Troisième Devoir maison de trigonométrie : Corrigé 2007/2008

Troisième Devoir maison de trigonométrie : Corrigé 2007/2008
Exercice 1 :
1)
2) Le triangle ABC est équilatéral : il a trois côtés égaux et trois angles égaux.
Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°
Donc :
ABC
=
180°
3
= 60 °
3) Dans le triangle ABH, rectangle en H,
cos
ABH
=
BH
AB
Nous savons que AB = 6 cm
Le triangle ABC étant équilatéral, (AH) est aussi médiatrice du segment [BC].
D'où : H est le milieu de [BC]. Alors, BH =
BC
2
=
6
2
= 3
Par conséquent : cos
ABH
=
3
6
=
1
2
= cos 60°
4) a) BAH est un triangle rectangle en H.
Propriété : Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (=leur
somme est égale à 90° )
D'où :
BAH
= 90° - 60° = 30°
b) Dans le triangle ABH, rectangle en H,
sin
BAH
=
BH
AB
On constate que sin
BAH
= cos
ABH
autrement dit : cos 60° = sin 30°
5) a) Dans le triangle ACH, rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore,
AC2 = AH2 + HC2
C'est-à-dire : 62 = AH2 + 32
D'où : AH2 = 36 – 9 = 27
D'où : AH =
27
=
3 x 9
=
3 3

b)
6
2
= 3. d'où: AH =
6 3
2
6) Dans le triangle AHC, rectangle en H, sin
ACH
=
AH
AC
D'où : sin 60° =
6 3
2
6
=
3
2
7) En raisonnant comme dans le 4)b) , on montre que cos 30° = sin 60°
D'où : cos 30° =
3
2
tan 30° =
sin30°
cos 30°
=
1
2
3
2
=
1
2
x
2
3
=
1
3
=
3
3
tan 60° =
sin60°
cos 60°
=
3
2
1
2
=
3
2
x
2
1
=
3
Exercice 2 :
1) Dans le triangle EFG, rectangle en F, on applique le théorème de Pythagore :
EG2 = EF2 + FG2
EG2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50
D'où : EG =
50
=
2 x 25
=
5 2
2) FEG est un triangle rectangle isocèle en F, d'où :
FEG
=
EGF
=
90
2
= 45°
3) Dans le triangle EFG, rectangle en F, cos
FEG
=
EF
EG
=
5
5 2
=
1
2
=
2
2
D'où : cos 45° =
2
2

Dans le même triangle, sin
FEG
=
FG
EG
=
5
5 2
=
2
2
Donc sin 45° = cos 45° =
2
2
4) Comme sin 45° = cos 45°, alors tan 45° = 1
D'où le tableau suivant :
Angle(en degrés) 30 45 60
sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3