Correction du devoir de mathématiques no 1

Correction du devoir no 1
Terminale S − spécialité
Correction du devoir de mathématiques no 1
Exercice 1 :
On note q le quotient de la division euclidienne de a par 155. Puisque le reste est 65, on peut écrire
a = 155q + 65.
q étant le quotient de la division euclidienne de a par 161 et 23 le reste, on a a = 161q + 23.
(
a = 155q + 65
On est ramené à résoudre le système
a = 161q + 23
(
(
(
a = 155q + 65
a = 155q + 65
a = 155 × 7 + 65 = 1150
⇐⇒
par soustraction
⇐⇒
a = 161q + 23
0 = 6q − 42
q=7
Ainsi, le nombre a recherché est a = 1150.
Exercice 2 :
Soit n un entier relatif.
1. Si d est un diviseur commun de 2n + 11 et 9n − 13, alors d divise toute combinaison linéaire de 2n + 11 et
9n − 13, en particulier 9(2n + 11) − 2(9n − 13) = 125. Ainsi, d divise 125.
2.
n ≡ . . . (5)
2n + 11 ≡ . . . (5)
9n − 13 ≡ . . . (5)
0
1
2
1
3
1
2
0
0
3
2
4
4
4
3
3. D’après la question précédente, tous les diviseurs communs de 2n + 11 et 9n − 13, sont des diviseurs de 125.
Or, la liste des diviseurs de 125 dans Z est {−125 ; −25 ; −5 ; −1 ; 1 ; 5 ; 25 ; 125}.
Sachant que n n’est pas congru à 2 modulo 5, et en utilisant le tableau précédent, on peut dire que 2n + 11
et 9n − 13 ne sont pas divisibles par 5. Ainsi, les seuls diviseurs communs possibles sont −1 et 1. Les nombres
2n + 11 et 9n − 13 sont donc premiers entre eux pour tout entiers relatifs non congrus à 2 modulo 5.
Exercice 3 :
1. On a 35 = 17 × 2 + 1 et 0 6 1 < 17. Le reste de la division euclidienne de 35 par 17 est 1.
De même, on a 50 = 17 × 2 + 16 et 0 6 16 < 17. Le reste de la division euclidienne de 50 par 17 est 16.
2. D’après la question précédente, 35 ≡ 1 (17) et 50 ≡ 16 ≡ −1 (17).
Ainsi, 8 × 35121 − 12 × 50251 ≡ 8 × 1121 − 12 × (−1)251 ≡ 8 + 12 ≡ 3 (17).
Comme 0 6 3 < 17, le reste dans la division euclidienne par 17 de 8 × 35121 − 12 × 50251 est 3.
Exercice 4 :
1. Par tatônnement, on trouve 23 ≡ 1 (7) et 36 ≡ 1 (7).
2. Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a. On veut montrer que a6 ≡ 1 (7).
a ≡ . . . (7)
0
1
2
3
4
5
6
a6 ≡ . . . (7)
0
1
1
1
1
1
1
Puisque a n’est pas divisible par 7, a ≡
6 0 (7). D’après le tableau, pour tout entier a tels que a 6≡ 0 (7),
6
on a a ≡ 1 (7).
b. On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que ak ≡ 1 (7).
Si on note q le quotient et r le reste de la division euclidienne de 6 par k, on peut écrire 6 = k × q + r avec
06r<k .
En utilisant les congruences, on peut écrire a6 ≡ ak×q+r ≡ ak
Mais a6 ≡ 1 (7) et ak ≡ 1 (7)
Il vient alors 1 ≡
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ar
par définition de l’ordre k .
q
× ar (7).
(7).
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14 novembre 2012
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Par définition de l’ordre, k est le plus petit entier naturel non nul tel que ak ≡ 1 (7). Nécessairement,
r = 0 puisque ar ≡ 1 (7) et r est strictement inférieur à k.
D’où 6 = k × q et k est un diviseur de 6.
c. D’après la question précédente, l’ordre est un diviseur de 6. Il suffit donc de tester l’ordre parmi (1), 2, 3 et
6.
∗ 23 ≡ 1 (7), l’ordre de 2 modulo 7 est 3.
∗ 36 ≡ 1 (7), l’ordre de 3 modulo 7 est 6.
∗ 43 ≡ 1 (7), l’ordre de 4 modulo 7 est 3.
∗ 56 ≡ 1 (7), l’ordre de 5 modulo 7 est 6.
∗ 62 ≡ 1 (7), l’ordre de 6 modulo 7 est 2.
3. À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n + 3n + 4n + 5n + 6n .
On a 2006 = 6 × 334 + 2 et 2006 = 3 × 668 + 2. D’où,
668
∗ 22006 ≡ 23
× 22 ≡ 1668 × 22 ≡ 4 (7) ;
334
∗ 32006 ≡ 36
× 32 ≡ 1334 × 32 ≡ 2 (7) ;
668
∗ 42006 ≡ 43
× 42 ≡ 1668 × 42 ≡ 2 (7) ;
334
× 52 ≡ 1334 × 52 ≡ 4 (7) ;
∗ 52006 ≡ 56
1003
≡ 11003 ≡ 1 (7).
∗ 62006 ≡ 62
On en déduit que A2006 ≡ 4 + 2 + 2 + 4 + 1 (7) c’est-à-dire A2006 ≡ 6 (7)
Bonus :
1. On note n le plus petit entier des cinq entiers consécutifs. Ainsi la somme de ces cinq entiers consécutifs est
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10.
Il est clair que cette somme est divisble par 10 si, et seulement si n est un nombre pair.
La somme de cinq entiers consécutifs est divisible par 10 si, et seulemnt si n est pair.
2. 555 444 333 222 111 = 555 × 1012 + 444 × 109 + 333 × 106 + 222 × 103 + 111
4
3
2
= 5 × 111 × 103 + 4 × 111 × 103 + 3 × 111 × 103 + 2 × 111 × 103 + 111
En remarquant que 103 ≡ 6 ≡ −1 (7) et 111 ≡ 6 ≡ −1 (7).
D’où,
555 444 333 222 111 ≡ 5 × (−1) × (−1)4 + 4 × (−1) × (−1)3 + 3 × (−1) × (−1)2 + 2 × (−1) × (−1) − 1
≡ −5 + 4 − 3 + 2 − 1 ≡ 4 (7)
Le reste de 555 444 333 222 111 dans la division euclidienne par 7 est 4 (0 6 4 < 7).
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