Probabilités Statistiques

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Automne 2006
Responsable d Rémy Garandel
( m.-el. [e-mail] )

SQ-20 Probabilités - Statistiques
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Bibliographie:
Titre Auteur(s) Editions Localisation Niveau
Introduction à la statistique Amzallag, Piccioli, Bry Hermann Bib. ENI
Probabilités et statistiques Coll FLASH U A. Colin B.M. Belfort n°519 07 REA + −
Initiation pratique à la statistique A. Liorzou Gauthier Villars Bibl ENI
Probabilités et Statistiques appliquées Lacaze, Mailhes, … Cépaduès Bibl Utbm Sév. n° QA 273 Pro + puis ++
Statistiques et probabilités J. P. Lecoutre Dunod Bibl Utbm Sévenans +
Niveaux des livres : - très (trop) facile, + niveau de SQ 20, ++ pour des prolongements, +++ : compétition
Quelques livres intéressants, instructifs ou réjouissants (propriétés ne s’excluant pas) :
Etienne Klein : L’atome au pied du mur Ed. Le Pommier
Des nouvelles à caractère historique et scientifique écrites avec humour. De quoi ensoleiller les journées moroses
J. Paul Delahaye Jeux mathématiques et mathématiques des jeux Bibliothèque Pour la Science
Etude probabiliste des jeux de hasard à partir de situations plus ou moins simples
Ch. Ruhla La physique du hasard Ed. Hachette Bibl. Municipale Belfort n° 530 13 RUH
Survol chronologique des phénomènes aléatoires en physique, difficulté croissante au cours des chapitres
J. Merlino Les jargonautes B. M. Belfort Petite étude humoristique sur le langage actuel
Simon Singh Histoire des codes secrets Intéressera tous les mathématiciens
Ce cours a été enseigné à l’UTBM, Université de Technologie de Belfort-Montbéliard depuis la
création de cette université de Technologie, c’est-à-dire septembre 1999. Il correspond à l’Unité de Va-
leur SQ 20 Probabilités et Statistiques, dans laquelle le volume horaire était de 32 heures de cours et 28
heures de Travaux Dirigés.
Remarques préliminaires :
Ce document comprend plus d’exercices qu’il est possible d’en faire pendant les séances de TD. Le
but en est multiple. D’abord d’avoir une certaine variété dans les différents groupes et ensuite de per-
mettre aux étudiants qui le souhaitent de faire les exercices qui n’auront pas été traités dans leurs séan-
ces de TD. On peut toujours demander des éléments de solution aux enseignants, ou à des étudiants des
autres groupes qui les ont peut-être résolus.
Certains exercices sont notés * , ** ou ***. Ils correspondent à des exercices demandant une certaine
recherche dans le raisonnement, ou à ceux qui dépassent le programme de l’UV, mais pas les capacités
intellectuelles des étudiants brillants. Mais ne le sont-ils pas tous ?

