Processus stationnaires et prévision

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master de Math´ematiques
ann´ee 2004-05
Processus stationnaires et pr´evision
Laboratoire de Probabilit´es et Mod`eles Al´eatoires

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Processus stationnaires et pr´evision.
Mode d’emploi
Ce polycopi´e est destin´e aux ´etudiants de l’U.E. “Processus stationnaires et pr´evision” du
Master de Math´ematiques de l’Universit´e Pierre et Marie Curie. En principe il s’adresse
donc `a des ´etudiants ayant suivi un premier cours de probabilit´es. Cependant le chapitre
2 contient un rappel de tous les r´esultats probabilistes utilis´es par la suite. Il est rela-
tivement autonome et peut ´eventuellement ˆetre abord´e par un ´etudiant n’ayant jamais
suivi de cours de probabilit´es. Le chapitre 1 introduit les principales notions de s´eries
et transformations de Fourier, et comporte, en annexe, quelques ´el´ements de la th´eorie
classique du signal d´eterministe. Cette annexe qui, en principe, ne fait pas partie de ce
cours, concerne n´eanmoins tous les ´etudiants d´esirant acqu´erir quelques notions de base
de traitement du signal. Les chapitres 3, 5 et 6 sont consacr´es aux deux sujets essentiels
trait´es dans ce polycopi´e, `a savoir l’´etude spectrale des processus du second ordre et
l’´etude des s´eries chronologiques classiques: Ar, Ma, Arma ainsi que quelques ´el´ements
d’´etude statistique de ces processus.
Un certain nombre de r´esultats sur la “petite” int´egrale stochastique, figurant clas-
siquement dans un cours sur les processus du second ordre, ont ´et´e rassembl´es dans
le chapitre 4 “L’int´egrale stochastique”, car ils ne sont pas vraiment n´ecessaires pour
la compr´ehension des trois chapitres principaux, `a savoir les chapitres 3, 5 et 6. Il est
n´eanmoins vivement recommand´e au lecteur d’en prendre connaissance.
Ce polycopi´e est divis´e en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi 3.2.4 renvoie au
chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie au chapitre 5, section 4. A l’int´erieur
d’une mˆeme section, les ´enonc´es sont num´erot´es en continu. Ainsi “d’apr`es le th. 5.4.6”
renvoie au chapitre 5, section 4, ´enonc´e 6. Quant aux ´egalit´es, elles sont num´erot´ees
entre parenth`eses et en continu au sein d’un mˆeme chapitre. Ainsi “vu (3.5)” r´ef`ere `a la
cinqui`eme ´egalit´e num´erot´ee du chapitre 3. Le signe ” ” indique la fin d’une preuve.
Paolo Baldi qui a enseign´e ce cours en 04-05, s’est tout particuli`erement attach´e `a le
compl´eter par de proc´edures d’estimation dans les mod`eles Arma.
Jean Lacroix

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Table des Mati`eres
1 Analyse de Fourier 7
1.1 Rappels de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Rappels d’Int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction de L2(T, dx) . . . . . . . . . 11
1.2.2 Transformation de Fourier d’une suite de 2(Z) . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Coefficients de Fourier d’une fonction de L1(T, dx) . . . . . . . . . 14
1.3 Transformation de Fourier sur R....................... 16
1.3.1 Transformation de Fourier sur L1(R, dx) .............. 17
1.3.2 Transformation de Fourier sur L2(R, dx) .............. 19
1.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Autocorr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Transform´ee en z................................ 26
1.7 Annexe: Signaux d´eterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.1 Echantillonnage et formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.2 Transform´ee de Fourier sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.3 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Rappels de calcul des probabilit´es 35
2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 V.a. complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Le Mod`ele lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Th´eorie spectrale des processus du second ordre 49
3.1 Processus du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Th´eor`emes de Herglotz et Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Filtrage des processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Repr´esentation spectrale des p.s.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59