Diviseurs et multiples Diviseurs et Multiples 1. Notation : Si a, b et c sont des nombres naturels non nuls, alors a = b . c signifie que b et c divisent a ; b et c sont des diviseurs de a ; a est divisible par b et c ; a est un multiple de b et de c. 2. Exemple : 18 = 3 . 6 signifie que 3 et 6 divisent 18 ; 3 et 6 sont des diviseurs de 18 ; 18 est divisible par 3 et 6 ; 18 est un multiples de 3 et de 6. 3. Remarques : - o est multiple de tous les naturels. - 1 est diviseur de tous les naturels. Définitions d’ensemble de diviseurs et d’ensemble de multiples Ensemble de diviseurs : a étant un naturel, l’ensemble des diviseurs de a se note div a. div a = {1,…,a} Ex : div 16 = { 1, 2 , 4, 8 , 16} Ensemble de multiples : A étant un naturel, l’ensemble des multiples de a se note aN. aN = {0, a, 2a, 3a, 4a,…} Ex : 11N = {0, 11, 22, 33, 44,…} Propriétés 1. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur somme. => a, b, c, étant des nombres naturels : si a divise b et c, alors a divise b + c 4 8 4+8 12 Ex : et alors = =6 2 2 2 2 2. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur différence. => a, b, c, étant des nombres naturels : si a divise b et c, alors a divise b – c (avec b plus grand que c ou b > c). Ex : 9 3 𝑒𝑡 6 3 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 9−6 3 Caractères de divisibilité 1. Un naturel est divisible par - 2 si le dernier chiffre est pair, c.-à-d. 0, 2, 4, 6 ou 8. - 5 si le dernier est chiffre est 0 ou 5, - 10 si le dernier chiffre est 0. 2. Un naturel est divisible par - 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de 4, - 25 si les deux derniers chiffres forment un multiple de 25, c.-à-d. 00, 25, 50, 75. - 100 si les deux derniers chiffres sont 00. 3. Un naturel est divisible par - 8 si les trois derniers chiffres forment un multiple de 8, - 125 si les trois derniers chiffres forment un multiple de 125, - 1000 si les trois derniers chiffres sont 000. 4. Un naturel est divisible par - 3 si la somme des chiffres forme un nombre multiple de 3, - 9 si la somme des chiffres forme un bombre multiple de 9. Nombres premiers 1. Un naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs naturels. Exemple : 23 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 23. Remarque : ainsi 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’a qu’un seul diviseur : « luimême » 2. Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire sous forme d’un produit de nombres premiers. Exemple : 24 = 2 x 2 x 2 x 3