Mathématiques B30: Probabilité

Mathématiques B30
Probabilité
Module de l’élève
2002
Mathématiques B30
Probabilité
Module de l’élève
Bureau de la minorité de langue officielle
2002
Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30
Objectifs généraux
L’élève sera capable de:
• Démontrer l’habileté à établir et à calculer les probabilités d’événements liés
entre eux
• Appliquer le théorème du binôme au développement des binômes et à des
situations de la vie courante
Objectifs spécifiques
L’élève sera capable de:
A.1 Définir les principes d'inclusion et d'exclusion lorsqu'on travaille avec deux
ensembles ou plus d'événements
A.2 Déterminer la probabilité d'événements s'excluant mutuellement
A.3 Déterminer la probabilité de deux événements indépendants ou plus
A.4 Déterminer la probabilité d'événements dépendants (probabilités
conditionnelles)
A.5 Organiser, analyser, estimer et résoudre des problèmes basés sur les
objectifs 1 à 4
A.6 Déterminer les coefficients de termes dans un développement binomial à
l'aide du théorème du binôme (recourir au triangle de Pascal ou aux
combinaisons pour présenter ce sujet)
A.7 Développer des expressions de la forme (a + b)n, à l'aide du théorème du
binôme
A.8 Résoudre des problèmes associés aux objectifs 6 et 7
Remerciements
Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec
permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public
School Division, 1999).
Introduction
Dans cette unité, nous allons aborder les notions associées aux probabilités. En
mathématiques, nous sommes souvent justifiés de traiter les notions de
probabilités et de statistiques ensemble. Par exemple, si on répète un certain
nombre de fois une expérience scientifique, on obtient habituellement des
résultats qui se regroupent autour d'une tendance. Il est évident qu'une
expérience ne peut reproduire avec exactitude un résultat essai après essai.
Toutefois, nous pouvons prédire avec une certaine confiance la probabilité de
retrouver un résultat donné. Ainsi, si nous répétions une expérience visant à
mesurer la température d’ébullition de
l’eau, nous obtiendrions probablement
une série de résultats dont la moyenne
As-tu déjà estimé la probabilité de
fluctuerait autour de 100/C.
gagner le gros lot de la 6-49?
Avant d'entreprendre l'étude
approfondie des probabilités, il convient de définir la terminologie essentielle à la
compréhension de ce sujet.
1. Définitions fondamentales
1.1 Épreuve ou expérience aléatoire
Un processus faisant intervenir le hasard et susceptible de donner un ou
plusieurs résultats est connu sous le terme d'épreuve ou expérience
aléatoire. On peut parfois en prévoir l'issue ou si vous voulez, l'ensemble de
tous les résultats possibles.
Par exemple, si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes, vous effectuez une
épreuve aléatoire.
1.2 Espace échantillonnal (S)
L'ensemble de tous les résultats possibles (résultats élémentaires) qui
peuvent se produire lors d'une épreuve aléatoire.
Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie parfaitement équilibrée
dans les airs, vous avez deux résultats possibles: pile ou face. Dans ce cas,
l'espace échantillonnal est le suivant:
S = {pile, face}
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 1
1.3 Cardinal d’un ensemble ( n ( A) )
Le nombre d'éléments distincts contenus dans un ensemble est appelé le
cardinal de cet ensemble. Par exemple, si un espace échantillonnal S
possède cinq éléments, on pourrait écrire que n( S ) = 5 .
1.4 Événement (E)
Partie de l'ensemble des résultats (donc un sous-ensemble de S) possible. Il
peut contenir un ou plusieurs résultats élémentaires.
Dans l'exemple portant sur la pièce de monnaie, nous aurions pu décider que
l'événement E était d'obtenir face.
Exemple 1: Supposons qu'on vous demande d'observer quel pied est placé
sur la première marche lorsque plusieurs personnes montent un
escalier. On sait qu'il y a deux événements possibles; le pied
gauche ou le pied droit. On peut représenter ces deux
événements de la façon suivante:
E1 : pied gauche
E2 : pied droit
L'espace échantillonnal est: S = {E1, E2} = {pied gauche, pied droit}
2. Définition classique de la probabilité
Revenons à l’exemple précédent. Comment peut-on obtenir la probabilité que ce
soit le pied gauche qui se dépose sur la première marche de l’escalier? On
pourrait réaliser un très grand nombre d'observations et compter le nombre de fois
que cet événement se réalise. On pourrait aussi déterminer cette probabilité en
fonction d’une démarche plus « théorique ».
La notion de probabilité est le résultat d'un raisonnement dans lequel on évalue le
nombre de fois qu’un événement se réalise. Dans notre vie quotidienne, nous
utilisons la notion de probabilité lorsque nous jouons à la loterie ou lorsque nous
faisons des prévisions météorologiques. Le hasard est un élément étroitement
associé à la définition de la probabilité. En effet, lorsque nous jouons à la loterie,
nous acceptons que les probabilités que nous gagnions dépendent du hasard.
P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
La probabilité qu'un événement E se produise est définie par le rapport entre le
nombre de cas favorables ( n( E ) ) à cet événement et le nombre total de cas
possibles ( n( S ) ):
P( E ) =
n( E )
n( S )
Exemple 2: Lorsque vous lancez une pièce de monnaie (parfaitement
équilibrée) dans les airs, il existe deux événements possibles
lorsqu'elle retombe sur une table. Elle peut tomber du côté pile ou
du côté face. n( S ) est donc égal à 2. Si vous voulez connaître la
probabilité qu’elle tombe du côté pile, vous devez établir le nombre
d'événements favorables n( E ) . Ce dernier est égal à 1. La
probabilité P(E) que la pièce de monnaie tombe pile est:
P( E ) =
n( E ) 1
= = 0,5
n( S ) 2
Observons que:
1. la probabilité d'un événement impossible est nulle;
2. la probabilité d'un événement certain est égale à 1;
3. entre ces deux extrêmes se situe toute une série d'événements probables: la
probabilité qu'un événement se réalise se situe donc entre 0 et 1, c'est-à-dire
0#P(E)#1;
4. la probabilité qu'un événement E ne se réalise pas est donnée par:
P (E ) = 1 - P (E ) où E est nommé événement complémentaire de E. Par
exemple, en lançant un dé, la probabilité d’obtenir un 2 est donnée par
n( E ) 1
= alors que la probabilité d’obtenir autre chose qu’un 2 est
n( S ) 6
n( S ) - n( E ) 5
P( E ) =
= .
6
n( S )
P( E ) =
La dernière remarque est
importante et est souvent
résumée en mathématiques
par l'équation ci-contre.
P (E ) + P (E ) = 1
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 3
Exemple 3: Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir au hasard une
carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir:
a) une carte de couleur noire?
b) un valet?
c) une carte autre qu'un valet?
Solution:
a) L’espace échantillonnal contient les 52 éléments du jeu de
cartes: n( S ) = 52
La moitié des cartes sont noires de sorte que n( E ) = 26
La probabilité de choisir une carte noire est donc donnée par
P( E ) =
n( E ) 26 1
=
= = 0,5 .
n( S ) 52 2
b) Il y a 4 valets dans un jeu ordinaire de 52 cartes. La probabilité
de choisir un valet se calcule de la manière suivante:
P( E ) =
1
n( E ) 4
=
=
= 0,0769
n( S ) 52 13
( ) est:
c) L’expression qui permet de calculer P E
P ( E ) = 1 - P( E ) = 1 -
P. 4 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
1 12
=
= 0,9231
13 13
Certains problèmes peuvent exiger une représentation visuelle de l’espace
échantillonnal et de l’événement désiré. L’exemple suivant démontre comment un
simple tableau peut aider à comprendre ce qui peut se produire lorsqu’on lance
deux dés.
Exemple 4: Quelle est la probabilité que la somme de deux dés lancés en
même temps soit 6?
Solution:
On peut représenter visuellement la solution à ce problème en
utilisant un tableau.
Dé 1
Dé 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Le tableau montre qu’il existe 36 possibilités: n( S ) = 36 . Seules 5
de ces possibilités correspondent à l’événement désiré, soit que la
somme des deux dés donne 6: n( E ) = 5 . On peut calculer la
probabilité de cet événement: P( E ) =
5
n( E )
.
=
n( S ) 36
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 5
À toi de jouer! (1)
Bernard Siskin et Jerome Straller ont publié le livre What are the chances (New
York: Crown Publishers, Inc. 1989) dans lequel ils discutent des possibilités que
certains événements se produisent dans la vie d’une personne. Le tableau
suivant illustre quelques événements dans la colonne de gauche. Peux-tu
associer chaque événement avec une des probabilités de la colonne de droite?
Événement:
Probabilité que
l’événement se
produise
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
j)
mourir en service commandé pour un policier ou une policière.
qu’un couple ait trois enfants ou plus.
que l’avion dans lequel vous vous trouvez s’écrase et qu’il y ait une victime.
qu’une personne soit frappée par la foudre.
que vous soyez vivant l’année prochaine.
que vous soyez admis dans un hôpital pour soins psychiatriques.
que vous soyez une personne qui se ronge les ongles.
que vous devrez voyager 1 à 2 heures par jour pour rendre au travail et revenir.
que vous serez insatisfait de votre emploi même si vous gagnez plus de
50000$ par année.
que vous allez vous marier lorsque vous aurez 18 ans et plus.
0,00000016
0,0000017
0,00038
0,0055
0,11
0,15
0,17
0,29
0,64
0,998
Notion de chances
Dans la vie quotidienne, on confond souvent les termes probabilités et chances
qu'un événement se produise. En mathématiques, les définitions des deux
termes sont distinctes.
chances =
probabilité que l ' événement E se produise
P( E )
=
probabilité que l ' événement E ne se produise pas P( E )
Exemple 5: Quelles sont les chances qu'un as soit tiré d'un jeu de cartes
ordinaire (52 cartes)?
