneaux considérés dans ce paragraphe sont des anneaux commutatifs.
Définition I1Lt :
Soit A un anneau commutatif. On dit quç A est un FGS-anneau commutati f si tOtlt
A-module M qui vérifie (S) est de type fini.
l~xemple
:
Tout anneau semi-simple est un FGS-anneau .. Les anneaux artiniens sur lesquels tout
idéal est principal sont des FGS-anneaux (Proposition 111-12).
Proposition JIJ.2
L'image hOmOn1Olphe d'un FGS-anneau commutatifest un FGS-anneau commutolij'
Démonstration
Soit <p : A ~B un homomorphisme sUl:jectif d'anneaux, tels que A est un FGSanneau commutatif, B est un anneau commutétlir. Soit M un B-module alors cp induit une
structure de A-module sur la structure du groupe additif M par:
AxM~M
(ft, m)
~
ep(ft)m
et l'application de A x M ~M tel que (a, m) I-~ <p(a)m vérifie les axiomes définissant
un A-module. Donc si M est un B-module alors M est un A-module ct tout ll-cndomorphismç
est un A-endomorphisme et inversement. De ce fait on ne peut pas avoir un B-modulc qui
vérifie la propriété (S) et ne soit pas de type fini si A est un FGS-anneau. Donc si A est un
FGS-anncau alors B est aussi un FGS-anneau.
Proposition JIL3
Tout FGS-anneau intègre est un corps.
32
Démonstration
Soit K le corps des fractions de A, donc K = S-I A (A est un FGS-anneau intègre,
S = A - {O} la partie mutiplicative). Considérons le A-module K ; K est un groupe abélien,
l'application A x K ~ K vérifie les axiomes d'un A-module
(a,
b)~
ak.
Montrons que le A-module K vérifie la propriété (S). Soit f
E
End,,(K) tel que f soit
surjective. Démontrons que f est injective c'est-à-dire si f(s-I a ) = () =>
f(l)
=1:-
0 et f(l)
E
K donc
S-I a
S-I a
=0;
= 0 d'où fest injective.
Donc AK vérifie la propriété (S) il en résulte que AK est de type fini, et par conséquent K=A.
Proposition IlIA
Tout idéal premier d'un FGS-anneau commutatifest un idéal maximal.
Démonstration:
Soit P un idéal premier, d'après proposition 11[,2 j'anneau quotient intègre AIP est un
FGS-anneau commutatif donc, d'après la proposition [11.3, AfP est un corps.
Définition:
Un anneau est dit semi-local si AlJ est semi-simple (J le radical de Jacobsoll de A).
Proposition 1II.5
Un FGS-anneau commutatifA possède seulement un nombre }ini d'idéaux maximaux.
Démonstration
Soit L ]' ensemble des idéaux premiers de A.
Montrons que HomA(A/p, A/p') = {O} si P et P' sont deux idéaux premiers distincts.
Soit f: Alp ~ Alp, avec P
=1:-
P', P' =1:- 0,
x/J =
x+p
~
xp ,.
32
f est une application A-linéaire, montrons que f est identiquement nul. A/p est un corps donc
A/p est simple soit f
E
HomA (A/p, A/p') soit f est identiquement nul soit f est un
isomorphisme d'après le lemme SCHUR.
Supposons que f est un isomorphisme, et soit x
On a : Op'
Soit M
Soit f
E
'f-
= E8
f(
pEL
xp) == f(x. Ip) == x f( Ip) =
E
P' - P,
x Il = classe de x module P.
Op' contradiction. Donc f=:= O.
A / p . Montrons que M vérifié la propriété (S).
EndA(M) tel que f est surjective.
Comme AlP vérifie (S) pour tout PE L et que BornA (A/p, A/p.) = (0) si P -;'; P, alors
d'après la proposition I.28, M::= E8 A / P vérifie la propriété (S). Donc M est de type fini
pEL
et par conséquent L est fini.
