Mathématiques B30: Probabilité

Mathématiques B30
Probabilité
Module de l’élève
2002

Mathématiques B30
Probabilité
Module de l’élève
Bureau de la minorité de langue officielle
2002

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30
Objectifs généraux
L’élève sera capable de:
• Démontrer l’habileté à établir et à calculer les probabilités d’événements liés
entre eux
• Appliquer le théorème du binôme au développement des binômes et à des
situations de la vie courante
Objectifs spécifiques
L’élève sera capable de:
A.1 Définir les principes d'inclusion et d'exclusion lorsqu'on travaille avec deux
ensembles ou plus d'événements
A.2 Déterminer la probabilité d'événements s'excluant mutuellement
A.3 Déterminer la probabilité de deux événements indépendants ou plus
A.4 Déterminer la probabilité d'événements dépendants (probabilités
conditionnelles)
A.5 Organiser, analyser, estimer et résoudre des problèmes basés sur les
objectifs 1 à 4
A.6 Déterminer les coefficients de termes dans un développement binomial à
l'aide du théorème du binôme (recourir au triangle de Pascal ou aux
combinaisons pour présenter ce sujet)
A.7 Développer des expressions de la forme (a + b)n, à l'aide du théorème du
binôme
A.8 Résoudre des problèmes associés aux objectifs 6 et 7
Remerciements
Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec
permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public
School Division, 1999).

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 1
Introduction
Dans cette unité, nous allons aborder les notions associées aux probabilités. En
mathématiques, nous sommes souvent justifiés de traiter les notions de
probabilités et de statistiques ensemble. Par exemple, si on répète un certain
nombre de fois une expérience scientifique, on obtient habituellement des
résultats qui se regroupent autour d'une tendance. Il est évident qu'une
expérience ne peut reproduire avec exactitude un résultat essai après essai.
Toutefois, nous pouvons prédire avec une certaine confiance la probabilité de
retrouver un résultat donné. Ainsi, si nous répétions une expérience visant à
mesurer la température d’ébullition de
l’eau, nous obtiendrions probablement
une série de résultats dont la moyenne
fluctuerait autour de 100/C.
Avant d'entreprendre l'étude
approfondie des probabilités, il convient de définir la terminologie essentielle à la
compréhension de ce sujet.
1. Définitions fondamentales
1.1 Épreuve ou expérience aléatoire
Un processus faisant intervenir le hasard et susceptible de donner un ou
plusieurs résultats est connu sous le terme d'épreuve ou expérience
aléatoire. On peut parfois en prévoir l'issue ou si vous voulez, l'ensemble de
tous les résultats possibles.
Par exemple, si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes, vous effectuez une
épreuve aléatoire.
1.2 Espace échantillonnal (S)
L'ensemble de tous les résultats possibles (résultats élémentaires) qui
peuvent se produire lors d'une épreuve aléatoire.
Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie parfaitement équilibrée
dans les airs, vous avez deux résultats possibles: pile ou face. Dans ce cas,
l'espace échantillonnal est le suivant:
S = {pile, face}
As-tu déjà estimé la probabilité de
gagner le gros lot de la 6-49?

P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
1.3 Cardinal d’un ensemble ( )
(
)
nA
Le nombre d'éléments distincts contenus dans un ensemble est appelé le
cardinal de cet ensemble. Par exemple, si un espace échantillonnal S
possède cinq éléments, on pourrait écrire que .
()
nS = 5
1.4 Événement (E)
Partie de l'ensemble des résultats (donc un sous-ensemble de S) possible. Il
peut contenir un ou plusieurs résultats élémentaires.
Dans l'exemple portant sur la pièce de monnaie, nous aurions pu décider que
l'événement E était d'obtenir face.
Exemple 1: Supposons qu'on vous demande d'observer quel pied est placé
sur la première marche lorsque plusieurs personnes montent un
escalier. On sait qu'il y a deux événements possibles; le pied
gauche ou le pied droit. On peut représenter ces deux
événements de la façon suivante:
E1 : pied gauche
E2 : pied droit
L'espace échantillonnal est: S = {E1, E2} = {pied gauche, pied droit}
2. Définition classique de la probabilité
Revenons à l’exemple précédent. Comment peut-on obtenir la probabilité que ce
soit le pied gauche qui se dépose sur la première marche de l’escalier? On
pourrait réaliser un très grand nombre d'observations et compter le nombre de fois
que cet événement se réalise. On pourrait aussi déterminer cette probabilité en
fonction d’une démarche plus « théorique ».
La notion de probabilité est le résultat d'un raisonnement dans lequel on évalue le
nombre de fois qu’un événement se réalise. Dans notre vie quotidienne, nous
utilisons la notion de probabilité lorsque nous jouons à la loterie ou lorsque nous
faisons des prévisions météorologiques. Le hasard est un élément étroitement
associé à la définition de la probabilité. En effet, lorsque nous jouons à la loterie,
nous acceptons que les probabilités que nous gagnions dépendent du hasard.