Solution:
On peut calculer les chances qu’un as soit tiré du jeu de cartes à
partir de l’expression
( )
P (E )
où P (E ) = la probabilité que l’as soit
P (E )
tiré et P E celle que la carte tirée ne soit pas un as.
La probabilité qu'un as soit tiré est de 1/13, alors que la probabilité
qu'une carte autre qu'un as soit tirée est de 12/13. Ainsi,
P. 6 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
1
1
Chances ( E ) = 13 =
12 12
13
On peut donc dire que les chances sont 1 contre 12 d'obtenir un as
lorsqu'un pige une carte du jeu de 52 cartes.
À toi de jouer! (2)
Si les chances qu’un événement ait lieu sont de 2 contre 5, quelle est
la probabilité que :
a) l’événement ait lieu?
b) que l’événement n’ait pas lieu?
3. Définition fréquentiste ou expérimentale de la probabilité
Le décompte des conditions favorables et des cas possibles n'est pas toujours
facile à effectuer. Parfois, il faut se fier aux résultats d'une expérience pour obtenir
la probabilité d'un événement.
Si on veut déterminer expérimentalement la probabilité qu’un événement se
produise, il est souhaitable de répéter l’expérience le plus souvent possible pour
obtenir une meilleure approximation de P (E ) .
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 7
Exemple 6: Une maison d'édition a effectué un sondage auprès de sa clientèle.
Voici les résultats.
Âge en années
Nombre de clients
15 £ x < 20
44
20 £ x < 25
67
25 £ x < 30
82
30 £ x < 35
187
35 £ x < 40
179
40 £ x < 45
102
45 £ x < 50
95
50 £ x < 55
33
55 £ x < 60
9
2
60 £ x < 65
Quelle est la probabilité que l'âge d'un client soit supérieur ou égal à 45
ans mais inférieur à 50 ans?
Solution: On peut calculer n( S ) en additionnant les résultats de la colonne de
droite: n( S ) = 800 . La probabilité que l'âge d'un client soit supérieur
ou égal à 45 ans mais inférieur à 50 ans est obtenue en effectuant le
calcul suivant:
P (45 £ x £ 50 ) =
95
19
=
= 0,1188
800 160
P. 8 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Quel pourrait être
l’intérêt d’un tel
sondage?
4. Principes du dénombrement et calcul des probabilités d’un
événement
Lors du cours de mathématiques A30, nous avons appris à utiliser les concepts de
permutations et de combinaisons pour résoudre des problèmes. Les problèmes
portant sur les probabilités peuvent parfois se résoudre en incorporant ces
principes du dénombrement comme l’illustre l’exemple suivant.
Exemple 7: Dans une école secondaire, on doit élire un comité de cinq élèves
parmi un groupe de 40 garçons et de 45 filles.
a) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinq
filles?
b) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinq
garçons?
c) Quelle est la probabilité de choisir un comité de deux garçons
et trois filles?
Un rappel: n Cr =
Solution:
n!
( n - r ) !r !
a) Le nombre de choix possibles de cinq filles parmi les 45 qui
composent le groupe d’élèves est déterminé par 45 C5 . On
peut dire que le cardinal de l’ensemble E (l’événement de
choisir 5 filles) est n( E ) = 45 C5 . De la même manière, on peut
dire que le nombre de choix possibles de cinq élèves parmi les
85 élèves du groupe est déterminé par 85 C5 . Donc,
n( S ) = 85 C5 . Le calcul de la probabilité de choisir un comité de
six filles se résume à:
P( E ) =
n( E )
=
n( S )
473
C5
=
» 0,0372
12699
C
85 5
45
b) Le même raisonnement s’applique pour le calcul de la
probabilité de former un comité composé uniquement de
garçons.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 9
P( E ) =
C5
» 0,0201
85 C5
40
c) Le nombre de combinaisons de deux garçons et trois filles se
résume à 40 C2 ´ 45 C3 . La probabilité d’obtenir un comité de
deux garçons et trois filles est donc:
P( E ) =
40
C2 ´ 45 C3 1229800
=
» 0,3374
3644613
85 C5
À toi de jouer! (3)
Lors d’un camp d’entraînement en badminton, l’entraîneur doit choisir 6
personnes pour représenter l’école dans un tournoi. Si l’équipe est composée
de 8 garçons et 6 filles, calcule la probabilité de:
a) choisir 2 garçons et 4 filles.
b) choisir au moins 1 fille.
P. 10 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exercice 1
1. Lors d'une soirée casino, un des jeux exige de lancer un dé (régulier, à six faces).
Si tu obtiens un nombre supérieur à 4, tu gagnes,
sinon tu perds.
a) En utilisant la notation d’ensemble
échantillonnal et d'événement favorable, montre
comment on calcule la probabilité théorique
d'obtenir un 3?
b) En utilisant la notation d’ensemble
échantillonnal et d'événement favorable, montre comment on obtient la
probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
c) En utilisant la notation d’ensemble échantillonnal et d'événement favorable,
montre comment on obtient la probabilité que le joueur perde à ce jeu.
d) Le responsable du jeu décide de changer les règles et de laisser gagner le
joueur s'il obtient un nombre inférieur à 7 en utilisant un seul dé. Comment
nomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité qui lui est
associée?
e) Le responsable du jeu décide encore de changer les règles et de laisser
gagner le joueur s'il obtient un nombre supérieur à 6 en utilisant un seul dé.
Comment nomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité qui
lui est associée?
2.
On tire une carte d'un jeu de cartes ordinaire (52 cartes). Quelle est la probabilité
que la carte tirée soit:
a) un as?
b) un valet de couleur rouge?
c) un six de pique?
d) un 4 ou une reine?
e) un 5 rouge ou 9 noir?
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 11
f) un coeur ou un carreau?
g) un 4, un 5, un 6 ou un 7?
3.
À l'occasion de la période de Noël, M. Lacoursière invite 12 membres de sa famille
à une réception: 3 oncles, 4 frères, 4 cousines et une nièce. Suppose que chaque
membre de sa famille ait des chances égales d'arriver en premier:
a)
Quelle est la probabilité que la première personne à arriver chez M.
Lacoursière soit un de ses oncles?
b)
Quelle est la probabilité que la première personne à arriver soit une de ses
cousines?
c)
Quelle est la probabilité que la première personne à arriver ne soit pas un de
ses frères?
d)
Quelles sont les chances que la première personne à arriver soit la nièce?
4. Au canal météo, on annonce pour demain que les probabilités de précipitations sont
de 33,3 % ou 1/3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de pluie demain?
5. La probabilité qu’il neige un certain jour est de
a) Quelle est la probabilité qu’il ne neige pas?
b) Quelles sont les chances qu’il neige?
P. 12 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
3
.
5
6. Lors d’un jeu télévisé, les finalistes doivent
tourner la roulette afin de déterminer la somme
en argent qu’ils remporteront. S’ils obtiennent
un nombre pair, ils remportent 10000$, alors
que s’ils obtiennent un nombre impair, ils
remportent 2500$. Si la flèche s’arrête sur le
nombre 11, ils remportent le gros lot de
25000$. Si madame Brossard est une des
finalistes,
a) quelle est la probabilité qu’elle remporte
10000$?
b) quelle est la probabilité qu’elle remporte au
moins 2500$?
c) quelle est la probabilité qu’elle remporte le gros lot de 25000$?
7. Un sac contient 2 billes blanches, 4 billes bleues et 6 billes rouges. Si on tire au
hasard une bille du sac, quelle est la probabilité
a) qu’elle soit blanche?
b) qu’elle soit bleue?
c) qu’elle soit rouge?
d) qu’elle ne soit pas bleue?
8. Dans le numéro précédent, on tire à la fois 3 billes du sac. Quelle est la probabilité
a) qu’elles soient toutes blanches?
b) qu’elles soient toutes rouges?
c) qu’il n’y en ait pas de rouges?
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 13
9. On mêle 6 cartes, les 6, 7 et 8 de coeur et les 6, 7 et 8 de trèfle. On les place une à
côté de l’autre sur une table.
a) Combien d’arrangements sont
possibles?
Un rappel:
b) Quelle est la probabilité que les 3
trèfles soient suivis des 3 coeurs?
n
Pr =
n!
( n - r )!
c) Quelle est la probabilité que chaque carte soit à côté d’une autre carte portant le
même numéro?
d) Quelle est la probabilité qu’elles soient dans l’ordre 6,7,8 de coeur suivis de
6,7,8 de trèfle?
10. Au début de l’unité, nous t’avons demandé d’estimer les probabilités de remporter
le gros lot de la Lotto 6/49. Dans ce jeu, on doit choisir 6 nombres entiers parmi
les 49 entiers disponibles dans un boulier. Si les 6 nombres choisis correspondent
à ceux sélectionnés lors du tirage, on remporte le gros lot. Des prix moins élevés
sont aussi remportés lorsque 5, 4 ou 3 nombres correspondent. À partir de tes
connaissances acquises, reproduis et complète le tableau des probabilités suivant.
Nombre d’entiers correspondants
6
Probabilité
P. 14 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
5
4
3
2
1
0
5. Diagramme de Venn
Nous allons utiliser les diagrammes de Venn pour illustrer schématiquement les
règles fondamentales associées aux probabilités. Le diagramme de Venn nous
permettra de mieux visualiser certaines opérations sur les ensembles comme
l’intersection ou l’union.
Dans un diagramme de
Venn, les éléments de
chaque ensemble sont
représentés par des points
comme le montre la figure cicontre. Notons que chaque
ensemble est identifié par
une lettre.
