Diviseurs et multiples

Diviseurs et multiples
 Diviseurs et Multiples
1. Notation : Si a, b et c sont des nombres naturels non nuls,
alors a = b . c signifie que
b et c divisent a ;
b et c sont des diviseurs de a ;
a est divisible par b et c ;
a est un multiple de b et de c.
2. Exemple : 18 = 3 . 6 signifie que
3 et 6 divisent 18 ;
3 et 6 sont des diviseurs de 18 ;
18 est divisible par 3 et 6 ;
18 est un multiples de 3 et de 6.
3. Remarques : - o est multiple de tous les naturels.
- 1 est diviseur de tous les naturels.
 Définitions d’ensemble de diviseurs et d’ensemble de multiples
Ensemble de diviseurs :
a étant un naturel, l’ensemble des diviseurs de a se note div a. div a = {1,…,a}
Ex : div 16 = { 1, 2 , 4, 8 , 16}
Ensemble de multiples :
A étant un naturel, l’ensemble des multiples de a se note aN. aN = {0, a, 2a, 3a, 4a,…}
Ex : 11N = {0, 11, 22, 33, 44,…}
 Propriétés
1. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur somme.
=> a, b, c, étant des nombres naturels : si a divise b et c, alors a divise b + c
Ex : 
 et   alors   =   = 6
2. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur différence.
=> a, b, c, étant des nombres naturels : si a divise b et c, alors a divise b – c
(avec b plus grand que c ou b > c).
Ex : 

 Caractères de divisibilité
1. Un naturel est divisible
par - 2 si le dernier chiffre est pair, c.-à-d. 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 5 si le dernier est chiffre est 0 ou 5,
- 10 si le dernier chiffre est 0.
2. Un naturel est divisible
par - 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de 4,
- 25 si les deux derniers chiffres forment un multiple de 25, c.-à-d. 00, 25, 50, 75.
- 100 si les deux derniers chiffres sont 00.
3. Un naturel est divisible
par - 8 si les trois derniers chiffres forment un multiple de 8,
- 125 si les trois derniers chiffres forment un multiple de 125,
- 1000 si les trois derniers chiffres sont 000.
4. Un naturel est divisible
par - 3 si la somme des chiffres forme un nombre multiple de 3,
- 9 si la somme des chiffres forme un bombre multiple de 9.
 Nombres premiers
1. Un naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs naturels.
Exemple : 23 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 23.
Remarque : ainsi 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’a qu’un seul diviseur : « lui-
même »
2. Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire sous forme d’un produit
de nombres premiers.
Exemple : 24 = 2 x 2 x 2 x 3