Fichier `CoursPE1Vekemans`

Support de cours de préparation au concours de Professeur
des Ecoles
Denis Vekemans 1
1Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ;
France

Table des matières
1 Introduction 3
1.1 Une brève présentation de l’épreuve du concours ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Auto-promo... ..................................................... 4
2 Les nombres 7
2.1 Arithmétique dans l’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Multiples .................................................... 7
2.1.3 Diviseurs .................................................... 8
2.1.4 Divisioneuclidienne .............................................. 9
2.1.5 Lesnombrespremiers ............................................. 11
2.1.6 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.7 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Principes de numération dans l’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Les techniques opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Les critères de divisibilité dans la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Lesensemblesdenombres............................................... 21
2.3.1 Laloiinterne.................................................. 21
2.3.2 Laloiassociative................................................ 21
2.3.3 L’élémentneutre ................................................ 21
2.3.4 L’élémentsymétrique ............................................. 22
2.3.5 Laloicommutative............................................... 22
2.3.6 Ladistributivité ................................................ 22
2.3.7 Ensemblesdenombres............................................. 22
2.3.8 Le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 La géométrie 25
3.1 Lagéométrieplane................................................... 25
3.1.1 Droites, demi-droites, segments (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Droites perpendiculaires, droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Médiatrices ................................................... 26
3.1.4 Cercles(définitions) .............................................. 27
3.1.5 Angles(définitions)............................................... 28
3.1.6 Anglesetdroites ................................................ 29
3.1.7 Bissectrices ................................................... 30
3.1.8 Anglesetcercles ................................................ 30
3.1.9 Polygones..................................................... 33
3.2 Les théorèmes de Thalès et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 LethéorèmedeThalès............................................. 42
1

3.2.2 LethéorèmedePythagore........................................... 44
3.3 Lestransformations .................................................. 49
3.3.1 Lestranslations................................................. 49
3.3.2 Lesrotations .................................................. 50
3.3.3 Les symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.4 Lesisométries.................................................. 51
3.3.5 Leshomothéties ................................................ 51
3.3.6 Les triangles et les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Lagéométriedansl’espace............................................... 57
3.4.1 Droites et plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Lespolyèdres.................................................. 58
3.4.3 D’autres figures dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.4 Différents modes de représentation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 La proportionnalité et les fonctions 68
4.1 Les propriétés relatives à la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Les fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A Logique 76
A.1 Levraioufaux ..................................................... 76
A.2 Lesopérateurslogiques ................................................ 76
A.3 Plusieurs types de démonstrations usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.4 "Ilfaut"et"Ilsuffit".................................................. 77
B Mesures 79
B.1 Introduction....................................................... 79
B.2 Longueur,aireetvolume................................................ 79
B.2.1 Surladroite .................................................. 79
B.2.2 Surleplan ................................................... 80
B.2.3 Dansl’espace.................................................. 80
C Aires et volumes 81
C.1 Aire ........................................................... 81
C.2 Volume ......................................................... 81
D Approximation 82
D.1 Valeurapprochée.................................................... 82
D.2 Valeur approchée par troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
D.3 Valeur approchée par défaut ou par excès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
D.3.1 UNE....................................................... 82
D.3.2 LA........................................................ 83
D.4 Valeurarrondie..................................................... 83
E Problèmes algébriques 85
E.1 Equationslinéaires................................................... 85
E.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
E.2.1 Equations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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Chapitre 1
Introduction
1.1 Une brève présentation de l’épreuve du concours ...
Epreuve écrite de mathématiques.
Le candidat doit résoudre trois ou quatre exercices, puis répondre à une ou deux questions complé-
mentaires sur la mise en oeuvre en situation d’enseignement d’une ou plusieurs notions abordées dans
l’énoncé.
Durée de l’épreuve : 3 heures. Coefficient : 3.
L’épreuve est notée sur 20 : 12 points sont attribués à la résolution des exercices et 8 points aux questions
complémentaires.
L’épreuve permet de mettre en évidence chez le candidat, d’une part, la maîtrise des savoirs disciplinaires
nécessaires à l’enseignement des mathématiques à l’école primaire et la qualité du raisonnement logique,
ainsi que l’aptitude à utiliser les outils mathématiques, à interpréter des résultats dans les domaines
numérique et géométrique et à formuler avec rigueur sa pensée par différents modes d’expression et de
représentation, d’autre part, la connaissance des objectifs, des programmes et des principaux documents
d’accompagnement de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire, ainsi qu’une bonne aptitude
à les mettre en relation avec la pratique de la classe.
Les questions complémentaires trouvent obligatoirement leur origine dans les exercices proposés. Elles
peuvent porter sur :
1. la place et le niveau de traitement d’une notion dans les programmes en vigueur pour l’enseignement
du premier degré ;
2. la conception et la mise en oeuvre d’une séquence d’apprentissage ;
3. l’identification de sources possibles d’erreurs repérées dans des travaux d’élèves ;
4. des scénarios possibles pour des séances faisant appel aux TICE.
Programme de mathématiques
– Le nombre et les nombres (entiers, décimaux, rationnels, réels) et les relations entre diverses repré-
sentations (fractionnaire, décimale, scientifique).
– Opérations sur les nombres.
– Représentations des relations entre les nombres : égalité, ordre, approximation.
– Notions de proportionnalité (fonction linéaire).
– Mesures (longueur, masse, durée, vitesse, aire, volume) en relation avec les sciences expérimentales.
– Éléments simples de géométrie plane (droite, angles, figures classiques et propriétés principales, sy-
métries, homothéties, rotations) et de géométrie dans l’espace (quelques solides usuels et propriétés
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principales).
– Éléments sur l’utilisation des calculatrices électroniques et d’outils informatiques simples (tableurs).
– Représentation et interprétation simple de données (tableaux, diagrammes, graphiques).
Pour la session de 2006, c’est l’épreuve décrite ci-dessus qui attend le candidat, mais le présent support
de cours utilise des sujets qui étaient proposés jusqu’à la session 2005 et où il s’agissait d’une épreuve écrite
qui devait être traitée en trois heures et qui était composée de deux parties : une partie disciplinaire notée
sur douze points dont huit sur les connaissances mathématiques et quatre sur l’analyse de productions
d’élèves et une partie didactique notée sur huit points.
Une interprétation du nouveau texte pourrait être la suivante : le candidat peut s’attendre à trois (ou
quatre) exercices dont
– un comportant une ou deux questions complémentaires relatives à des productions d’élèves ;
– un comportant trois ou quatre questions relatives à l’analyse ou à la conception d’une séquence de
classe ;
– et un (ou deux) exercice(s) sans question complémentaire.
On peut diviser le programme en trois grands axes disciplinaires : les nombres, la géométrie et la
proportionnalité.
1.2 Auto-promo ...
Les sites :
– http ://vekemans.free.fr/WWWPE,
– http ://tice.lille.iufm.fr/cream/, Rubrique 4. Enseignement à Distance (Professeurs des Ecoles),
– http ://www.univ-lille1.fr/irem/activites/ Rubrique Préparation au CAPE,
regroupent ce cours et ces exercices, mais on peut aussi trouver sur ces sites les corrigés des exercices, des
analyses de productions corrigées, et des volets didactiques corrigés.
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