U
2
A
6
1 7
9
3
5
4
B
8
5.1 L'appartenance et l'inclusion
On utilise un symbolisme particulier pour signifier qu'un élément appartient à un
ensemble ou qu'un ensemble est inclus dans un autre. Avant de fournir des
exemples de ce symbolisme, il convient de définir ce qu'est un élément, ainsi
que les termes inclusion et appartenance.
Soit le diagramme de Venn suivant:
S
A
B
Annie
Pierre
Julie
Richard
Manon
Marc
Martin
Hélène
Josée
C
La notation à utiliser pour représenter les ensembles de ce diagramme de Venn
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 15
est la suivante:
A = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc}
B = {Pierre, Martin, Julie, Manon, Richard}
C = {Hélène, Josée, Manon, Richard, Martin, Marc}
S = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc, Pierre, Martin, Josée, Hélène}
Tous les noms représentés dans le diagramme de Venn sont des éléments.
Le terme appartenir est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'éléments. Pour
signifier qu'un élément appartient à un ensemble d'un diagramme de Venn, on
utilise un symbole particulier: 0 . Par exemple, on peut dire que l'élément Annie
appartient à l'ensemble A ou utiliser la notation:
Annie 0 A
Lorsqu'un élément n'appartient pas à un ensemble, il faut utiliser le symbole ó.
Par exemple,
Pierre ó A
Le terme inclusion est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'ensembles. Par
exemple, on peut dire que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble S. Le
symbole utilisé est d. Par exemple,
AdS
Pour symboliser qu'un ensemble n'est pas inclus dans un autre, on utilise le
symbole ç. Par exemple,
SçA
P. 16 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exemple 8: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.
Détermine quels énoncés sont vrais.
a) 7 Î B
b) 2 Î A
c) B Ì A
d) A Ì W
Solution: b) et d) sont vrais
L’exemple suivant nous montre comment utile ce diagramme peut être.
Exemple 9: Soit un groupe de 100 athlètes lors d'une compétition internationale
en athlétisme. On assigne à chaque athlète un numéro de 1 à 100.
Le comité organisateur des jeux effectue deux tests pour vérifier la
présence de drogues dans le système métabolique des athlètes.
On sait que 55 de ces personnes ont été testées pour déterminer la
présence de la drogue A et que de ce groupe, 12 ont obtenu un
résultat positif, indiquant la consommation de la drogue A par ces
athlètes. On sait également que les 45 autres athlètes qui ont subi
le test pour déterminer la présence de la drogue B, 25 ont obtenu
un résultat positif. Dessine le diagramme de Venn qui permettrait
de visualiser cette situation.
Solution:
Nous allons commencer par définir ce que chaque ensemble du
diagramme de Venn devrait contenir.
S = espace échantillonnal: athlètes numérotés de 1 à
100={1,2,3,...100}
n ( S ) = 100
A = ensemble des athlètes ayant subi le test A n ( A ) = 55
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 17
B = ensemble des athlètes ayant subi le test B
n ( B ) = 45
D = ensemble des athlètes pour lesquels on a détecté la présence de drogues
n ( D ) = 37
S
On observe que nous
n’avons pas accompagné
les nombres dans les trois
ensembles par des points
puisqu’il s’agit ici d’identifier
le nombre d’éléments dans
chaque ensemble et non les
éléments comme tels.
D
A
43
12
B
25
20
Comme le montre l’exemple précédent, certains éléments peuvent appartenir à plus
d’un ensemble. Le diagramme de Venn met en évidence le nombre d’éléments
contenus dans chaque ensemble.
À toi de jouer! (4)
Monsieur Muri est responsable du programme sportif de son école. Au début
de l’année, il demande aux élèves de la 11e et de la 12e année de choisir les
sports auxquels ils voudront s’inscrire durant l’année scolaire. Voici les
résultats:
13 élèves veulent jouer au badminton
22 élèves veulent s’inscrire au volley-ball
17 élèves veulent s’inscrire au curling
10 veulent s’inscrire à la fois au curling et au badminton
3 élèves veulent participer aux trois sports
a) Construis un diagramme de Venn qui permet de représenter cette
situation.
b) Combien d’élèves ne veulent que participer au badminton?
c) Combien d’élèves veulent s’inscrire aux activités sportives de cette école?
P. 18 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
5.2 Opérations sur les ensembles
Lorsqu'un diagramme de Venn contient plus d'un ensemble, on peut trouver
l'union des ensembles, l'intersection des ensembles ou la différence.
Union: en mathématiques, union est synonyme du terme ou. On utilise le
symbole È pour symboliser l'union. On peut représenter l'union entre
deux ensembles A et B de la façon suivante.
A ÈB
Tous
les éléments qui appartiennent soit à l’ensemble A, soit à l’ensemble B
représentent A È B.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 19
Intersection: en mathématiques, intersection est synonyme du terme et. On
utilise le symbole Ç pour symboliser l'intersection. On peut
représenter l'intersection entre deux ensembles A et B de la
façon suivante: A Ç B
Uniquement les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B sont
compris dans A Ç B.
Exemple 10: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.
S
A
B
b
h
c
d
a
t
g
u
a)
b)
C
Exprime A Ç B à l’aide de la notation ensembliste.
Exprime A Ç B Ç C à l’aide de la notation ensembliste.
P. 20 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
a) A Ç B={a, h}
b) A Ç B Ç C={a}
Solution:
Différence: en mathématiques, différence est synonyme du terme sans. On
utilise le symbole
pour symboliser la différence. On peut
représenter la différence entre deux ensembles A et B de la façon
suivante: A
B
Les éléments qui appartiennent uniquement à A répondent à la
condition A
Complément:
B.
le complément d'un ensemble est l'ensemble des éléments qui
n'appartiennent pas à cet ensemble. On peut représenter le
complément d'un ensemble A de la façon suivante: A
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 21
Exemple 11: La figure suivante montre l'espace échantillonnal S pour une
expérience visant à choisir un nombre parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8}.
Les événements A et B sont aussi montrés; l'événement A étant le choix
d'un nombre inférieur à 4 et l'événement B étant le choix d'un nombre pair.
Donc: A = {1, 2, 3} et B = {2, 4, 6, 8}
a) Détermine A È B.
b) Détermine A Ç B.
c) Détermine B
A
d) Détermine B .
e) Quelle est la probabilité que l'événement A se réalise?
f) Quelle est la probabilité que A È B se réalise?
g) Quelle est la probabilité que A Ç B se réalise?
P. 22 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Solution: a) L'union de A et de B implique que tous les éléments qui sont
compris dans les deux ensembles seront énumérés. Ainsi,
A È B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
b) L'intersection de A et de B implique que seuls les éléments qui sont
compris à la fois dans A et B seront énumérés. Ainsi,
A Ç B = {2}
c) La différence B A implique que seuls les éléments qui
appartiennent uniquement à B seront énumérés. Ainsi,
B
A = {4, 6, 8}
d) Le complément de B comporte tous les éléments qui ne sont pas
dans l'ensemble B. Ainsi,
B = {1, 3, 5, 7}
e) On peut résumer la probabilité que A se réalise par:
P(A) =
3
3 1
et celle de B par P(B) = = .
8
8 2
f) Cette probabilité se résume à P(A È B).
Puisque AcB ={1, 2, 3, 4, 6, 8},
P(A È B)=
6
3
= .
8
4
g) Cette probabilité est de
1
.
8
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 23
Exercice 2
1. Étant donné les ensembles A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} et B = {1, 3, 5, 7, 9}.
a) Énumère les éléments communs à ces deux ensembles.
b) Représente ces deux ensembles à l'aide de diagrammes de Venn.
c) Exprime A Ç B en extension (A Ç B = { ? })
d) Énumère les éléments présents dans A et B.
e) Exprime A È B en extension.
2. Étant donné le diagramme de Venn qui suit, identifie les nombres représentés par
chacune des expressions suivantes.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
AÈ B
AÈ C
BÈ C
AÇ B
AÇ C
BÇ C
AÇ BÇ C
P. 24 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
3. Trace un diagramme de Venn pour illustrer la situation suivante, puis résous le
problème.
Madame Tremblay est directrice adjointe d'une école secondaire en Saskatchewan.
Une de ses tâches est d'établir l'horaire des classes. D'après les formulaires de
demande de cours remis par les élèves de 12e année, elle sait que 163 élèves ont
demandé un cours de mathématiques, 95 un cours de physique et 124 un cours de
chimie, tandis que 17 élèves n'ont demandé aucune de ces matières. De plus, elle
constate que 61 élèves ont demandé mathématiques et physique, 67
mathématiques et chimie, 49 chimie et physique et 27 les trois.
a) Combien ont demandé seulement des mathématiques?
b) Combien ont demandé seulement la physique?
c)
Combien ont demandé seulement la chimie?
d) Combien de formulaires de demande de cours (élèves) y avait-il?
e) Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner
un élève qui désire choisir uniquement des mathématiques?
f)
Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner
un élève qui désire choisir la physique ou la chimie?
g)
Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner
un élève qui désire choisir des mathématiques ou de la physique ou de la
chimie?
4. Un sondage effectué auprès de 100 personnes qui se sont procurées de nouveaux
disques compacts au cours du dernier mois a donné les résultats suivants: 36 ont
acheté de la musique rock, 27 étaient des adolescents et 21 étaient des
adolescents qui se sont achetés de la musique rock.
a) Construis un diagramme de Venn avec les ensembles R (musique rock) et A
(adolescents).
b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées soit un adolescent
qui n’a pas acheté de la musique rock?
c)
Quelle est la probabilité que la personne sondée ne soit pas un adolescent?
d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée n’ait pas acheté de la
musique rock?