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Chap.1 Espaces Probabilisés
-I- Introduction:
1°) Le hasard
Le calcul des probabilités est l’étude des phénomènes aléatoires, du mot latin alea = hasard. Cette
notion n’est d’ailleurs pas très facile à cerner. Ce qu’on nomme hasard peut être dû simplement à un
phénomène qu’on maîtrise mal, ou dont on ne connaît pas les causes.
Il y a quelques millénaires, l’apparition d’une éclipse pouvait être considérée comme un phénomène
relevant du hasard alors qu’après la découverte des lois de la gravité et de l’orbite des objets célestes du
système solaire, il devient un phénomène entièrement déterminé.
De même le lancer d’une pièce de monnaie, exemple même du phénomène aléatoire, n’a rien de ha-
sardeux à condition de connaître avec précision tous les paramètres du mouvement. Dès que la pièce est
lancée, son trajet est entièrement déterminé, ainsi que le résultat du lancer.
Alors, le hasard ? Existe-t-il vraiment, ou est-il simplement une mesure de notre incompétence ?
On peut considérer le monde comme un environnement totalement déterminé, tendance Laplace, ou
au contraire, considérer qu’il existe une part incompressible de hasard, (Cf. le principe d’incertitude de
Heisenberg) dans laquelle on peut loger un espace de liberté.
2°) Probabilités objectives et subjectives :
Avant de définir la probabilité, il est nécessaire de considérer la notion de fréquence.
Soit une expérience à deux issues, succès et échec, qui est répétée n fois dans les mêmes conditions.
La fréquence de succès s’écrit fnombre de succès
n
n=.
On peut ainsi définir la probabilité de succès d’une expérience aléatoire par pfp
nn
=∈
→∞
lim ,01, le
problème étant que cette probabilité ne peut être connue qu’après une infinité d’expériences.
Dans certains cas, il est possible de contourner cette difficulté par des considérations géométriques.
Par exemple, pour le lancer d’un dé cubique parfaitement équilibré (mais l’est-il parfaitement ?), à cha-
que face on peut attribuer la probabilité 1/6.
La définition de la probabilité d’un événement ainsi donnée peut être appelée probabilité objective.
Une autre définition, beaucoup plus floue, celle de la probabilité subjective, serait « combien un
joueur serait prêt à parier sur un résultat ? »
Par exemple, on demande à un étudiant d’évaluer ses chances de succès à un examen, c’est-à-dire sa probabilité de ré-
ussite p∈[0, +1]. Puis on lui propose l’expérience suivante : faire tourner une aiguille sur un axe situé au dessus d’un dis-
que dont un secteur d’angle θ est blanc, le reste étant coloré. Après rotation de l’aiguille, si elle s’arrête sur le secteur
blanc, on lui donne son examen, sinon … Puis on lui donne le choix, passer effectivement l’examen ou laisser l’aiguille,
donc laisser le hasard décider. En fonction de l’angle θ l’étudiant choisira l’une ou l’autre solution, ce qui permettra
d’évaluer sa probabilité subjective p.
Pour terminer cette introduction, il faudrait préciser que le Calcul des Probabilités n’est pas qu’un
amusement de mathématicien. Il est utilisé dans des domaines aussi divers que la fiabilité, les assuran-
ces, la gestion des stocks ou des sièges mis à la vente par les compagnies aériennes, la vitesse des
conducteurs (y a-t-il un radar sur ma route ?) et bien sûr les jeux de hasard (Cf. les bénéfices de la Fran-
çaise des Jeux). Sans le calcul des probabilités les compagnies d’assurances seraient ingérables, ou avec
des primes dissuasives, et les compagnies aériennes ne pratiqueraient pas la surréservation, qui peut
avoir ses avantages pour certains passagers.
Il est intéressant, par exemple en séance de TD, de pratiquer des expériences pour vérifier
l’adéquation entre la théorie (calculs effectifs) et la pratique (observation).

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-II- Algèbre d’événements
Dans ce cours, nous allons utiliser des probabilités sur R ou des sous-ensembles de R. En fonction de
la nature de ces sous-ensembles, ensembles discrets, intervalles, etc., les méthodes de calcul seront dif-
férentes. Un peu plus loin, nous prolongerons l’étude sur des parties de Rn.
1°) Sous-ensembles de R :
a) Ensemble finis:
Définition : On dira que Ω⊂R est un ensemble fini s’il existe un entier n∈N, qu’on note Card(Ω),
cardinal de Ω, et une bijection de Ω dans {1, 2, ... , n}.
Quelques exemples d’ensembles finis :
• les ensembles de la forme {1, 2, ... , n} n∈N* bien sûr, mais aussi l’ensemble vide ∅
• L’ensemble des étudiants de première année dans une Université
Sur les ensembles finis s’applique toute l’analyse combinatoire, c’est à dire les dénombrements.
b) Ensembles dénombrables:
Définition : On dira que Ω⊂R est un ensemble dénombrable s’il existe une bijection de Ω dans N.
Par prolongement, on a les ensembles dénombrables au sens strict, qui correspondent à la définition
ci-dessus, ou les ensembles dénombrables au sens large qui sont finis ou dénombrables.
(On peut aussi définir un ensemble dénombrable au sens large en disant qu’il existe une application injective de Ω dans
N, mais cette définition ne fait pas la différence entre les ensembles finis et les ensembles infinis, différence qui sera utilisée
pour certaines notions, moments d’une variable aléatoire par exemple, page 16)
Quelques exemples d’ensemble dénombrables, en dehors de N :
Z (ensemble des entiers relatifs), Q (ensemble des fractions rationnelles), tout ensemble de points
isolés dans R1. Par contre un intervalle ouvert de R n’est pas dénombrable (démonstration par le procé-
dé diagonal de Cantor) .
De plus, tout sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable (au sens large).
Un ensemble de points isolés sera appelé un ensemble discret.
c) Les autres:
Parmi les autres ensembles, qui ne font donc pas partie des ensembles ci-dessus, une place
prépondérente sera accordée à des ensembles dits continus, c’est à dire constitués d’intervalles non
réduits à un point de R ou d’une réunion de ce type d’intervalles.
Ces ensembles ne constituent pas l’intégralité des ensembles utilisés dans la théorie des probabilités,
loin delà, mais, pour la plupart des autres, il est nécessaire d’utiliser la théorie de la mesure, ce qui
dépasse largement le cadre de ce cours.
2°) Dénombrements :
L’analyse combinatoire est l’étude des dénombrements sur les ensembles finis. Il est des méthodes
qu’il est bon de connaître pour résoudre certains problèmes de probabilités. L’étude des bases de
l’analyse combinatoire ayant été faite dans le secondaire, nous ne ferons que de brefs rappels, pour les
démonstrations, voir le cours de terminale.
a) Nombre de parties d’un ensemble
Soit un ensemble fini Ω de cardinal n, on montre par récurrence que le nombre de sous-ensembles
(parties) de Ω est Card(P(Ω)) = 2n. Cette relation est aussi vérifiée pour n = 0.
b) Permutations :
Une permutation sur un ensemble fini Ω de cardinal n, est une bijection de Ω sur lui-même. On peut,
moyennant une bijection sur En={1, 2, . . . ,n} pour n entier naturel non nul, compter le nombre de per-
mutations sur En.
1 Un point x d’un sous-ensemble E de R est dit isolé dans E s’il existe un voisinage de x ne contenant aucun autre élé-
ment de E.

