Nombres premiers : exemples

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Nombres premiers : exemples
1. Soit aun nombre entier, a>2. On consid`ere sa d´ecomposition en facteurs premiers :
a=pα1
1pα2 2. . . pαk
kD´eterminer la d´ecomposition de anpour n>1.
En ´elevant `a la puissance nla d´ecomposition de a:an=pnα1
1pnα2 2. . . pnαk
k.
Mais est-ce bien ce qu’on appelle «la d´ecomposition en facteurs premiers de an»?
Oui, parce que tous les facteurs p1,p2,. . . ,pnsont distincts (puisqu’ils le
sont par d´efinition dans la d´ecomposition de a), et parce que la d´ecomposition
de tout nombre (ici an) est unique (`a l’ordre pr`es). Donc, comme on a
trouv´e une d´ecomposition en facteurs premiers distincts, c’est forc´ement l’unique
d´ecomposition cherch´ee.
2. Soit aet ndes entiers, avec a>2, et n>1.
D´emontrer que, si un nombre premier pdivise an, alors il divise a.
Cette propri´et´e est-elle encore vraie pour pnon premier ?
Puisque pest un diviseur premier de an, il doit figurer dans la d´ecomposition de
an.
D’apr`es l’exercice pr´ec´edent, la d´ecomposition de ancontient exactement les mˆemes
nombres premiers que celle de a(et pas d’autres facteurs), mais avec des exposants
multipli´es par n.
Donc pfigure n´ecessairement dans la d´ecomposition de a, sinon il ne pourrait pas
figurer dans celle de an.
Donc pdivise a.
La propri´et´e n’est pas vraie pour pnon premier : 8 divise 42mais ne divise pas 4.
3. Soient aet bdeux nombres sup´erieurs ou ´egaux `a 2, et n>1.
D´emontrer que, si andivise bn, alors adivise b
Ne pas consid´erer que cette propri´et´e est ´evidente, et ne pas consid´erer qu’elle fait
partie du cours. Il faut la red´emontrer `a chaque fois
Attention : dans la pr´ec´edente version il y avait une solution avec des congruences,
mais elle est fausse
Soit pun diviseur premier de a, et soit αson exposant dans la d´ecomposition de
a. Alors son exposant dans anest nα. Donc pnα divise anet donc par transitivit´e
il divise aussi bn. Donc pdivise bn, et donc d’apr`es l’exercice pr´ec´edent, il divise
n´ecessairement b. Soit βson exposant dans b. Alors son exposant dans bnest nβ.
Mais puisque andivise bn, on a n´ecessairement nα 6nβ, donc α6β.
Comme ce raisonnement s’applique `a tout diviseur premier de a, cela prouve d’apr`es
un th´eor`eme que adivise b(tout facteur premier de afigure dans bavec un exposant
plus grand ou ´egal).
4. Appliquer la formule de la somme des termes d’une suite g´eom´etrique `a :
1 + 32 + 322+··· + 32n
En d´eduire l’ensemble des xentiers (x>1) tels que 25x−1soit un nombre premier
1 + 32 + 322+··· + 32n=32n+1 −1
31 .
On identifie 25x−1 avec 32n+1 −1 pour x=n+ 1 (sachant que 32 = 25)..
Donc 25x−1 = 31(1 + 32 + 322+··· + 32x−1).
Donc, si 25x−1 est premier alors n´ecessairement 1 + 32 + 322+··· + 32x−1= 1
(sinon 25x−1 aurait plus de deux diviseurs), c’est-`a-dire 25x−1 = 31, soit 32x= 32,
soit x= 1.
x= 1 est donc la seule valeur envisageable.
R´eciproquement, x= 1 est bien une solution car alors 25x−1 = 31 et 31 est
effectivement premier (car il n’est pas divisible par 2 ni par 3 ni par 5, le nombre
premier suivant 7 ´etant sup´erieur `a √31).
R´eponse : L’ensemble des solutions est {1}
5. 743 est-il un nombre premier ?
Tout d´epend des connaissances et des moyens qu’on s’autorise `a utiliser.
Sur la calculatrice TI-89 ou TI-92, on peut ´ecrire factor(743), la r´eponse est 743,
donc cela indique que 743 est premier (car la calculatrice affiche la d´ecomposition
en facteurs pemiers, et donc cela montre qu’il n’y a qu’un facteur premier, qui est
743 lui-mˆeme).
Si on ne s’autorise pas cette possibilit´e, on utilise le th´eor`eme qui dit que 743 sera
premier si et seulement si il n’est divisible par aucun nombre premier inf´erieur ou
´egal `a √743 ≈27,3.
On divise 743 par 2,3,5,7,11,13,17,19 et 23.
Mais jusqu’o`u est-on suppos´e connaˆıtre la liste des nombres premiers ? Ce n’est pas
tr`es clair. Apr`es tout, on pourrait dire : je connais la liste des nombres premiers
jusqu’`a 743 et je sais qu’il est premier. Mais ce serait suspect : il faudrait connaˆıtre
plus de 100 nombres premiers par coeur.

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Disons qu’on peut connaˆıtre ou retrouver la liste des 15 premiers nombres premiers,
mais apr`es il faut une d´emonstration.