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 25
e) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait acheté de la musique
rock sans pour autant être un adolescent ?
f)
Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne soit ni un adolescent, ni
une personne qui ait acheté de la musique rock?
5. Soixante personnes d’une communauté de la Saskatchewan à prédominance
francophone sont interrogées lors d’un sondage visant à déterminer la langue
qu’elles parlent. Les résultats montrent que 45 personnes maîtrisent le français, 20
parlent l’anglais et 15 maîtrisent le français et l’anglais.
a) Trace un diagramme de Venn qui illustre cette situation.
b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées maîtrise le français
et l’anglais?
c)
Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle ni l’anglais ni le
français?
d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle qu’une de deux
langues officielles?
P. 26 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
6. Probabilités d’événements compatibles (qui ne sont pas
mutuellement exclusifs) et d’événements incompatibles
(mutuellement exclusifs)
6.1 Probabilités d’événements compatibles
Parfois la réalisation d'un événement n'empêche pas la réalisation d'un second.
C'est le cas lorsqu'on vous demande de calculer la probabilité qu'une carte tirée
d'un jeu de 52 cartes ordinaire soit un as ou une carte de couleur noire.
Dans le cas d'événements qui ne s'excluent pas, il faut tenir compte de ce qui
est commun aux deux événements. Dans ce cas-ci, il est possible que la carte
tirée soit à la fois un as et une carte de couleur noire. Ce ne sont pas deux
événements qui s'excluent mutuellement. Il faut alors employer la formule
suivante:
Probabilité d’événements compatibles
La probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise
est calculée de la manière suivante:
P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - P ( A Ç B )
Le diagramme de Venn ci-dessous illustre le cas où on souhaite tirer un as ou
une carte noire d’un paquet ordinaire de 52 cartes.
L'ensemble A, les as, compte 4 éléments, alors que l'ensemble N, les cartes
noires, compte 26 éléments. Les 24 autres cartes (qui ne sont pas des as ou
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 27
des cartes noires) du jeu sont dans l'espace échantillonnal. On réalise que 2
éléments sont partagés par A et N. Si on calculait la probabilité sans tenir
compte des éléments qui sont partagés par les deux ensembles, on obtiendrait:
P ( A) + P ( N ) =
4 26 30 15
+
=
=
52 52 52 26
Cette expression nous demande de calculer les éléments de l'intersection à
deux reprises. Pour contrer ceci, il faut soustraire la probabilité d'avoir à la fois
A et N de la somme des probabilités de A et de N. Ainsi,
P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - P ( A Ç B )
Dans notre exemple, la probabilité devient:
P( A È N ) = P( A) + P( N ) - P( A Ç N )
P( A È N ) =
4 26 2 28 7
+
=
=
52 52 52 52 13
Exemple 12: Quelle est la probabilité de tirer un roi ou une carte rouge
supérieure à 10 lorsqu’on tire une carte d’un jeu ordinaire?
Solution:
Voilà bien une situation d’événements qui ne sont pas
mutuellement exclusifs, donc compatibles.
Soit les deux événements, R=un roi et S=une carte rouge
supérieure à 10, alors la probabilité de tirer un roi ou une carte
rouge supérieure à 10 est:
P ( R È S ) = P ( R) + P (S ) - P ( R Ç S )
P(R È S) =
4
6
2
8
2
+ =
=
52 52 52 52 13
P. 28 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Le diagramme ci-contre montre la solution de l’exemple précédent.
On remarque qu’en traçant un encadré
autour des solutions possibles, deux cartes
peuvent être choisies deux fois (le roi de
carreau et le roi de coeur). Il faut donc
s’assurer que le calcul de la probabilité
tienne compte de l’intersection entre
l’ensemble « Roi » et l’ensemble « carte
rouge supérieure à 10 ».
Exemple 13: On lance deux dés à six faces,
un rouge et un bleu.
Détermine:
a) la probabilité qu’un des dés montre un 3 ou que la somme des deux
dés indique 8.
b) la probabilité que le dé rouge indique un nombre plus grand que 4 ou
que le dé bleu montre un nombre inférieur ou égal à 2.
Solution:
a) L’utilisation d’un diagramme nous permettra de mieux
visualiser la solution à cette question.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 29
Comme le montre le diagramme, il y a 36 possibilités au total,
mais 11 d’entre elles correspondent à l’événement que l’un des
dés indique 3. Il y a 5 possibilités d’obtenir une somme de 8 à
partir des deux dés. On remarque que l’intersection des deux
ensembles compte 2 éléments (points noirs). Si T=un des deux
dés indique 3 et H=la somme des deux dés donne 8 alors,
P (T È H ) = P (T ) + P ( H ) - P (T Ç H )
P (T È H ) =
11 5
2 14 7
+ =
=
36 36 36 36 18
b) Le diagramme suivant résume les deux événements.
Si R=le dé rouge indique un
nombre supérieur à 4 et
B=le dé bleu indique un
nombre inférieur ou égal à
2, alors
P ( R È B) = P ( R) + P ( B) - P ( R Ç B)
P ( R È B) =
12 12 4 20 5
+ =
=
36 36 36 36 9
P. 30 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exemple 14: On tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Trouve la probabilité de
choisir soit un valet soit un pique.
Solution:
Il s'agit d'événements qui ne sont pas mutuellement exclusifs
puisqu'il existe une possibilité de choisir un valet de pique, ce
correspondrait aux deux conditions. Si V=valet et P=pique, alors
P (V È P ) = P (V ) + P ( P ) - P (V Ç P )
P (V È P ) =
4 13 1 16 4
+ =
=
52 52 52 52 13
6.2 Événements incompatibles (mutuellement exclusifs)
Deux événements sont dits incompatibles si la réalisation d'un de ces
événements empêche la réalisation du second. On dit alors que les
événements sont mutuellement exclusifs.
Probabilité d’événements incompatibles
La probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise
lorsque ces deux événements s’excluent mutuellement est
calculée de la manière suivante:
P
(A
È B
)=
P
(A )+
P
(B )
On remarque que cette relation est une condition particulière de la relation pour
les événements compatibles où A Ç B = {Æ} . En effet, lorsque
A Ç B = {Æ} , on dit que les événements n'ont pas de résultats en commun et
qu'ils sont mutuellement exclusifs. Puisque P ( Æ ) = 0 , la relation devient:
P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - 0
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 31
Exemple 15: Quelle est la probabilité de choisir un valet ou un as lorsqu'on tire
une carte d'un jeu de cartes ordinaire?
Solution:
Cette situation représente un cas d'événements mutuellement
exclusifs. La réalisation d'un des événements empêche la
réalisation de l'autre.
Soit A = choisir un valet, B = choisir un as, alors
P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) =
4
4
8
2
+
=
=
52 52 52 13
Exemple 16: Le tableau suivant montre la répartition des âges des joueurs
d'une équipe de hockey.
Événement
Âge du joueur
(années)
Proportion des
joueurs (%)
A1
moins de 21
5
A2
21 £ x <24
25
A3
24 £ x <27
40
A4
27 £ x <30
20
A5
30 et plus
10
Quelle est la probabilité que l'âge d'un joueur soit de 21 ans et
plus?
Solution:
Soit S, l'espace échantillonnal = {A1, A2, A3, A4, A5}
L'événement E « le joueur a 21 ans et plus » ± E = {A2 c A3 c A4
c A5}
Puisque A2 , A3 , A4 , A5 sont des événements incompatibles deux
à deux, on peut trouver la probabilité comme suit:
P ( E ) = P ( A2 È A3 È A4 È A5 ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) + P ( A4 ) + P ( A5 )
P(E) =
25 40 20 10
95 19
+
+
+
=
=
100 100 100 100 100 20
P. 32 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exemple 17: Pour gagner à un jeu de société, tu dois obtenir, en lançant le dé,
un 1 ou un 2. Quelle est la probabilité que tu gagnes?
Solution:
Soit A, l’événement d’obtenir un 1 et B, l’événement d’obtenir un 2.
Les deux événements sont mutuellement exclusifs, c'est-à-dire
que:
P ( A È B) =
1 1 2 1
+ = =
6 6 6 3
Le diagramme de Venn suivant résume une situation où deux événements sont
mutuellement exclusifs:
Les deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas
se réaliser simultanément. On note alors que A Ç B = {Æ} et que la
P ( A Ç B ) pour des événements mutuellement exclusifs est nulle.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 33
Exemple 18: Les élèves d’une école désirent mettre sur pied un comité de
trois personnes afin d’organiser les activités entourant le
carnaval. Cinq filles et trois garçons montrent de l’intérêt.
Quelle est la probabilité que le comité soit composé d’au moins
un garçon?
Solution: Puisque le comité doit être formé d’au moins un garçon, il existe
trois possibilités de représentation: (2F,1G), (1F, 2G) ou (0F, 3G).
Le calcul de la probabilité d’avoir un comité comptant au moins un
garçon se résume à:
P ( au moins un G ) = P (1F , 2G ) + P ( 2 F ,1G ) + P ( 0 F , 3G )
P ( au moins 1 G ) =
5
C 2 × 3 C1 5 C1 × 3 C 2 5 C0 × 3 C3 23
+
+
=
C
C
C
28
8 3
8 3
8 3
À toi de jouer! (5)
Suppose qu’on te demande de tirer une carte d’un jeu ordinaire et qu’on espère
qu’il s’agisse d’un 2 ou d’un 3.
a) S’agit-il d’événements compatibles ou incompatibles?
b) Quelle est la probabilité de tirer un 2 ou un 3?
