Nombres premiers : exemples

Nombres premiers : exemples
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Nombres premiers : exemples
1. Soit a un nombre entier, a > 2. On considère sa décomposition en facteurs premiers :
αk
n
1 α2
a = pα
1 p2 . . . pk Déterminer la décomposition de a pour n > 1.
1 nα2
k
En élevant à la puissance n la décomposition de a : an = pnα
p2 . . . pnα
.
1
k
Mais est-ce bien ce qu’on appelle « la décomposition en facteurs premiers de an » ?
Oui, parce que tous les facteurs p1 , p2 , . . . , pn sont distincts (puisqu’ils le
sont par définition dans la décomposition de a), et parce que la décomposition
de tout nombre (ici an ) est unique (à l’ordre près). Donc, comme on a
trouvé une décomposition en facteurs premiers distincts, c’est forcément l’unique
décomposition cherchée.
2. Soit a et n des entiers, avec a > 2, et n > 1.
Démontrer que, si un nombre premier p divise an , alors il divise a.
Cette propriété est-elle encore vraie pour p non premier ?
Puisque p est un diviseur premier de an , il doit figurer dans la décomposition de
an .
D’après l’exercice précédent, la décomposition de an contient exactement les mêmes
nombres premiers que celle de a (et pas d’autres facteurs), mais avec des exposants
multipliés par n.
Donc p figure nécessairement dans la décomposition de a, sinon il ne pourrait pas
figurer dans celle de an .
Donc p divise a.
La propriété n’est pas vraie pour p non premier : 8 divise 42 mais ne divise pas 4.
3. Soient a et b deux nombres supérieurs ou égaux à 2, et n > 1.
Démontrer que, si an divise bn , alors a divise b
Ne pas considérer que cette propriété est évidente, et ne pas considérer qu’elle fait
partie du cours. Il faut la redémontrer à chaque fois
Attention : dans la précédente version il y avait une solution avec des congruences,
mais elle est fausse
Soit p un diviseur premier de a, et soit α son exposant dans la décomposition de
a. Alors son exposant dans an est nα. Donc pnα divise an et donc par transitivité
il divise aussi bn . Donc p divise bn , et donc d’après l’exercice précédent, il divise
nécessairement b. Soit β son exposant dans b. Alors son exposant dans bn est nβ.
Mais puisque an divise bn , on a nécessairement nα 6 nβ, donc α 6 β.
Comme ce raisonnement s’applique à tout diviseur premier de a, cela prouve d’après
un théorème que a divise b (tout facteur premier de a figure dans b avec un exposant
plus grand ou égal).
4. Appliquer la formule de la somme des termes d’une suite géométrique à :
1 + 32 + 322 + · · · + 32n
En déduire l’ensemble des x entiers (x > 1) tels que 25x − 1 soit un nombre premier
32n+1 − 1
1 + 32 + 322 + · · · + 32n =
.
31
5x
n+1
On identifie 2 − 1 avec 32
− 1 pour x = n + 1 (sachant que 32 = 25 )..
Donc 25x − 1 = 31(1 + 32 + 322 + · · · + 32x−1 ).
Donc, si 25x − 1 est premier alors nécessairement 1 + 32 + 322 + · · · + 32x−1 = 1
(sinon 25x −1 aurait plus de deux diviseurs), c’est-à-dire 25x −1 = 31, soit 32x = 32,
soit x = 1.
x = 1 est donc la seule valeur envisageable.
Réciproquement, x = 1 est bien une solution car alors 25x − 1 = 31 et 31 est
effectivement premier (car il n’est pas
√ divisible par 2 ni par 3 ni par 5, le nombre
premier suivant 7 étant supérieur à 31).
Réponse : L’ensemble des solutions est {1}
5. 743 est-il un nombre premier ?
Tout dépend des connaissances et des moyens qu’on s’autorise à utiliser.
Sur la calculatrice TI-89 ou TI-92, on peut écrire factor(743), la réponse est 743,
donc cela indique que 743 est premier (car la calculatrice affiche la décomposition
en facteurs pemiers, et donc cela montre qu’il n’y a qu’un facteur premier, qui est
743 lui-même).
Si on ne s’autorise pas cette possibilité, on utilise le théorème qui dit que 743 sera
premier√si et seulement si il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou
égal à 743 ≈ 27, 3.
On divise 743 par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.
Mais jusqu’où est-on supposé connaı̂tre la liste des nombres premiers ? Ce n’est pas
très clair. Après tout, on pourrait dire : je connais la liste des nombres premiers
jusqu’à 743 et je sais qu’il est premier. Mais ce serait suspect : il faudrait connaı̂tre
plus de 100 nombres premiers par coeur.
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Disons qu’on peut connaı̂tre ou retrouver la liste des 15 premiers nombres premiers,
mais après il faut une démonstration.
