Chapitre V Matrices

Chapitre V
Matrices
1 Révisions
a) Généralités
Définitions. Soient m,net un corps commutatif. Une matrice de type m,nà coefficients dans est
un tableau de mn éléments de à m lignes et n colonnes, que l’on note :
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
. . . . . . .
am,1 am,2 . . . am,n
ou, en abrégé, aij . Dans la notation abrégée, ai,jdésigne l’élément (ou coefficient) de la iième ligne et la jième
colonne. L’ensemble des matrices à mlignes et ncolonnes est noté Mm,n.
Définitions. Une matrice de type n,na le même nombre de lignes et de colonnes. Elle est dite carrée
d’ordre n. L’ensemble des matrices carrées d’ordre nest noté Mn. Si A aij Mn, alors on dit que
Aest diagonale si l’on a aij 0 dès que i j, qu’elle est triangulaire supérieure si l’on a aij 0 dès que i j,
et qu’elle est triangulaire inférieure si l’on a aij 0 dès que i j.
Définition. Une matrice à une seule ligne s’appelle un vecteur-ligne, et une matrice à une seule colonne
s’appelle un vecteur-colonne.
Sur l’ensemble Mm,non définit les lois suivantes :
– une addition entre matrices de même type : si aij ,bij Mm,n, alors
aij bij aij bij .
–multiplication d’une matrice par un scalaire : si aij Mm,net λ, alors
λaij λaij .
–produit d’une matrice A aij de type m,ket une matrice B bij de type k,n:
AB cij , où ci,jai1b1jaikbkj
k
r1
airbrj.
Remarques.
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CHAPITRE V. MATRICES 33
(a) Le produit AB ne peut s’effectuer que si le nombre de colonnes de Aest égale au nombre de lignes de
B.
(b) On peut avoir AB 0 sans que Aou Bsoient nulles.
(c) En général, on ne peut pas ‘simplifier’ à gauche ou à droite : si AB AC ou BA CA, on n’a pas
forcément B C.
(d) Lorsqu’elle est définie, le produit des matrices n’est pas commutatif en général : AB BA. Mais il est
associatif, et distributif à gauche et à droite par rapport à l’addition.
Proposition 46. Munis des lois d’addition et de multiplication matricielle, Mnest un anneau unitaire
non commutatif. L’élément neutre pour l’addition est la matrice nulle ; celui de la multiplication est la matrice
identique de Mn, notée In
1 0 ... ... 0
0 1 0 ... 0
0...1...0
0 ... ......0
0 ... ... 0 1
.
Proposition 47. Muni des deux premières lois, Mm,nest un espace vectoriel sur de dimension finie, et
dim Mm,nmn. En particulier, Mm,nest isomorphe (en tant que -espace vectoriel) à mn. Le vecteur
nul est la matrice nulle, et l’opposé de la matrice A aij est A aij .
Remarque. Pour tout i1, . . . , met j1, . . . , n, soit Ei,jMm,nla matrice dont tous les éléments
sont nuls sauf celui à l’intersection de la iième ligne et de la jième colonne qui est égal à 1. Toute matrice
A ai,jMm,ns’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des Ei,j:
A
m
i1
n
j1
ai,jEi,j.
Les mn matrices Ei,j1i m, 1 j n forment une base de Mm,n, appelée base canonique de Mm,n.
b) Transposée
Définition. Soit A aij Mm,n. On appelle transposée de Ala matrice B bij de Mn,mdéfinie
par : bij aji. Cette matrice est notée tA.
Définition. Soit A aij Mnune matrice carrée. On dit que Aest une matrice symétrique (resp.
antisymétrique) si tA A (resp. tA A).
Exemple. Dans Mn, toute matrice diagonale est symétrique.
Proposition 48 (Propriétés de la transposée).
(a) Soient A,BMm,net λ. Alors on a :
(i) t tA A, tλAλtA et tA B tAtB.

CHAPITRE V. MATRICES 34
(ii) Si C Mm,p, alors tAC t CtA.
(b) L’ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) est un sous-espace vectoriel de Mn, de di-
mension n n 1
2(resp. n n 1 2).
c) Inverse
Définition. Soit AMnune matrice carrée. On dit que la matrice Aest inversible s’il existe une matrice
BMntelle que AB BA In. La matrice Best dite inverse de A, et est notée A1.
Théorème 49 (Propriétés de l’inverse).On se place dans Mn.
(a) Soit A Mn. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) A est une matrice inversible.
(ii) A est une matrice inversible à gauche (il existe B Mntelle que BA In).
(iii) A est une matrice inversible à droite (il existe B Mntelle que AB In).
(b) Soit A une matrice inversible. Alors l’inverse A 1Mnde A est unique et inversible, et A 1 1 A.
(c) Si A,BMnsont inversibles, alors AB est inversible, et AB 1B1A1.
(d) Si A est inversible, alors tA est inversible, et tA1tA1.
Définition. Muni de la multiplication, l’ensemble des matrices inversibles de Mnest un groupe. Il se
note GL n, et s’appelle groupe linéaire.
d) Matrice d’une application linéaire
Définition. Soient Eet Fdeux -espace vectoriels de dimension finie net mrespectivement. Soient B
ei1i n une base de E,Cfj1j m une base de F, et fune application linéaire de Edans F. Alors
f e1, . . . , f ens’écrivent de manière unique sous la forme :
f e1a1,1 f1am,1 fm
f e2a1,2 f1am,2 fm
.
.
.
f ena1,nf1am,nfm,
ou encore f ej
m
i1
ai,jfipour j1, . . . , n.
La matrice (representative) de f dans les bases Bet C, notée Mat f;B,C, est la matrice appartenant à Mm,n
dont les coefficients de la jième colonne sont les coordonnées du vecteur f ejdans la base Cfi1i m,
c’est-à-dire :
Mat f;B,C
f e1f e2. . . f en
f1a1,1 a1,2 . . . a1,n
f2a2,1 a2,2 . . . a2,n
.
.
..
.
..
.
.
fmam,1 am,2 . . . am,n
.