P. 34 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exercice 3
1. Si les événements A et B sont mutuellement exclusifs, trouve P ( A È B ) pour
chaque expression.
a) P(A) = 1/4
P(B) = 1/10
b) P(A) = 1/2
P(B) = 1/5
c) P(B) = 0,9
P(A) = 0,6
d) La réponse en c) est-elle raisonnable? Pourquoi?
2. On tire une carte d’un jeu ordinaire de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer:
a) un 6 ou un 7?
b) une carte noire ou un 4?
c) un 8 ou un 5 noir?
d) une carte de trèfle ou une carte rouge?
e) une carte de coeur ou un 6?
f) une carte rouge ou un roi?
g) une carte de carreau ou un valet?
1. Parmi les énoncés de la question 2, lesquels représentent des événements
mutuellement exclusifs?
2. Un sac contient 3 cubes bleus, 4 cubes verts, 5 sphères rouges, 2 sphères vertes et
1 sphère bleu. On te demande de tirer une des pièces.
a) Quelle est la probabilité de choisir une sphère?
b) Quelle est la probabilité de choisir une sphère ou un cube?
c) Quelle est la probabilité de choisir une sphère ou une pièce verte?
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 35
3.
On lance deux dés. Quelle est la probabilité que:
a) la somme des deux dés donne 4?
b) au moins un des dés indique un 5?
c) la somme des nombres soit 4 ou un des dés indique 5?
4.
Madame Préfontaine invite 10 membres de sa famille à une réception: son père, 3
tantes, 2 oncles, une soeur, 2 cousins et sa cousine. Si tous les invités possèdent
des chances égales d’arriver en dernier, quelle est la probabilité que la dernière
personne à se présenter chez Madame Préfontaine soit:
a) une soeur ou une tante?
b) une soeur ou un cousin ou une cousine?
c) une soeur ou son père?
d) une tante ou un cousin ou une cousine?
e) une femme ou un cousin ou une cousine?
f) un homme ou un cousin ou une cousine?
5.
Dans un groupe de 4 hommes et 6 femmes, on choisit un comité de 4. Trouve les
probabilités que le comité comprenne:
a) seulement des hommes ou seulement des femmes.
b) 3 hommes ou 3 femmes.
6.
Jean a 5 pièces de 5 cents, 3 pièces de 10 cents et 7 pièces de 1 cent dans sa
poche. S’il choisit 3 de ces pièces, calcule la probabilité que les pièces soient:
a) toutes des pièces de 5 cents ou toutes des pièces de 1 cent.
b) toutes des pièces de 5 cents ou toutes des pièces de 10 cents.
c) toutes des pièces de 10 cents ou toutes des pièces de 1 cent.
d) 2 pièces de 10 cents ou 2 pièces de 5 cents.
e) au moins 2 pièces de 10 cents.
f) au moins 2 pièces de 5 cents.
g) au moins une pièce de 1 cent.
7.
On lance une pièce de monnaie à trois reprises et on note le résultat à chaque
fois. Montre l’espace échantillonnal pour cette situation et détermine la
probabilité:
a) que le premier résultat soit face ou que le second soit face.
b) qu’au moins deux des résultats soient face ou que le dernier résultat soit pile.
8.
Un couple décide d’avoir trois enfants. Quelle est la probabilité que le plus âgé ou
le plus jeune de ces enfants soit une fille?
P. 36 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
7. Probabilités d’événements indépendants et dépendants
7.1 Probabilités d’événements indépendants
Pour comprendre le calcul des probabilités d’événements indépendants, nous
allons supposer qu’on lance deux dés à six faces, un rouge et un bleu et qu’on
souhaite connaître la probabilité que le dé rouge indique un résultat inférieur à
3 et que le dé bleu indique un résultat égal à 1. Le diagramme suivant montre
l’espace échantillonnal et les deux événements.
Si A représente l’événement
d’obtenir un nombre inférieur à
3 avec le dé rouge et B celui
d’obtenir un nombre égal à 1
avec le dé bleu, alors nous
remarquons que le cardinal de
A Ç B = 2 . Il s’agit de
l’événement qui nous intéresse
puisque l’énoncé précise que
les deux événements doivent
avoir lieu. La probabilité
associée à l’événement A est
12 1
= alors que celle
36 3
6 1
de B est P ( B ) =
= .
36 6
P ( A) =
La probabilité que les deux événements se produisent est
P ( A Ç B) =
2
1
= . Quel lien existe entre P ( A ) , P ( B ) et P ( A Ç B ) ?
36 18
En examinant notre démarche, nous remarquons que
æ1öæ1ö 1
P ( A Ç B ) = P ( A) × P ( B ) = ç ÷ ç ÷ =
.
è 3 ø è 6 ø 18
Il est à noter que dans le cas d’événements indépendants, la réalisation du
second événement n’est pas affectée par la réalisation du premier, et vice
versa. Dans notre exemple, le fait d’obtenir un nombre inférieur à 3 avec le dé
rouge n’a aucune influence sur le fait d’obtenir un nombre égal à 1 avec le dé
bleu. L’inverse est aussi vrai. Ces deux événements sont indépendants.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 37
Probabilité d’événements indépendants
La probabilité que l’événement A et l’événement B se produisent
lorsque A et B sont indépendants est calculée de la manière
suivante:
P
(A
Ç B
)=
P
(A )×
P
(B )
Exemple 19: Lors d'un tirage, on demande de choisir deux cartes au hasard
dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir un
valet lors de la première fois et un as, la seconde, si on remet la
première carte choisie dans le paquet avant de tirer la seconde?
Solution:
Soit V, un valet et A, un as. Puisqu’on remet la première carte
dans le paquet avant de tirer la seconde, il s’agit d’événements
indépendants.
1
æ 4 öæ 4 ö
P (V Ç A ) = P (V ) × P ( A ) = ç ÷ ç ÷ =
è 52 ø è 52 ø 169
Exemple 20: Suppose qu'on lance un dé et une pièce de 25¢ dans les airs.
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 3 et que
la pièce tombe du côté pile?
Solution:
Il s'agit d'événements indépendants puisque pour obtenir pile avec
la pièce de 25¢, il ne faut pas tenir compte du nombre obtenu avec
le dé.
Le diagramme ci-contre illustre la
solution du problème. Si T est
l’événement d’obtenir un nombre
inférieur à 3 avec le dé et P,
l’événement d’obtenir pile avec la
pièce de monnaie, alors
æ 4 öæ 6 ö 1
P (T Ç P ) = ç ÷ ç ÷ =
è 12 ø è 12 ø 6
P. 38 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exemple 21: Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules blanches et 5 boules
jaunes. On tire trois boules, l’une après l’autre. Chaque boule
tirée est replacée dans le sac avant le tirage suivant. Quelle est
la probabilité que les tirages donnent dans l’ordre une boule
rouge, une boule blanche et une boule jaune?
Solution:
Il s’agit d’événements indépendants puisque les boules sont
remises dans le sac avant le tirage suivant. On peut calculer la
probabilité de trois événements indépendants de la même
manière que s’il s’agissait de deux événements. Soit R=boule
rouge, B=boule blanche et J=boule jaune, alors
P ( R Ç B Ç J ) = P ( R) × P ( B) × P ( J )
5
æ 4 öæ 3 öæ 5 ö
P(R Ç B Ç J ) = ç ÷ ç ÷ ç ÷ =
è 12 ø è 12 ø è 12 ø 144
Exemple 22: La moyenne au bâton d’un joueur des Expos de Montréal est de
0,300. C’est donc dire que la probabilité d’obtenir un coup sûr
lorsqu’il se présente au bâton est de 0,300. Au cours d’un match
où le joueur obtient 4 apparitions au bâton, quelle est la
probabilité:
1.
2.
3.
4.
Solution:
que le joueur obtienne 4 coups sûrs.
que le joueur n’obtienne pas de coup sûr.
que le joueur obtienne au moins 1 coup sûr.
que le joueur obtienne exactement 1 coup sûr.
Si l’événement C est celui de frapper un coup sûr, alors C est
celui de ne pas obtenir de coup sûr. Si P ( C ) = 0, 300 alors
( )
P C = 0, 700
a)
Dans le cas où il obtient 4 coups sûrs en 4 présences au
bâton, alors
P (C Ç C Ç C Ç C ) = P (C ) × P (C ) × P (C ) × P (C )
P ( C Ç C Ç C Ç C ) = ( 0, 300 ) = 0, 0081
4
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 39
b)
La probabilité d’être blanchi durant le match se calcule de la
manière ci-dessous:
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
P ( C Ç C Ç C Ç C ) = ( 0, 700 ) = 0, 2401
P C ÇC ÇC ÇC = P C × P C × P C × P C
4
c) Dans la partie b), nous avons déterminé que la probabilité de
n’obtenir aucun coup sûr était de 0,2401. L’événement
« obtenir au moins un coup sûr » est complémentaire à celui
« d’obtenir aucun coup sûr ». Donc, la probabilité d’obtenir au
moins un coup sûr est de 1-0,2401=0,7599.
d) Le joueur pourrait obtenir son unique coup sûr lors de sa
première présence au bâton et ensuite être blanchi de la carte
de pointage. Il pourrait aussi l’obtenir lors de sa seconde
présence et être tenu en échec lors de ses autres présences
au bâton. Son coup sûr pourrait aussi se produire lors de sa
troisième ou quatrième présence. Le problème revient donc à
trouver le nombre d’arrangements possibles des lettres C et
C (par exemple,
C Ç C Ç C Ç C ). Puisqu’il y a au total 4
lettres et qu’une d’entre elles se répète trois fois, le nombre de
4!
= 4 ( C Ç C Ç C Ç C ou
3!
