poly - Université de Rennes 1

ALGÈBRE ET ARITHMÉTIQUE 1

Cours de l’Université de Rennes 1 (2014–2015).
Url : http://perso.univ-rennes1.fr/christophe.mourougane/enseignements/
Ce texte est une version légèrement modifiée du poly 2009–2010 du module AR1, par David
Bourqui, sur la base de textes antérieurs de Christophe Mourougane et Antoine Chambert-Loir.
Que ces auteurs soient ici remerciés.
Septembre 2014

ALGÈBRE ET ARITHMÉTIQUE 1

TABLE DES MATIÈRES
Partie I. Logique, théorie des ensembles, nombres entiers naturels.............. 1
1. Logique et théorie des ensembles................................................... 3
1.1. Un peu de logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Un peu de théorie des ensembles.................................................... 7
2. Les entiers naturels.................................................................. 13
2.1. Les opérations élémentaires sur N................................................... 14
2.2. Le principe de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Quelques démonstrations par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. La relation d’ordre sur N........................................................... 15
2.5. Un peu d’histoire.................................................................... 18
2.6. Ensembles finis, cardinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Partie II. Arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. La division euclidienne............................................................... 29
3.1. Construction des entiers relatifs..................................................... 30
3.2. Le théorème de la division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Numération......................................................................... 33
3.4. Divisibilité, congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5. Plus grand diviseur commun, algorithme d’Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6. Plus petit multiple commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Les nombres premiers................................................................ 43
4.1. Nombres premiers, crible d’Ératosthène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Factorisation........................................................................ 44
4.3. Petit théorème de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Combien y a-t-il de nombres premiers ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Congruences.......................................................................... 49
5.1. Équations (du premier degré) aux congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Théorème chinois, système de congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. Équations polynomiales modulo 𝑝................................................... 55
5.4. Théorème d’Euler, ordre multiplicatif, cryptographie RSA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Partie III. Pour aller plus loin........................................................ 65
Probabilités.............................................................................. 66