Ici, il faut ensuite justifier que 743 n’est divisible par aucun de ces nombres. Se
contenter de l’affirmer n’est pas suffisant. On peut par exemple donner les restes
des divisions euclidiennes :
p
2
reste(743, p) 1
3
2
5
3
7
1
11
6
13
2
17
12
19
2
23
7
Aucun reste n’est nul.
Donc finalement 743 est premier.
6. Soit n un entier naturel non nul. Quel est le nombre de diviseurs de 2n × 52 ?
Quelle est la somme de tous ces diviseurs ?
2 et 5 sont premiers, donc d’après un théorème du cours le nombre de diviseurs est
(n + 1) × (2 + 1) = 3(n + 1) .
Les diviseurs sont les nombres 2α × 5β avec 0 6 α 6 n et 0 6 β 6 2. Classons les
suivant la valeur de β et faisons la somme partielle dans chaque catégorie :
1 − 2n+1
Pour β = 0 : 50 (1 + 2 + · · · + 2n ) =
= (2n+1 − 1)
1−2
1 − 2n+1
= 5(2n+1 − 1)
Pour β = 1 : 51 (1 + 2 + · · · + 2n ) = 5 ×
1−2
1 − 2n+1
Pour β = 2 : 52 (1 + 2 + · · · + 2n ) = 25 ×
= 52 (2n+1 − 1)
1−2
Donc la somme totale est : (1 + 5 + 25)(2n+1 − 1) = 31(2n+1 − 1)
Exemple si n = 2 (alors 2n × 52 = 4 × 25 = 100)
les diviseurs sont 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, il y en a 9 et leur somme vaut 217 =
31 × 7.
7. Soient a et b deux entiers naturels avec a > 2 et b > 2. Soit p un nombre premier.
Démontrer que, si p divise a + b et ab, alors il divise a et b.
On utilise la propriété suivante : si un nombre premier divise un produit, alors il
divise au moins un des facteurs du produit. En effet, la décomposition d’un produit
ab en facteurs premiers s’obtient en faisant le produit des décompositions de a et
b, et donc tout facteur premier du résultat provient nécessairement d’un au moins
des nombres a ou b.
Ici, p premier divise ab, donc il divise a ou b. Par exemple, s’il divise a, alors comme
il divise a + b et a, il divise aussi leur différence a + b − a = b. De même si on avait
choisi b, p divise a car a = a + b − b. Donc dans tous les cas p divise a et b.
Attention : si un nombre quelconque d divise un produit ab, il ne divise pas
forcément l’un des facteurs a ou b : 12 divise 4 × 3, mais il ne divise ni 4 ni 3.
8. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le nombre x = n2 − 5n + 6 soit
un nombre premier.
On cherche à factoriser x : les racines du trinôme sont 2 et 3, donc on peut le
factoriser : x = (n − 2)(n − 3)
Dans tous les cas où les deux facteurs n − 2 et n − 3 sont strictement supérieurs à
1, x ne sera pas premier. Donc, si n > 5, x n’est pas premier .
Il faut étudier un par un les cas restants :
n 0
x 6
1
2
2
0
3
0
4
2
Donc l’ensemble des solutions est {1; 4}
9. Soit p un nombre premier , p > 5. Démontrez que p est de la forme 6k − 1 ou 6k + 1
On raisonne par l’absurde, puis par cas.
Dire que p n’est pas d’une des formes données voudrait dire qu’il est d’une forme
6k, ou 6k + 2, ou 6k + 3, ou 6k + 4.
Dans chacun de ces cas, il serait divisible par 2 ou par 3. Mais comme il est premier,
les seules possibilités seraient qu’il soit égal à 2 ou à 3, ce qui est impossible puisqu’il
est supérieur ou égal à 5.
Remarque : on a utilisé la propriété suivante (dans N) :
si p est premier et s’il est divisible par q premier, alors p = q.
10. Soit n > 2 et , pour tout k > 0, xk = n! + k.
Démontrer que x2 , x3 , . . . , xn sont tous composés (non premiers).
En déduire dans N une suite de 100 nombres consécutifs qui ne sont pas premiers.
Rappel (factorielle) : la notation « ! » est définie par n! = 1 × 2 × 3 · · · × n.
Par combinaisons linéaires, x2 est divisible par 2, x3 est divisible par 3, . . . xn est
divisible par n. Mais cela ne prouve pas forcément qu’ils ne sont pas premiers (tout
nombre premier est divisible par lui-même).
On va montrer de plus que, pour 2 6 k 6 n, on a xk > k (alors xk sera divisible
par k mais strictement supérieur à k, et donc xk ne sera pas premier).
En effet, xk = n! + k et donc xk > k puisque n! > 0.
Donc aucun des n−1 nombres consécutifs x2 , x3 , . . . , xn n’est premier. Pour obtenir
100 nombres consécutifs qui ne sont pas premiers, il suffit de choisir n = 101.
Une réponse est donc : 101! + 2, 101! + 3, . . . 101! + 101