UNSA – Mesure et Topologie – L3 2016

UNSA –Mesure et Topologie –L3 2016-2017
Examen du 3 janvier 2017.
Dur´ee: 2h. Tous documents interdits.
1. Fronti`ere. Soit Eun espace topologique et Aune partie de E. On rappelle
que la fronti`ere Fr(A) est d´efinie par Fr(A) = A\o A.
1.a. Rappeler pourquoi on a des inclusions o A⊂A⊂A. En d´eduire que A
est ouvert si et seulement si A∩Fr(A) = ∅.
1.b. Donner l’exemple d’une partie de Rdont la fronti`ere est R. Donner
l’exemple de deux intervalles I, J de Rtels que Fr(I∪J)6= Fr(I)∪Fr(J).
1.c. Montrer que pour toutes parties A, B de E, on a une inclusion
Fr(A∪B)⊂Fr(A)∪Fr(B).
1.d. Montrer qu’on a ´egalit´e Fr(A∪B) = Fr(A)∪Fr(B) d`es que A∩B=∅.
2. Compacit´e locale et th´eor`eme de Baire. Un espace topologique Eest
dit localement compact si pour tout ouvert non vide Vet tout x∈Vil existe
un ouvert Utel que x∈U⊂U⊂Vet tel que Uest une partie compacte de E.
On rappelle qu’une partie Ade Eest dite dense si A=E.
2.a. Montrer que l’espace euclidien Rnmuni de sa topologie usuelle est
localement compact.
2.b. Montrer qu’une partie Ade Eest dense si et seulement si tout ouvert
non vide de Erencontre A. En d´eduire que deux ouverts denses de Eont une
intersection qui est un ouvert dense de E.
2.c. D´eduire de 2.b que pour toute suite (An)n≥0d’ouverts denses de
Eil existe une suite d´ecroissante (Bn)n≥0d’ouverts denses de Etelles que
Tn≥0An=Tn≥0Bn.En particulier, si Vest un ouvert non vide de E, montrer
que (Bn∩V)n≥0est une suite d´ecroissante d’ouverts non vides de E.
2.d. On suppose que Eest localement compact. Pour tout ouvert non
vide Vde E, construire par r´ecurrence sur nune suite d´ecroissante (Kn)n≥0de
parties compactes d’int´erieur non vide telles que Kn⊂Bn∩V. En d´eduire que
(Tn≥0Bn)∩Vcontient Tn≥0Kn. On rappelle du cours que Tn≥0Kn6=∅.
2.e. D´eduire de 2.b-2.d que dans un espace localement compact une inter-
section d´enombrable d’ouverts denses est dense (c’est le th´eor`eme de Baire).
2.f. Montrer qu’une partie Ade Eest dense si et seulement si E\Aest
d’int´erieur vide. En d´eduire grˆace `a 2.e que dans un espace localement compact
une r´eunion d´enombrable de ferm´es d’int´erieur vide est d’int´erieur vide.
Conclure que pour n > 0 l’espace euclidien Rnn’est pas d´enombrable.

3. Changement de variable lin´eaire. Soit l’espace mesur´e (Rn,BRn, λ)
o`u BRnest la tribu des bor´eliens de Rnet λest la mesure de Lebesgue.
3.a. Montrer que toute fonction mesurable f: (Rn,BRn)→(Rn,BRn) d´efinit
une mesure µfsur (Rn,BRn) par µf(A) = λ(f−1(A)) pour A∈ BRn.
3.b. Montrer que pour toute fonction mesurable φ: (Rn,BRn)→(R,BR), la
fonction compos´ee φ◦fest ´egalement mesurable. Montrer que si φest ´etag´ee
positive alors φ◦f´egalement, et on a:
ZRn
φdµf=ZRn (φ◦f)dλ.
3.c. Montrer que si φ: (Rn,BRn)→(R,BR) est µf-int´egrable alors φ◦fest
λ-int´egrable, et on a:
ZRn
φdµf=ZRn (φ◦f)dλ.
On pourra supposer que φest positive.
3.d. Soit f:Rn→Rnune transformation lin´eaire inversible. Pourquoi la
fonction fest-elle mesurable ? Montrer que la mesure associ´ee µfv´erifie
µf(a+A) = µf(A) pour tout A∈ BRn.
En d´eduire que µf(A)/µf([0,1]n) = λ(A) pour A∈ BRn.
3.e. Montrer que pour forthogonal (resp. diagonal `a termes positifs) on a
µf([0,1]n) = 1 (resp. µf([0,1]n) = 1
det(f)). On admettra que cela entraine que
pour f∈Gln(R) quelconque, on a µf([0,1]n) = 1
|det(f)|.
3.f. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pour f∈Gln(R) et pour φ λ-int´egrable,
on a la formule de changement de variable:
ZRn
(φ◦f)dλ =1
|det(f)|ZRn
φdλ.
Barˆ eme indicatif:
5+7+8=
(1+1+1.5+1.5) + (1+1.5+1.5+1.5+1.5) + (1+1.5+1.5+1.5+1.5+1)