Soit x un élément d'un anneau A, x t'sl-clit nilpotent lorsqu'il existe un entier n > 0
tel que XII = O. On appelle nil-idéal un idéal dont tous les éléments sont nilpotents.
Proposition 111-6 :
Soit A un FGS anneau commutCllif; J son radical de Jacobson. Alors pour tOllt
idempotent
x
de A/J il existe un idempotent e de A tel que
e =.x.
Démonstration:
Soit
.x
un idempotent de
Ah alors x2 -
X E
J. Puisque A est un FGS anneau
commutatif alors J est un nil-idéal (Tout idéal premier est maximal). Donc il existe
que (x
2
-
xr
Il
> 0 tel
= 0 ; en développant par la formule du binôme on obtient la relation
XII
= XIl+1p(X)
X \1
()2 =x 11+3 px
()3 = ....... =x 211 px
( ) Il .
=x 11+2 px
où p(x) est un pôlynôme en x à coefficients entiers. On en déduit les égalités:
34
L'élément e = x" p(x)" est un idempotent de A :
Dans l'anneau A/J on a les relations:
Proposition III-7 :
Soit A un FGS anneau commutatif; J son radical de Jacobson. Alors AlJ est semisimple.
Démonstration de prop. 111-7 :
D'après la proposition 111-5 A possède un nombre fini d'idéaux maximaux c'est ù
dire J = Il n h n ..... n III = Il
X
Iz x ....
X
III où les li sont les idéaux maximaux de A
pour 1:::; i:::; n. D'où l'isomorphisme d'anneaux
~ ~,
::::
~.
Proposition III-S :
Un FGS anneau commutatifest semi ·!ocal.
Démonstration:
C'est une conséquence de la définition d'un anneau semi-local et de la proposition 111-7.
Proposition III-9 :
Un FGS-anneau commutatilest semi-pCllfait.
Démonstnltion :
La démonstration résulte desproposilions 1-22: 111-6 el 111-7.
Proposition III-JO:
Un FGS anneau commutatifA est somme directe de modules projectif<; locaux et
A
"
= EBAei
où {e, tl est un système orthogonul et complct d'idempotents de A.
,~I
35
Démonstration:
Voir [20j proposition 6.3.4 et [101 prup0sition 18.23.
Proposition [II. If :
Un produit d'anneau Ai (1si Sl1) es!
11I1
FGS-anneau si e! seulement si chaque Ai es!
un FGS-anneau.
Démonstration:
n
Soit A
=:
TI A"
Supposons que Aest un FGS-anneau, comme Ai (ls is n) est
i=l
p~ Ai, d'après proposition IIL2
l'image homomorphe de A par la ième projection A -
Ai est un FGS-anneau en tant que image homomorphe de A. Inversement supposons que
Ai est lin FGS-anneau pour tout i (ls i sn). Soil M un A-module d'après propriété (1.15),
Chapitre 1, M est un Ai-module pour tout i, (ls i sn).
Donc si M vérifie la propriété (S) alors M en tant que Ai-module est de type fini pour tout i.
n
(ls i sn). Puisque A
=TI A, donc M est de type fini
en tant que A-module.
i=l
Proposition IJI.12 :
Tout anneau commutatifar!inien don! fou! idéal A est principal es! un FGS-anneall.
Démonstration:
Soit A un anneau commutatif artinien à idéaux principaux. A est donc un pl'Oduil
directe d'un nombre fini d'anneau local artinien à idéaux principaux (prop. 1.10). On peut
supposer donc A lui-même local artinien et à idéaux principaux puisque d'après proposition
111.13 A est un FGS-anneau si et seulement si Ai (l si s n) est un FGS-anneau. Soit M un Amodule d'après proposition 1.13, M est
où les Mi sont cycliques).
somm~ directe de modules cycliques (M = i~
Mi
36
Supposons que M vérifie la propriété (S) et que M n'est pas de type fini.