CHAPITRE V. MATRICES 35
Si F E, alors fest un endomorphisme, et l’on peut choisir la même base Bdans Econsidéré comme
espace de départ et d’arrivée. Dans ce cas, Mat f;B,B Mn, et l’on notera cette matrice Mat f;B.
Définition. Soient Eun espace vectoriel de dimension finie net Bei1i n une base de E. Soient x E,
et x1, . . . , xnles coordonnées de xdans la base B(donc x x1e1xnen). On écrira Mat x;B
x1
.
.
.
xn
Mn,1 , et on dira que X est la matrice de x dans la base B.
Proposition 50. Soient E,F deux -espace vectoriels de dimension n,m respectivement. Soient Bune base de
E et Cune base de F. Alors :
(a) l’application de LE,F dans Mm,nqui à une application f associe Mat f ;B,Cest un isomorphisme
d’espaces vectoriels. En particulier, dim LE,F mn.
(b) l’application de E dans nqui à x E associe Mat x;Best un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Théorème 51. Soient E,F des -espace vectoriels de dimension finie, Bune base de E, Cune base de F,
f:E F une application linéaire, et A Mat f ;B,C.
(a) Si x E, soient X Mat x;Bet Y Mat f x ;C. Alors :
AX Y.
(b) Si G est un -espace vectoriel de dimension finie, Dest une base de G, et g :F G est une application
linéaire, alors
C BA,
où B Mat g;C,Det C Mat g f ;B,D.
(c) L’application f est bijective si et seulement si Mat f ;B,Cest inversible. Ceci étant, Mat f ;B,C1
Mat f 1;C,B.
e) Changement de bases
La matrice qui représente une application linéaire a été construite par rapport à un choix de bases
dans l’espace de départ et l’espace d’arrivée. Nous allons voir comment sont reliées deux matrices qui
représentent la même application linéaire dans des bases différentes.
Définition. Soient Eun -espace vectoriel de dimension n,Be1, . . . , enet Be1, . . . , endeux bases
de E. On appelle matrice de passage de la base Bà la base Bla matrice
Pass B,BMat IdE;B,B
La matrice Pass B,Best donc la matrice dont la jième colonne est formée des coordonnées de ejdans la
base B.
Remarque. Si Qest la matrice de passage de la base Bà la base B, alors QP Mat IdE;B,BIn, donc
Pest inversible, et P1Q.

CHAPITRE V. MATRICES 36
Théorème 52 (action de changement de base : coordonnées).Soient E un -espace vectoriel de dimension
n, et Bet Bdeux bases de E. Soient x E, X Mat x;B, X Mat x;Bet P Pass B,B. Alors
X PX .
Théorème 53 (action de changement de base : applications).Soient E,F des -espace vectoriels de di-
mension finie, f LE,F , Bet Bdeux bases de E, et Cet Cdeux bases de F. Soient A Mat f ;B,C,
A Mat f ;B,C, P Pass B,Bet Q Pass C,C. Alors
A Q 1AP.
Ceci se voit schématiquement :
E
BP
IdE!!E
BA
f
!!F
CQ1
IdF!!F
C.
En particulier, si f:E E est un endomorphisme, B,Bsont deux bases de E,AMat f;B,
AMat f;B, et PPass B,B, on a :
A P 1AP.
Ceci motive les définitions suivantes :
Définitions.
(a) Deux matrices A,AMm,nsont dites équivalentes s’il existe QGL m, et PGL n, telles
que A Q 1AP.
(b) Deux matrices A,AMnsont dites semblables s’il existe PGL n, telles que A P 1AP.
Remarques.
(a) La relation « être equivalente à » est une relation d’équivalence dans Mm,n.
(b) Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans
des bases différentes.
(c) La relation « être semblable à » est une relation d’équivalence dans Mn.
(d) Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.
(e) Deux matrices semblables sont équivalentes. Mais la réciproque n’est pas vraie.
f) Rang d’une matrice
Nous avons déjà défini le rang d’une application linéaire f:E F au Chapitre IV comme rg f
dim Im f. Si e1, . . . , enest une base de E, rg fdim Vect f e1, . . . , f en.
Définition. Soit A aij Mm,n. Soient ck
a1k
.
.
.
amk
m, 1 k n, les vecteurs-colonnes de A.
On pose rg A,le rang de A, égal au nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes considérées
comme éléments de l’espace vectoriel m, autrement dit,
rg Adim Vect c1, . . . , cn.