Ici, il faut ensuite justifier que 743 n’est divisible par aucun de ces nombres. Se
contenter de l’affirmer n’est pas suffisant. On peut par exemple donner les restes
des divisions euclidiennes :
p23571113171923
reste(743, p) 1 2 3 1 6 2 12 2 7
Aucun reste n’est nul.
Donc finalement 743 est premier.
6. Soit nun entier naturel non nul. Quel est le nombre de diviseurs de 2n×52?
Quelle est la somme de tous ces diviseurs ?
2 et 5 sont premiers, donc d’apr`es un th´eor`eme du cours le nombre de diviseurs est
(n+ 1) ×(2 + 1) = 3(n+ 1) .
Les diviseurs sont les nombres 2α×5βavec 0 6α6net 0 6β62. Classons les
suivant la valeur de βet faisons la somme partielle dans chaque cat´egorie :
Pour β= 0 : 50(1 + 2 + ··· + 2n) = 1−2n+1
1−2= (2n+1 −1)
Pour β= 1 : 51(1 + 2 + ··· + 2n) = 5 ×1−2n+1
1−2= 5(2n+1 −1)
Pour β= 2 : 52(1 + 2 + ··· + 2n) = 25 ×1−2n+1
1−2= 52(2n+1 −1)
Donc la somme totale est : (1 + 5 + 25)(2n+1 −1) = 31(2n+1 −1)
Exemple si n= 2 (alors 2n×52= 4 ×25 = 100)
les diviseurs sont 1,2,4,5,10,20,25,50,100, il y en a 9 et leur somme vaut 217 =
31 ×7.
7. Soient aet bdeux entiers naturels avec a>2et b>2. Soit pun nombre premier.
D´emontrer que, si pdivise a+bet ab, alors il divise aet b.
On utilise la propri´et´e suivante : si un nombre premier divise un produit, alors il
divise au moins un des facteurs du produit. En effet, la d´ecomposition d’un produit
ab en facteurs premiers s’obtient en faisant le produit des d´ecompositions de aet
b, et donc tout facteur premier du r´esultat provient n´ecessairement d’un au moins
des nombres aou b.
Ici, ppremier divise ab, donc il divise aou b. Par exemple, s’il divise a, alors comme
il divise a+bet a, il divise aussi leur diff´erence a+b−a=b. De mˆeme si on avait
choisi b,pdivise acar a=a+b−b. Donc dans tous les cas pdivise aet b.
Attention : si un nombre quelconque ddivise un produit ab, il ne divise pas
forc´ement l’un des facteurs aou b: 12 divise 4 ×3, mais il ne divise ni 4 ni 3.
8. D´eterminer l’ensemble des entiers naturels ntels que le nombre x=n2−5n+ 6 soit
un nombre premier.
On cherche `a factoriser x: les racines du trinˆome sont 2 et 3, donc on peut le
factoriser : x= (n−2)(n−3)
Dans tous les cas o`u les deux facteurs n−2 et n−3 sont strictement sup´erieurs `a
1, xne sera pas premier. Donc, si n>5, xn’est pas premier .
Il faut ´etudier un par un les cas restants :
n01234
x62002
Donc l’ensemble des solutions est {1; 4}
9. Soit pun nombre premier , p>5. D´emontrez que pest de la forme 6k−1ou 6k+ 1
On raisonne par l’absurde, puis par cas.
Dire que pn’est pas d’une des formes donn´ees voudrait dire qu’il est d’une forme
6k, ou 6k+ 2, ou 6k+ 3, ou 6k+ 4.
Dans chacun de ces cas, il serait divisible par 2 ou par 3. Mais comme il est premier,
les seules possibilit´es seraient qu’il soit ´egal `a 2 ou `a 3, ce qui est impossible puisqu’il
est sup´erieur ou ´egal `a 5.
Remarque : on a utilis´e la propri´et´e suivante (dans N) :
si pest premier et s’il est divisible par qpremier, alors p=q.
10. Soit n>2et , pour tout k>0,xk=n! + k.
D´emontrer que x2, x3, . . . , xnsont tous compos´es (non premiers).
En d´eduire dans Nune suite de 100 nombres cons´ecutifs qui ne sont pas premiers.
Rappel (factorielle) : la notation «!»est d´efinie par n!=1×2×3··· × n.
Par combinaisons lin´eaires, x2est divisible par 2, x3est divisible par 3, . . . xnest
divisible par n. Mais cela ne prouve pas forc´ement qu’ils ne sont pas premiers (tout
nombre premier est divisible par lui-mˆeme).
On va montrer de plus que, pour 2 6k6n, on a xk> k (alors xksera divisible
par kmais strictement sup´erieur `a k, et donc xkne sera pas premier).
En effet, xk=n! + ket donc xk> k puisque n!>0.
Donc aucun des n−1 nombres cons´ecutifs x2, x3, . . . , xnn’est premier. Pour obtenir
100 nombres cons´ecutifs qui ne sont pas premiers, il suffit de choisir n= 101.
Une r´eponse est donc : 101! + 2,101! + 3, . . . 101! + 101