C Ç C Ç C Ç C ou C Ç C Ç C Ç C ou C Ç C Ç C Ç C ). Si
permutations de ces lettres est
on calcule la probabilité d’obtenir le coup sûr lors de la
première présence au bâton, on obtient:
(
)
( ) ( ) ( )
P C Ç C Ç C Ç C = P ( C ) × P C × P C × P C ou
( )
3
3
éë P ( C ) ùû é P C ù = ( 0, 300 )( 0, 700 ) = 0,1029 . On
ë
û
comprend que ce résultat sera le même pour les trois autres
arrangements. Puisque ces arrangements sont des
événements mutuellement exclusifs, on doit additionner
chacune des probabilités ou multiplier 0,1029 par 4. La
probabilité d’obtenir au moins un coup sûr est donc
4 ( 0,1029 ) = 0, 4116 .
P. 40 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
À toi de jouer! (6)
Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité que le joueur obtienne
exactement 2 coups sûrs?
À toi de jouer! (7)
Lors d’un examen, il y a 10 questions à choix multiples, chacune des questions
ayant 4 choix de réponses. Si le choix de la bonne réponse se fait uniquement
en devinant,
a) quelle est la probabilité d’obtenir de mauvaises réponses pour chacune
des 10 questions? (Exprime ta réponse avec 5 décimales)
b) quelle est la probabilité d’obtenir au moins une réponse correcte?
(Exprime ta réponse avec 5 décimales)
7.2 Probabilités d’événements dépendants (probabilités conditionnelles)
Parfois, la probabilité d’un événement dépend d’un autre événement. Dans ce
cas, il s’agit d’événements dépendants et la probabilité est conditionnelle. Pour
comprendre cette situation, nous allons reprendre l’exemple 19 sur le calcul de
la probabilité de tirer un valet et un as d’un paquet de 52 cartes, mais cette foisci, nous n’allons pas remettre la première carte tirée dans le paquet avant de
tirer une carte la seconde fois. Dans ce cas, les deux événements sont
considérés dépendants, puisque la réalisation du premier événement influence
la probabilité du second événement. Ainsi, si on retire une carte du jeu suite au
premier événement, le nombre de cartes passe de 52 à 51. C'est donc dire que
la probabilité de choisir un as lors de la seconde pige devient
4
au lieu de
51
4
. Si V est l’événement de piger un valet et A celui de piger un as alors le
52
calcul de la probabilité de choisir un valet et ensuite un as sans remise de la
première carte est donné par l'énoncé suivant:
P (V Ç A ) = P (V ) × P ( A | V ) où P ( A | V ) indique la probabilité que
l’événement A se réalise en tenant compte de la réalisation de l’événement V.
4
æ 4 öæ 4 ö
.
֍
÷=
è 52 ø è 51 ø 663
Cette probabilité devient P (V Ç A) = ç
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 41
Probabilité d’événements dépendants
La probabilité associée à deux événements dépendants A et B est
calculée de la manière suivante:
P
(A
Ç B
)=
P
(A)×
P
(B
| A)
où B | A veut dire que B se réalise en tenant compte de la réalisation
de A.
Les exemples qui suivent illustrent l’interaction entre événements dépendants.
Exemple 23: Quelle est la probabilité de choisir un valet et un pique lors de
deux piges successives lorsque la première carte n'est pas
remise dans le paquet?
Solution:
Il s'agit d'événements dépendants puisque la probabilité de choisir
la deuxième carte dépend du premier événement. Soit V,
l’événement de choisir un valet et P, celui de choisir un pique.
æ 4 ö æ 13 ö 1
P (V Ç P ) = P ( V ) × P ( P | V ) = ç ÷ ç ÷ =
è 52 ø è 51 ø 51
Exemple 24: Un pot contient 8 billes rouges et 7 billes bleues. On tire du pot
deux ensembles de 3 billes par ensemble. Le premier ensemble
de billes n’est pas remis dans le pot avant le second tirage.
Quelle est la probabilité que les billes du second ensemble soient
toutes rouges?
Solution:
La probabilité que les trois billes du second tirage soient toutes
rouges dépend du résultat du premier tirage. Ce sont donc des
événements dépendants. Il existe quatre cas à considérer dans
ce problème. En effet, le premier tirage, qu’on identifiera par T1,
peut donner 3 billes rouges, 2 billes rouges et une bille bleue, 1
bille rouge et 2 billes bleues ou 3 billes bleues. Alors les résultats
du second tirage (T2) dépendront du nombre de billes de chaque
couleur qui demeureront dans le pot après le premier tirage.
P. 42 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Cas 1: Les trois billes de T1 sont toutes rouges.
La probabilité de choisir trois billes rouges dans le second
ensemble est donc:
P ( T 1 Ç T 2 ) = P ( T 1) × P (T 2 | T 1)
æ C öæ C ö
560
4
P (T 1 Ç T 2 ) = ç 8 3 ÷ ç 5 3 ÷ =
=
è 15 C3 ø è 12 C3 ø 100100 715
Cas 2: Les deux premières billes de T1 sont rouges mais l’autre
est bleue.
æ C × C öæ C ö
3920
28
P (T 1 Ç T 2 ) = ç 8 2 7 1 ÷ ç 6 3 ÷ =
=
è 15 C3 ø è 12 C3 ø 100100 715
Cas 3: Une seule bille est rouge lors du premier tirage alors que
les deux autres billes sont bleues.
æ C × C öæ C
P (T 1 Ç T 2 ) = ç 8 1 7 2 ÷ ç 7 3
è 15 C3 ø è 12 C3
ö
5880
42
=
÷=
ø 100100 715
Cas 4: Toutes les billes de T1 sont bleues.
P (T 1 Ç T 2 ) =
C3 8 C3
1960
14
×
=
=
100100 715
15 C3
12 C3
7
Puisque chacun des événements décrits par les quatre cas sont
mutuellement exclusifs, la somme des probabilités individuelles
détermine la probabilité d’obtenir trois billes rouges lors du second
tirage:
4
28
42
14
88
8
.
+
+
+
=
=
715 715 715 715 715 65
À toi de jouer! (8)
Trouve la probabilité de choisir au hasard le 3 de coeur et le 6 de pique
dans un jeu de cartes contenant 52 cartes si la première carte n'est pas
remise dans le jeu.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 43
Exercice 4
1. Un porte-monnaie contient 5 pièces de 5 cents, 7 pièces de 10 cents et 9 pièces de
1 cent. Si 2 de ces pièces sont choisies au hasard sans remise entre les deux
choix, quelle est la probabilité:
a) de choisir une pièce de 1 cent suivie d’une pièce de 10 cents?
b) de choisir une pièce de 1 cent et une pièce de 10 cents peu importe l’ordre?
c) de choisir une pièce de 10 cents suivie d’une pièce de 5 cents?
d) de choisir une pièce de 10 cents et une pièce de 5 cents peu importe l’ordre?
2. Dans un sac, on place 4 billes rouges et 5 billes vertes.
a) Quelle est la probabilité de choisir successivement une bille rouge et une bille
verte si le tirage est exhaustif (sans remise)?
b) Quelle est la probabilité de choisir successivement une bille rouge et une bille
verte si le tirage s'effectue avec remise?
c) Lors d'un tirage exhaustif, quelle est la probabilité de choisir 4 billes vertes
successivement?
3. Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir exhaustivement (sans remise) 2
cartes d'un jeu de 52 cartes.
a) Quelle est la probabilité de choisir successivement un as et un 10?
b) Quelle est la probabilité de choisir successivement un valet, un as et une
dame?
4. Si on lance une pièce de monnaie deux fois, quelle est la probabilité d'obtenir deux
faces de suite?
5. Suppose que tu lances une pièce de monnaie et un dé.
a) Fais la liste des éléments qui composent l'espace échantillonnal (P=pile;
F=face).
b) Trouve la probabilité d’obtenir pile et un 3.
c) Trouve la probabilité d’obtenir face et un nombre inférieur à 4.
6. On lance une paire de dés 2 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir:
a) une somme de 7 à chaque fois?
b) une somme de 3 à chaque fois?
P. 44 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
7. Suppose que la probabilité que tu réussisses un examen de Mathématiques est de
0,95 alors que celle de réussir l’examen de Chimie est 0,92. Si ces deux
événements sont indépendants, trouve la probabilité, sous forme décimale, que tu
réussisses:
a) Mathématiques et Chimie
b) Mathématiques ou Chimie
8. Un jeune couple prévoit avoir trois enfants. Détermine la probabilité que la famille
soit composée:
a) d’exactement deux filles en tenant compte du fait que le premier enfant sera
une fille.
b) d’exactement un garçon en tenant compte que le second enfant sera un
garçon.
c) d’aucun garçon en tenant compte que les deux premiers enfants seront des
filles.
9. Les numéros 1 à 25 sont inscrits sur des morceaux de papier et mis dans un sac.
Les numéros 21 à 40 sont inscrits sur d’autres morceaux de papier est mis dans un
second sac. On tire un numéro au hasard dans chaque sac. Calcule la probabilité
des événements suivants:
a) les 2 numéros sont des 20.
b) les 2 numéros sont supérieurs à 10.
c) ni l’un, ni l’autre ne sont des 20.
d) au moins 1 des deux numéros est un 23.
e) les deux numéros sont entre 20 et 25 inclusivement.