Si M n'est de type tini, il existe une infinité dénombrable de facteurs cycliques isomorphes
deux à deux (car l'ensemble des classes d'isomorphismes des A-modules cycliques est fini
proposition 1-14). M:::
EB Mi
où 1 est infini. 1
s'~eril
donc 1::: Ku L avcc Kn L
=
0
d
iEl
K dénombrable. D'où M:::
[$
(.EB MiJ œ
tEK
Ac; :::::..Acj. Considérons <p: [
EB
Mi ,c'cst à dire M:::
tEL
AC n
t1EN
l/ EB
/l('I1Jœ L
et
nEN
J
--? (
EB
AC n
\JlEN
C n \ - - > Cn-l
si n > l
L'homomorphisme <p est surjectif, mais il n'est pas injectif.
Soit h:M - - > M, c + x 1--> <p(~)+ x
h est surjectif mais il n'est pas injectif, donc M ne vérifie pas la propriété (S).
On aboutit à une contradiction. Donc M est Ge, type fini.
Propo~'ifion
III-l J ..
Sur un FGS-anneau commutatifA tout A-module indécomposable projectifest de type
fini.
Démonstration:
Soit P un A-module indécomposable projectif. Alors P vérifie la propriété (S). Donc
puisque A est un FGS-anneau commutatif, P e::;t dc type fini.
Proposition III-14 :
Soit A un FGS-anneau commutatifartinien. Alors tout idéal de A est principal.
Démonstration:
Il résulte de la proposition II-9.
37
Définition II/-15 :
Soit (E,ç) lin ensemble ordonné par l'inclusion. On dit que les salis-ensembles de E
vérifie la condition de chaîne ascendante si tOlite sllite /1 ç /2 ç /] ç
S/(ltionnaire, c'est â dire il existe
Il EtN
tel que /"
...... de E est
= /,,+/.
Proposition ///-16 :
Soit A un FGS anneuu commutati/tel que les annuluteurs des salis-ensembles de A
vérijlent la condition de chaîne ascendante. Alors irA) est nilpotent.
Démonstration:
Montrons que J(A) est T -nilpotent.
Puisque .J(A) est un nil-idéal d'après [201 proposition 2-1-6 J(1\) est T-nilputenl. l)',llllrc
2
part: AnuA(J) c AnnA(J ) c .....
Soit n le plus petit entier tel que AnnA(J II ) = AnnA(J II +1). Supposons que J n'est pas
nilpotent; il existe alors un élément Xl de J tel que JII XI '" {O}, ce qui implique que
On met ainsi en évidence Llne suite
(XII)
d'élément de ,l telle que
XII x X"_I x .... x XI
ne soit
l'as nul pour tout entier n ~ 1. Ce qui contredit la T -nilpotence de .1. Donc.J est nilpotent.
Proposition /II-17 :
Soit A un FGS-anneau
commutat~ftel que
les annulateurs des sous-ensemhles de A
vérifiant la condition de chaîne ascendante. Alors A est artinicl1.
Démonstration:
Soit P un idéal premier de A.
Soit f: P--:> P un endomorphisme de P sLlijectif. Posons M
= EndA(P), M
est un
A-module, puisque A/J est semi-simple ,alors J(A). M = J(M). D'autre part J(A) est
nilpotent donc il existe nErN" tel que JII(M) = O. f surjective implique gue f(P) = P, comme
P '" 0 alors pour nE tN f '" O. On en déduit que f ~ J(M) donc f est inversible.
38
Soit f(x) = 0 et g l'inverse de f alors g(f(x)1 = x = O. Donc f est un automorphisme. Par
conséquent P est de type fini. D'où A est artinicn.
Proposition Ill-lB:
Soit A 1In FGS-(//1I1eall CO/JllJlutotij'te! (!/le Ic,\' ann/llatcurs des ,\'(}/I.I'-Clllelll!JIes dl' .·1
vérilient la condition de chaîne ascendante. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.
j)
A est lin FGS-onneau
2)
A est artinien à idéallx princifHIl/X
Démonstration:
1)
~
2) résulte de la pr'oposition 11I-17 et de la proposition 111-9.
2)
~
1) résulte de la proposition 111-12.
39
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