Caractérisation des anneaux commutatifs pour lesquels les modules

UNIVERSITÉ CHEIKH ANT A DIOP DE DAKAR
rnmm
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
000
DEPARTEMENT DE MATHEMATrQUES ET INFORMATIQUE
(THESE)
Présentée pour obtenir le Grade de Docteur de 3' Cycle
Spécialité :
Mathématiques Pures
Option :
Algèbre
Présenté par:
Soutenue le 21 Mars 1998 devant la commission d'Examen
Président: Ramet SEYDI :Professeur àl'Université ROW ARD Washington
,~IJembrcs : ChérifBADJI :Professeur àl'U.C.A.D.
Mamadoll Makhtar
DIOP: Maître-Assistant à l'D.C.A.D.
Mamadoll
SANGHARE :Chargé d'Enseignement àJ'U.C.A.D.

~ A mon Directeur de recherches Monsieur Mamadou SANGHARE qui est à
l'origine de celte thèse. C'est une grande joie pour moi que de pouvoir lui exprimer ma
:-;incère reconnaissance et ma profonde gratitude pour la bienveillance avec laquelle il
m'a guidé et pour les conseils et les encouragements qu'il m'a prodigués tout au long
de ce travail. J'ai apprécié tout particulièrement sa patience et sa grande disponibilité à
IlIOn égard.
Ô Atoute l'équipe du3
cCycle
d'Algèbre
oAtous les enseignants de la faculté des Sciences qUI ont participé àma
formation.
- ,.
--.

INTRODUCTION 01
Chapitre l , , , , , 03
rntroduction '" , '" '" , '" .. ,03
] 0) _ Modules simples et Modules semi-simples , '" 03
2°) -Modules artiniens et Modules nœttériens , '" 05
3°) -
Modules injectifs -Modules projectifs , 13
4°) -Les anneaux àidentités polynomiales ,19
Chapitre
II 20
Introduction ,.
'" '" '" .. , , '" , , '" 20
1°) -Un anneau
sur lequel tout A-module de type
fini vérifie la propriété
(S) 20
2°) -Exemple
d'un module qui vérifie la propriété (S)
et qui
n'est pas de type fini '" 23
3°) -
Exemple de A-module de type fini qui ne vérifie pas la propriété (S) 29
Chapitre III. " , 30
Introduction
'" , , '" ,30
1°) -F.G.S -
Anneaux Commutatifs .31
BIBLIOGRAPHIE: 39

INTRODUCTION
L'origine de Cl' travail l'st la proposition suivante:
"Soit Aun anneau commutati1~ Mun A-module de type fini, alors tout
endomorphisme surjectif de Mest un isomorphisme ".
Soit Aun anneau non nécessairement c0mmutatif, Mlin A-module; on dit que Mvérifie
la propriété (S) si tout
A-endomorphisme de MsUljectifest un isomorphisme.
Soit Aun
anneau,:5 la classe des A-modules de type fini, 3' la classe de A-modules
vérifiant la propriété (S),
en 1969 W. V. Vasconcelos adémontré que si Aest commutatif
:5 ç 3'. En général cette inclusion est stricte; dans [12] Kaïdi A.M et SANGHARE ont
donné l'exemple d'un module sur un anneau commutatif; qui vérifie (S)
et qui n'est pas de
type fini.
Notre travail est de caractériser les anneaux commutatifs pour lesquels :3 et 3' sont
identiques.
Pour
aborder cette étude nous avons divisé cette thèse en trois chapitres.
Le Chapitrc 1est un rappel de l'l'l'tains résultats classiques, des dé/initions, des notations
que nous utiliserons tout au long ce travail.
Dans
le Chapitre II nous faisons une synthèse de différents résultats que nous avons pu
recueillir d'articles étudiant les modules qui vérifient la
propriété (S). Notamment «on
1initely generated flat modules» de W. V. Vasconcelos; «on injective and sl\ljective •
endomorphisms of tinitely generatcd modules» de Kt>. Armcndariz, Joc W. Fishcl',
Robert L. Snidcr ~ et « lll1e caractérisation des anneaux àidéaux principaux» de Kaïùi RI
Amin Mobhtar et Sangharé Mamadou .

Le Chapitre III esl consacré ù Li car~:~<'r:salioll des FGS-anlleaux cOllllllutali b, CIl
Imontrant d'abord que tout idéal premier d'un td anneau est maximal et que les idéaux
maximaux sont en nombre fini. En suite qu'un tel anneau est semi-parfait. Et enfin sous
certaines conditions on montre qu'un FeS-aIlncau commutatif est artinien.