10. Lors d’un jeu télévisé, une participante doit déterminer le prix d’une automobile à
partir des boules numérotées dans un sac. Il y a une boule numérotée 2, un autre
numérotée 3, une autre numérotée1, la quatrième numérotée 7 et la dernière
numérotée 0. En plus des cinq boules numérotées, il y a trois boules rouges
marquées d’un X. Le but du jeu consiste à déterminer le prix de la voiture en
plaçant chaque boule numérotée pigée dans le bon ordre avant de choisir les trois
boules marquées d’un X. Lorsqu’une boule numérotée est pigée, celle-ci doit être
placée dans le bon ordre sinon elle retourne dans le sac. Madame Leconte qui
participe à ce jeu en est déjà à choisir sa quatrième boule. Elle a déjà choisi la
boule 2 et la boule 7 qu’elle a placées correctement. Elle a aussi déjà sorti une
boule rouge du sac. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse les trois autres
boules numérotées avant de choisir une autre boule marquée d’un X (en
supposant qu’elle place chaque boule numérotée dans le bon ordre)?
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 45
Probabilités compatibles, indépendantes, incompatibles et dépendantes.
Comment s’y reconnaître?
À ce point-ci de notre étude des probabilités, tu dois commencer à te demander
comment faire pour savoir si un problème te demande de calculer la probabilité
d’événements mutuellement exclusifs, compatibles, indépendants ou dépendants.
Nous avons traité ces types d’événements en deux catégories de manière à éviter
la confusion. Toutefois, il faut savoir les reconnaître afin de bien résoudre. Tu as
sans doute remarqué que lorsqu’on te demande de calculer la probabilité qu’un
événement A ou un événement B se produise, le symbole È est impliqué dans la
formule: P ( A È B ) . Il s’agit d’événements compatibles ou incompatibles (qui
s’excluent mutuellement). Lorsqu’on demande de trouver la probabilité que les
événements A et B se produisent, le symbole Ç intervient dans la formule de la
probabilité: P ( A Ç B ) . Il s’agit alors d’événements qui sont soit indépendants ou
dépendants. Toutefois, une certaine mise en garde s’impose au sujet de ces
généralisations. L’exemple 24 montre qu’il faut parfois être prudent lorsqu’on
applique cette règle. À ce point-ci, il serait bon de faire un résumé contenant
quelques exemples pertinents des différents types d’événements
Autoévaluation
Réponds aux questions suivantes dans ton cahier d’exercices.
1. Ai-je bien assimilé les deux grandes catégories d’événements?
2. Suis-je en mesure de différencier un événement compatible d’un événement
incompatible?
3. Suis-je en mesure de distinguer un événement indépendant d’un événement
dépendant?
4. Quelles sont les notions que je dois approfondir avant de continuer?
5. Quel aide ou quelles précisions dois-je obtenir de l’enseignant.e avant de
continuer?
6. Pour les quatre problèmes suivants, détermine s'il s'agit d'événements
incompatibles, compatibles, indépendants ou dépendants, puis résous.
a) Quelle est la probabilité de recevoir successivement deux as si la première
carte n'est pas remise dans le jeu?
b) Lorsqu'on lance un dé ainsi qu'une pièce de monnaie, quelle est la probabilité
d'obtenir un nombre plus grand que 4 ou d'obtenir « face »?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir successivement deux coeurs, si la première
carte est remise dans le paquet avant de tirer la seconde?
d) Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 ou un 3 si on lance le dé une fois?
P. 46 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
8. Le théorème du binôme
8.1 Triangle de Pascal
Examine l'expression suivante:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
Lorsqu'on s'attarde uniquement aux coefficients, on obtient le schéma suivant.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Il s'agit d'un triangle de nombres proposé par Blaise Pascal (1623-1662),
mathématicien et philosophe français. Les nombres dans ce triangle
correspondent aux coefficients des développements des puissances successives
de a + b, c'est-à-dire de (a + b)0, (a + b)1, (a + b)2, etc.
Si on voulait développer ce tableau davantage, c'est-à-dire, si on voulait faire
l’expansion de cette équation en ajoutant la prochaine ligne, on obtiendrait:
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Le triangle devient donc:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
On remarque qu’à l’exception des 1 situés en bordure du triangle, chaque
coefficient est obtenu en faisant la somme des deux termes de la ligne précédente
situés à gauche et à droite de celui-ci.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 47
Quels seraient les termes de la ligne suivante?
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Quelle est l'utilité de ce triangle dans le calcul des probabilités? La section
suivante présente le théorème qui permet d'obtenir le développement du terme
binomial. Ce théorème permet de calculer les probabilités lorsqu'on a plusieurs
répétitions de deux événements qui ont des probabilités égales de se produire (par
exemple, jeu de pile ou face).
À toi de jouer! (9)
Utilise le triangle de Pascal pour trouver les coefficients des termes de
l’expansion de ( a + b ) .
10
P. 48 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
8.2 Théorème du binôme
Les diagrammes en arbre peuvent être utiles pour obtenir la probabilité de
certains événements qui ont des probabilités à peu près égales de se réaliser.
Toutefois, ces diagrammes peuvent être difficiles à tracer lorsque les
événements se produisent à plusieurs reprises. Par exemple, suppose qu'une
personne participe à une épreuve aléatoire où la probabilté de gagner (G) est
identique à celle de perdre (P). Quelle est la probabilité de gagner à 2 reprises
et de perdre à 2 reprises si elle répète l'épreuve 4 fois. Le diagramme suivant
montre cette situation où G = gagner et P=perdre.
En examinant les résultats fournis par ce diagramme, on voit que la probabilité
de gagner à deux reprises et de perdre à deux reprises est de 6/16 ou 3/8.
Pour éliminer les diagrammes en arbre qui seraient trop imposants, les
mathématiciens ont développé des méthodes qui simplifient la tâche de celui ou
celle qui tente d'obtenir ce genre de probabilité. Cette méthode s'appuie sur le
développement de l'expression binomiale. Par exemple, si nous voulons obtenir
la probabilité de gagner à deux reprises et de perdre à deux reprises, nous
pourions faire l’expansion du terme binomial de la façon suivante:
(G + P)4 = 1G4 + 4G3P + 6G2P2 + 4GP3 + 1P4
On remarque que la somme des coefficients correspond au nombre de
possibilités (24) et que le coefficient du terme 6G2P2 représente le nombre de
fois l’événement gagner 2 fois et perdre 2 fois se produit. La probabilité est donc
de 6/16 ou 3/8. On voit donc l’utilité du triangle de Pascal pour trouver les
coefficients lors du développement d’une telle expression.
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 49
Toutefois, trouver le coefficient de a17b2 dans le développement du binôme
(a+b)n peut être long si on se fie uniquement au triangle de Pascal. Pour
simplifier ce problème, on utilise le théorème du binôme.
Théorème du binôme
(a + b)
n
= n C0 a n + n C1a n -1b1 + n C2 a n - 2 b 2 + n C3 a n - 3b 3 + ... + n Cn b n
où n est la somme des exposants de a et de b
Pour ( a - b ) , les termes de rang pair sont négatifs.
n
Terme général de ( a ± b )
n
Si r est le rang du terme, le r ième terme du développement
de ( a + b ) est
n
n
Cr -1a
n - ( r -1) r -1
b
Exemple 25: À l’aide du théorème du binôme, trouve les termes de ( a + b ) .
6
Solution: Puisque n=6, l’expansion du binôme est:
(a + b)
6
= 6 C0 a 6 + 6 C1a 6 -1b1 + 6 C2 a 6 - 2b 2 + 6 C3 a 6 -3b3
+ 6 C4 a 6 - 4b 4 + 6 C5 a 6 -5b5 + 6 C6b 6
(a + b)
6
= a 6 + 6 a 5b + 15a 4 b 2 + 20 a 3b 3 + 15a 2b 4 + 6 ab 5 + b 6
Exemple 26: Développe ( 3 x - 2 y )
4
Solution: Dans ce cas, a=3x, b=2y, n=4 et le signe est négatif, ce qui veut dire
que les termes de rang pair seront négatifs.
P. 50 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
( 3x - 2 y )
4
= 4 C0 ( 3 x ) - 4 C1 ( 3 x ) ( 2 y ) + 4 C2 ( 3 x ) ( 2 y )
4
3
- 4 C3 ( 3 x )( 2 y ) + 4 C4 ( 2 y )
3
( 3x - 2 y )
4
2
2
4
= 1( 81x 4 ) - 4 ( 27 x3 ) ( 2 y ) + 6 ( 9 x 2 )( 4 y 2 )
- 4 ( 3 x ) ( 8 y 3 ) + 1(16 y 4 )
( 3x - 2 y )
4
= 81x 4 - 216 x 3 y + 216 x 2 y 2 - 96 xy 3 + 16 y 4
æ 2x y ö
- ÷.
3
2ø
è
Exemple 27: Trouve le sixième terme de ç
Solution:
r = 6, n = 9, a =
y
2x
et b =
3
2
Puisque r est pair et que le signe du binôme est négatif, le terme
que nous tentons d’obtenir sera négatif.
- n C r -1a
n - ( r -1) r -1
b
4
Le 6
ième
5
æ 16 x 4 ö æ y 5 ö
æ 2x ö æ y ö
terme = - 9 C5 ç
÷ç ÷
÷ ç ÷ = -126 ç
è 3 ø è2ø
è 81 ø è 32 ø
Le 6ième terme =
-7 4 5
x y
9
À toi de jouer! (10)
Utilise le théorème du binôme pour trouver les termes de ( a + b ) .
10
À toi de jouer! (11)
11
Détermine le 7
ième
æ 5 1 ö
terme de l’expansion de ç x + 2 ÷ .
x ø
è
À toi de jouer! (12)
Quel est le terme central du développement de ( 3 x - 2 ) ?
9
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 51
Le théorème du binôme peut être utilisé pour résoudre des problèmes de
probabilités ayant les caractéristiques suivantes:
- il y a deux possibilités de résultats (par exemple avec succès et sans succès);
- les événements sont indépendants;
- la probabilité de chaque événement est égale à celle de l'autre.
