Page 1 PCSI 2015 - 2016 Lycée Paul Valéry EXERCICES FEUILLE

PCSI 2015 - 2016 Lycée Paul Valéry
EXERCICES FEUILLE N°34
11. On considère un quadrillage 4×4 composé de 16 petits carrés. Sur ce quadrillage, on ne peut se déplacer que vers la
droite ou vers le haut.
a) Combien y a-t-il de chemins permettant de relier le point A = ( 0,0) au point B = (4,4) ?
b) Parmi ces chemins, combien passent par le point P(1,2) ?
c) En choisissant un chemin au hasard parmi tous les chemins reliant A à B, quelle est la probabilité que ce chemin
passe par P ?
12. (*) L’étoile Sirius est la plus brillante du ciel de l’hémisphère Nord. La probabilité annuelle d’apparition d’au moins
une comète plus brillante que Sirius est 1/43. Calculer la probabilité qu’il apparaisse au moins une comète plus brillante
que Sirius pendant un siècle d’observation.
13. A et B sont deux événements de probabilités non nulles. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est
vraie ou fausse :
1) Si A et B sont indépendants, alors ils ne sont pas incompatibles.
2) Si A et B sont incompatibles, alors ils sont indépendants.
3) Si A et B sont indépendants, alors A et A ∪ B le sont aussi.
4) Si A et B sont indépendants, alors A et A ∩ B le sont aussi.
5) Si A et B sont indépendants, alors pour tout événement C, A ∩ C et B ∩ C le sont aussi.
14. (**) Etant donné deux événements d’un univers Ω, prouver que
i) P(A ∩ B) − P(A) P(B) ≤ P(A ∩ B) − P(A ∩ B)
2
ii) P(A) P(B) − P(A ∩ B) ≤ (1 − P(A
−
∩ B)) P(A
−
∩ B)
iii) |P(A ∩ B) − P(A) P(B)| ≤ 1/4
15. (*) Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition de 6 soit p. On prend un dé au hasard, on
le jette, on obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ? Valeur de p pour que cette probabilité soit > 1/2 ?
16. (*) Une compagnie d’assurance automobile a classé ses assurés en trois classes d’âges : classe 1 (moins de 25 ans),
classe 2 (de 25 à 50 ans), classe 3 (plus de 50 ans). Le tableau suivant donne la répartition des assurés au sein des trois
classes et la probabilité qu’un assuré d’une classe donnée déclare un accident au cours d’une année :
Classe proportion probabilité de déclarer un accident
1 0.25 0.12
2 0.53 0.06
3 0.22 0.09
1) Un assuré est tiré au hasard dans le fichier de la compagnie, quelle est la probabilité qu’il ait déclaré au moins un
accident au cours de l’année ?
2) Quelle est la probabilité qu’un assuré ayant déclaré au moins un accident en cours d’année, ait moins de 25 ans ?
3) Quelle est la probabilité qu’un assuré âgé de 25 ans ou plus ait au moins un accident en cours d’année ?
4) Quelle est la probabilité qu’un assuré n’ayant pas déclaré d’accident n’appartienne pas à la classe 2 ?
17. Une loterie se déroule une fois par semaine. Sur 100 billets, k sont gagnants (k ≤ 90). Chaque billet coûte 1 € et on
dispose d’un budget de 10 €. On envisage deux stratégies :
a) On achète 10 billets en une seule fois
b) On achète chaque semaine un seul billet, et ce durant 10 semaines d’affilée.
Quelle est la meilleure stratégie ?