Mathématiques en lycée

fonction exponentielle Exercices de bac corrigés TS
Exercice 1
Partie A
La fonction fest définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f(x)=(20x+10)e−1
2x.
On note Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère ( O ;~ i,~ j) orthonormé (unité graphique 1 cm).
1. Étudier la limite de la fonction fen +∞.
2. Étudier les variations de la fonction fet dresser son tableau de variations.
3. Établir que l’équation f(x)=10 admet une unique solution strictement positive αdans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner
une valeur décimale approchée à 10−3près de α.
4. Tracer la courbe C.
Partie B
On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t,tétant exprimé en
heures. La valeur initiale, à l’instant t=0, est
y(0) =10.
On admet que la fonction qui, à tout réel tappartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ associe y(t), est solution de l’équation
différentielle (E) : y′+1
2y=20e−1
2t.
1. Vérifier que la fonction fétudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. On se propose de démontrer que cette fonction fest l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur
l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la valeur 10 à l’instant 0.
a) On note gune solution quelconque de l’équation différentielle (E), définie sur [0 ; +∞[ vérifiant g(0) =10. Dé-
montrer que la fonction g−fest solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle :
(E′)y′+1
2y=0.
b) Résoudre l’équation différentielIe (E′).
c) Conclure.
3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescent-elle à sa valeur initiale? Le résultat
sera arrondi à la minute.
Correction
Partie A
1. En posant X =x
2, on a f(X) =(40X +10)e−X=40 X
eX+10 eX. La limite de ces deux termes en plus l’infini est nulle :
lim
x→+∞ f(x)=0.
2. f′(x)=(20 −10x−5)e−1
2x=(15 −10x)e−1 2xqui est du signe de (15 −10x) car e−1 2x>0. Cette dérivée s’annule en 3
2.
D’où le tableau de variations :
x03/2 α+∞
f′+0−
f
10
40e−3/4
10
0
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3. Sur ]0 ; 3/2], f(x)>10, donc l’équation f(x)=10 n’a pas de solution ; sur l’intervalle ]3/2 ; +∞[, la fonction fest
continue (car dérivable, monotone décroissante de 40e−3/4 ≈18,9 à 0. Il existe donc un réel unique α∈]3/2 ; +∞[ tel
que f(x)=10. La calculatrice donne α≈4,673.
4.
0
3
6
9
12
15
18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
α
10
x
y
Partie B
1. On a effectivement f(t)+1
2f′(t)=(15−10t)e−1
2t+(10t+5)e−1 2t=20e−1 2t. Donc fest une solution de (E) sur [0 ; +∞[.
2. a) Par définition on a g′(t)+1
2g(t)=20e−1
2tet g(0) =10. On vient de voir que f(t)+1
2f′(t)=20e−1
2td’où par diffé-
rence de ces deux équations : g′−f′+g
2−f 2=0⇐⇒ (g−f)′+1 2(g−f)=0.
Conclusion : la fonction g−fest solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E′)y′+1
2y=0.
b) Les solutions de l’équation (E′) sont les fonctions t7−→ Ke−t/2.
c) La fonction (g−f) est l’une de ces solutions. Or (g−f)(0) =g(0) −f(0) =K=10 −10 =0. La fonction g−fest
donc la fonction nulle.
Conclusion : l’équation différentielle (E) a une solution unique vérifiant y′(0) =10, c’est la fonction fde la partie
A.
3. D’après la question 3. de la partie A, cela correspond à la valeur αtelle que f(α)=10. On a vu que α≈4,673h ≈
4 h 41min.
Exercice 2
L’annexe se rapporte à cet exercice.
Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( O ;~ i,~ j)
Soit la fonction fdéfinie sur [0 ; +∞[ par
f(x)=e−xcos(4x)
et Γsa courbe représentative tracée dans le repère de l’annexe. On considère également la fonction gdéfinie sur [0 ; +∞[
par g(x)=e−xet on nomme Csa courbe représentative dans le repère ( O ;~ i,~ j)
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1. a) Montrer que, pour tout réel xappartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,
−e−xÉf(x)Ée−x.
b) En déduire la limite de fen +∞.
2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γet C.
3. On définit la suite (un)sur Npar un=f³nπ
2´.
a) Montrer que la suite (un)est une suite géométrique. En préciser la raison.
b) En déduire le sens de variation de la suite (un)et étudier sa convergence.
4. a) Montrer que, pour tout réel xappartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,
f′(x)= −e−x[cos(4x)+4sin(4x)].
b) En déduire que les courbes Γet Cont même tangente en chacun de leurs points communs.
5. Donner une valeur approchée à 10−1près par excès du coefficient directeur de la droite Ttangente à la courbe Γau
point d’abscisse π
2.
Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant Tet C.
0
1
−1
123
O
ı
Annexe : exercice 4
correction
1. a) On a −1Écos(4x)É1, donc par produit :
−e−xÉf(x)Ée−x.
b) Comme limx→+∞ e−x=0, d’après le théorème des « gendarmes » : limx→+∞ f(x)=0. L’axe des abscisses est donc
asymptote à Γau voisinage de plus l’infini.
2. On sait que e−x6= 0, quel que soit x∈R, donc e−x=e−xcos(4x)⇐⇒ cos(4x)=1⇐⇒ 4x=0 [2π]⇐⇒ x=0hπ
2i.
Les points communs aux deux courbes sont donc les points Mk³kπ
2; e−kπ
2´.
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3. a)un+1=f³(n+1)π
2´=e−(n+1) π
2=e−nπ 2×e−π 2=un×e−π 2.
La suite (un)est donc une suite géométrique de raison e−π
2.
b) e−π
2≈0,2 et u0=1 donc la suite est positive et décroissante et d’après la question 1. a. la limite de cette suite est
nulle.
4. a) On a f′(x)= −e−xcos(4x)−e−x×4sin(4x)= −e−x[cos(4x)+4sin(4x)].
De même g′(x)= −e−x.
b) Or si x=kπ
2, cos(4x)=1 et sin(4x)=0.
On a donc f′³kπ
2´=g′³kπ 2´= −e−kπ
2. Donc les courbes Γet Cont même tangente en chacun de leurs points
communs.
5. On a f′³π
2´= −e−π
2≈ −0,2.
Exercice 3
Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O ;~ i,~ j)
On s’intéresse aux fonctions fdérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant les conditions
((1) : pour tout réel xappartenant à [0 ; +∞[, f′(x)=4−£f(x)¤2
(2) : f(0) =0
On admet qu’il existe une unique fonction fvérifiant simultanément (1) et (2).
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante. L’annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin
de l’épreuve.
Partie A. Étude d’une suite
Afin d’obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction fon utilise la méthode itérative d’Euler
avec un pas égal à 0,2.
On obtient ainsi une suite de points notés (Mn), d’abscisse xnet d’ordonnée yntelles que :
x0=0 et pour tout entier naturel n,xn+1=xn+0,2
y0=0 et pour tout entier naturel n,yn+1= −0,2y2
n+yn+0,8
1. a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe.
Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−4près.
b) Placer, sur le graphique donné en annexe, les points Mnpour nentier naturel inférieur ou égal à 7.
c) D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite ¡yn¢et sur sa convergence ?
2. a) Pour xréel, on pose p(x)= −0,2x2+x+0,8. Montrer que si x∈[0 ; 2] alors p(x)∈[0 ; 2].
b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ÉynÉ2.
c) Étudier le sens de variation de la suite ¡yn¢.
d) La suite ¡yn¢est-elle convergente ?
Partie B. Étude d’une fonction
Soit gla fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(x)=2µe4x−1
e4x+1¶et ¡Cg¢sa courbe représentative.
1. Montrer que la fonction gvérifie les conditions (1) et (2).
2. a) Montrer que ¡Cg¢admet une asymptote ∆dont on donnera une équation.
b) Étudier les variations de gsur [0 ; +∞[.
3. Déterminer l’abscisse αdu point d’intersection de ∆et de la tangente à ¡Cg¢à l’origine.
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4. Tracer, dans le repère de l’annexe, la courbe ¡Cg¢et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de
cette partie B.
5. Annexe partie A
n0 1 2 3 4 5 6 7
xn0 0,2 0,4
yn0 0,800 0 1,472 0
correction
Partie A. Étude d’une suite
1. a)
n0 1 2 3 4 5 6 7
xn0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
yn0 0,800 0 1,472 0 1,838 6 1,962 5 1,992 2 1,998 4 1,999 7
b)0 1 2
0
1
2
0
1
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
∆
c) D’après ce graphique, la suite semble croissante et converger vers 2.
2. a) On a p′(x)= −0,4x+1 qui s’annule pourx=5
2.Si 0 ÉxÉ2, la fonction est croissante dep(0) =0,8 à p(2) =2.
Conclusion : si x∈[0 ; 2], p(x)∈[0 ; 2].
b) Par récurrence :
– Initialisation : y0=0∈[0 ; 2].
– Hérédité : supposons que yn∈[0 ; 2] ; on sait que yn+1=p¡yn¢∈[0 ; 2] d’après la question précédente. La
récurrence est démontrée.
c) On a yn+1−yn= −0,2y2
n+yn+0,8−yn= −0,2y2
n+0,8. Or
0É2=⇒
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