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On montre par récurrence que le nombre de permutations sur En est n ! = 1×2×. . . ×n . Par convention
on attribue la valeur 1 à 0!.
c) Arrangements
Un arrangement est une application injective de Ep={1, 2, . . . ,p} dans En={1, 2, . . . ,n}. C’est aussi
un tirage successif et sans remise de p éléments ordonnés dans un ensemble de n éléments.
Une telle application n’existe que si p ≤n, et d’ailleurs si p = n on est ramené au cas précédent.
Le nombre d’arrangements est noté An
np si n p et A
n
p
n
p
n
p
et on montre que A sinon=−≥=
!
()! 0
(on le note aussi P(n, p), cette notation, plus simple pour les typographes, est souvent utilisée sur les
calculatrices).
d) Combinaisons
Une combinaison est un tirage simultané de p éléments dans un ensemble de n éléments. Contraire-
ment aux permutations, on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel ces éléments sont tirés. A chaque
combinaison de p éléments, on peut donc associer p ! permutations différentes, ce qui nous donne
l’expression du nombre de combinaisons : Cn
p
A
p
n
pn p
n
pn
p
=
F
H
G
I
K
J== −!
!
!( )! . Suivant les sources on trouvera
les deux notations. Historiquement, la première a été utilisée par les français, pour bien noter le C de
combinaison, alors que la seconde se trouve dans la littérature anglo-saxonne.
On peut, à titre d’exercice en déduire la formule du binôme de Newton :
∀∈ ∀ ∈ + = −
=
∑
nN ab R ab Cab
n
n
kknk
k
n
,(,) 2
0
bg ainsi que le cas particulier où a + b = 1, bien utile
pour les probabilités discrètes.
On conviendra que C et A
n
p
n
p
==0 0 dans le cas p > n.
3°) Exemples de dénombrements :
a) Planche de Galton :
Soit une planche inclinée munie de clous suivant la disposition ci-contre,
n+1 lignes numérotées de 0 à n. On lance une bille sur le premier clou, et elle
se dirige à droite ou à gauche pour arriver à un autre clou et ainsi de suite jus-
qu’aux numéros de bas de grille.
Pour un numéro k∈{0, …, n}, la trajectoire peut se coder suivant une suite (x1, …, xn) où xk =0 ou 1
suivant que la bille va à droite ou à gauche, avec k fois 1 et (n−k) fois 0 . On choisit donc k rangs de la
suite parmi les n auxquels on associe le résultat 1. On a donc Cn
k chemins différents pour se rendre à la
case k.
Cet exemple est assez riche pour qu’on puisse reconstruire les formules sur les combinaisons, en par-
ticulier le triangle de Pascal.
4°) Tribus d’événements :
On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble Ω est l’ensemble de tous les résultats ω pos-
sibles. Une partie A de Ω est appelée un événement. Si le résultat ω est dans A, on dira que l’événement
A est réalisé.
L’objectif du calcul des probabilités est d’évaluer les chances de réalisation d’un événement. Il s’agit
donc, si possible, d’attribuer une probabilité à un sous-ensemble de Ω, comme on attribue une aire à une
surface.
Une partie A de P(Ω) = ensemble de toutes les parties de Ω , est une algèbre d’événements si A est
stable par les opérations booléennes usuelles, intersection finie, complémentarité et si elle contient Ω.
Du fait que A est stable par intersection et complémentarité, elle est nécessairement stable par réunion,
et de plus, contenant Ω, elle contient aussi ∅.