On peut donc dire que dans la vie quotidienne, la plupart des développements de
binômes ont trait à deux événements ayant des probabilités à peu près égales de
se produire, tels que le résultat obtenu en lançant une pièce de monnaie, la
naissance de garçons et de filles dans la famille, l'ouverture ou la fermeture d'un
circuit électrique, ainsi de suite.
Exemple 28: Trouve la probabilité qu'une famille avec 3 enfants ait 2 filles et 1
garçon.
Solution:
Soit f, une fille et g, un garçon. Alors,
(f
f= ½ et g = ½
+ g ) = 3 C0 f 3 + 3 C1 f 2 g + 3 C 2 fg 2 + 3 C3 g 3
3
L'expression recherchée est 3 C1 f 2 g
2
æ1ö æ1ö 3
3 C1 f g = 3 ç
÷ ç ÷=
2
è ø è2ø 8
2
Exemple 29: On lance une pièce de monnaie 6 fois. Calcule la probabilité
d’obtenir 3 piles et 3 faces.
Solution:
3
3
Soit p=pile et f=face. Le terme recherché est 6 C3 p f . Puisqu’il
s’agit d’une pièce de monnaie à deux faces, les probabilités de p
et de f sont toutes deux égales à
1
. La probabilité d’obtenir 3
2
piles et 3 faces est:
3
À toi de jouer! (13)
3
æ1ö æ1ö
æ 1 ö 5
6 C3 ç
÷ ç ÷ = 20 ç ÷ =
è2ø è2ø
è 64 ø 16
Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité d’obtenir 5 faces et 1 pile?
P. 52 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exercice 5
1. Calcule chacune des expression suivantes.
2
æ1ö æ2ö
a) 5 C3 ç ÷ ç ÷
è3ø è 3ø
3
æ 1 öæ 5 ö
4 C1 ç
÷ç ÷
è 6 øè 6 ø
b)
3
3
æ1ö æ1ö
c) 6 C3 ç ÷ ç ÷
è2ø è2ø
3
2. Développe chacune des expressions suivantes.
a) (x + y)5
b) (x - y)4
d) (3x - 1)3
e) (2x - y)6
c) (a + b)3
3. Quel est le coefficient de x2y3 dans chacune des expressions suivantes?
a) (x + y)5
b) (2x + y)5
c) (x - 2y)5
4. Dans le développement de (a + b)25, un des termes est akb10.
a) Quelle est la valeur de k?
b) Quelle est la valeur numérique du coefficient de ce terme?
5. Chaque terme ci-dessous est compris dans l’expansion de ( a + b ) . Quelle est la
n
valeur de n dans chaque cas?
7
a) 36a b
2
4
b) 70a b
4
2
c) 21a b
5
42
d) 43a b
8
e) 3003a b
6
6. Sans développer le binôme complètement, trouve le terme indiqué.
a) le 7ième terme de ( a + b )
d) le 10ième terme de ( 2 x - y )
b) le 6ième terme de ( a - b )
e) le 15ième terme de ( x - y )
10
13
14
c) le 4ième terme de
( x + 3y)
8
20
f) le 7ième terme de ( x + 3 )
10
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 53
7. Une enseignante demande à un de ses élèves de développer le binôme
(x
2
+ y 3 ) . Voici le travail présenté par l’élève:
(a + b)
4
4
= a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab3 + b 4
= ( x2 ) + ( x2 )
4
3
( y ) + ( x ) ( y ) + ( x )( y ) + ( y )
3
2 2
3 2
2
3 3
3 4
= x8 + x 6 y 3 + x 4 y 6 + x 2 y 9 + y12
Quelle erreur l’élève a-t-il commis dans le développement du binôme?
8. Trouve la probabilité d'obtenir 4 faces et 2 piles en lançant une pièce de monnaie
six fois.
9. Un sac contient 25 billes rouges et 25 billes vertes. On y choisit, aléatoirement, 15
billes lors de quinze tirages avec remise. En utilisant le théorème binomial, trouve
la probabilité d'obtenir 11 billes rouges et 4 billes vertes.
10. Quelle est la probabilité d'obtenir cinq fois la face 1 en lançant le dé 10 fois?
11. Dans une famille de 5 enfants, calcule la probabilité d’avoir:
a) 3 garçons et 2 filles.
b) 3 filles et 2 garçons.
c) 4 garçons et 1 fille.
d) 5 filles.
e) des enfants tous du même sexe.
f) au moins 3 filles.
g) au moins 1 garçon.
12. On lance une pièce de monnaie 3 fois. Calcule la probabilité des événements
suivants:
a) 3 faces.
b) exactement 2 faces.
c) au moins 2 faces.
d) pas plus de 2 faces.
P. 54 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Réponses aux exercices
Exercice 1
1.
a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(E) = 1
E = { 3}
P(E) =
n(E) 1
=
n(S ) 6
b) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n( S ) = 6
n(E) = 2
E= { 5, 6}
P(E) =
n( S ) = 6
1
3
n( S ) = 6
n(E) = 4
c) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = { 1, 2, 3, 4}
P(E) =
2
3
d) événement certain
P=1
e) événement impossible P = 0
2.
3.
1
13
1
b)
26
1
c)
52
a)
a)
1
4
d)
e)
f)
b)
1
3
2
13
1
13
1
2
c)
g)
2
3
4
13
d) Chances 1 contre 11
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 55
( )
4.
P E =
5.
a)
6.
a)
7.
a)
8.
a)
9.
a)
2
3
2
b) 3 contre 2
5
1
b) 1
= 0, 25
4
1
1
b)
6
3
1
0
b)
11
1
720
b)
20
1
8
1
c)
2
1
c)
11
1
c)
15
c)
d)
2
3
d)
1
720
10. Pour choisir les 6 entiers parmi les 49 disponibles, il y a
49
C6 = 13983816
combinaisons, mais il n’y a qu’une seule possibilité de choisir une combinaison
identique à celle du tirage: 6 C6 = 1 . La probabilité de choisir la bonne
combinaison de six entiers est donc: P ( 6 ) =
C6
1
=
= 0, 0000001 .
C
13983816
49 6
6
La probabilité d’obtenir 5 des six entiers se calcule de la manière suivante:
P (5) =
6
C5 × 43 C1
258
=
= 0, 0000184 . On calcule les autres
13983816
49 C6
probabilités d’une manière analogue: P ( 4 ) = 0, 0009686 ; P ( 3 ) = 0, 0176504 ;
P ( 2 ) = 0,1323780 ; P (1) = 0, 4130195 et
P (0) =
6
C0 × 43 C 6
6096454
=
= 0, 4359650 .
13983816
49 C6
P. 56 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
Exercice 2
1. a) {3, 5, 7}
b)
c) A Ç B = { 3, 5, 7}
d) dans A et B = { 3, 5, 7}
e) A È B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
A
A
B
A
A
B
A
È B = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
È C = { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 20}
È C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20}
Ç B = { 2, 7, 9, 12}
Ç C = { 3, 7, 12, 17, 20}
Ç C = { 5, 7,12}
Ç B Ç C = { 7, 12}
3.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
62
12
35
249
62/249
170/249
232/249
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 57
4.
a)
6
3
=
100 50
58 29
f)
=
100 50
b)
5.
c)
73
100
c)
10 1
=
60 6
d)
64 16
=
100 25
e)
a)
b)
15 1
=
60 4
P. 58 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
d)
35 7
=
60 12
15
3
=
100 20
Exercice 3
1.
a) 7/20
b)
9/10 c)
1,5
d) Non. La probabilité est supérieure à 1.
2
13
4
g)
13
a), c) et d) sont mutuellement exclusifs
4.
a)
5.
a)
6.
a)
7.
a)
8.
a)
9.
a)
10.
3
4
4
5
11
7
c)
36
18
2
1
3
5 3 1
7
3
c)
d)
e)
f)
+ - =
5
5
5
10 10 10 10
5
52
105
11
36
136
37
22
57
c)
d)
e)
f)
g)
455
455
455
455
91
65
7
8
b) 1
b)
b)
b)
b)
d)
3
4
7
e)
f)
4
13
13
3.
b)
c)
3
26
a)
8
15
1
12
2
5
8
105
9
91
3
4
b)
7
13
2.
c)
Exercice 4.
3
20
5
2. a)
18
4
3. a)
663
1. a)
3
1
c)
10
12
20
5
b)
c)
81
126
8
b)
16575
b)
d)
1
6
4 1/4
5. a) S = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6}
b) 1/12
c) 1/4
Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 59
6. a)
1
36
b)
1
324
7. a) (0,95)(0,92)=0,874
b)
0.996
8. S = {GGG, GGF, GFG, GFF, FFF, FFG, FGF, FGG}
9.
a)
10.
1
10
1
525
b)
2
5
c)
32
35
d)
3
35
e)
a)
1
4
b)
1
4
c)
12
175
Exercice 5
1. a) 80/243 b) 125/324
c) 5/16
2. a) x5 + 4x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
b) x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
c) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
d) 27x3 - 27x2 + 9x - 1
e) 64x6 - 192x5y + 240x4y2 - 160x3y3 + 60x2y4 - 12xy5 + y6
3. a) 10
b) 40
c) -80
4. a) 15
b) 3268760
5. a) 9
b) 8
c) 7
d) 43
e) 14
6. a) 210a4b6
b) -2002a9b5
c) 1512x5y3
d) -11440x4y9
e) 38760x6y14
f) 153090x4
7. À discuter
8. 15/64
9. 1365/32768
10. 21875/1679616
5
16
1
12. a)
8
11. a)
5
16
3
b)
8
b)
5
32
1
c)
2
c)
1
32
7
d)
8
d)
P. 60 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité
e)
1
16
f)
1
2
g)
31
32
1
8