Eléments de la trigonométrie

Eléments de la trigonométrie
B. Aoubiza
Département GTR
18 septembre 2002

Table des matières
2 Eléments de la trigonométrie 2
2.1 Angles................................................... 2
2.1.1 Angles — Définition........................................ 2
2.1.2 Angles—Sensd’orientation ................................... 2
2.1.3 Angles—PositionStandard ................................... 2
2.1.4 Angles—Unitésdemesure.................................... 2
2.1.5 NombrePi ............................................ 3
2.2 Anglesetcercles ............................................ 3
2.3 ElémentsdelaTrigonométrie ...................................... 4
2.3.1 Fonctions Trigonométriques — définitionsuruntriangle ................... 4
2.3.2 Fonctions Trigonométriques — définitionsuruncercle..................... 5
2.3.3 Fonctions Trigonométriques — définitionsurlecercleunité.................. 5
2.3.4 Fonctions trigonométriques—Anglesremarquables...................... 5
2.3.5 Fonctions trigonométriques—Ensemblesimages ....................... 8
2.4 GraphesdesFonctionsTrigonométriques................................ 8
2.4.1 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de sin .................. 9
2.4.2 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cos .................. 9
2.4.3 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de tan .................. 10
2.4.4 Graphes des Fonctions Trigonométriques — Graphe de cot .................. 10
2.4.5 GraphesdesFonctionsTrigonométriques—périodicité .................... 10
2.5 Transformationdesformesdesgraphes................................. 11
2.5.1 Transformationdesformesdesgraphes—Translation..................... 11
2.5.2 Transformationdesformesdesgraphes—Déformation .................... 11
2.5.3 Transformationdesformesdesgraphes—Translationetdéformation............ 12
2.5.4 Transformationdesformesdesgraphes—Interprétation ................... 12
1

Cha p it re 2
Eléments de la trigonométrie
2.1 Angles
2.1.1 Angles — Définition
Un angle est généré par la rotation d’une demi-droite
autour de son sommet, qu’on appelle sommet de l’angle.
La position d’origine est appelée côté initial
et la position finale est appelée côté final.
Côté initial
Côté final
O
P
Q
2.1.2 Angles — Sens d’orientation
Noter qu’en trigonométrie les angles ont un sens d’orientation qui est le sens des aiguilles d’une montre.
θ
Un angle positif
θ
Un angle négatif
2.1.3 Angles — Position Standard
Dans le plan Oxy,unangleθest en position standard si son sommet
est l’origine Oet son côté initial est la demi-droite Ox.
θ
x
y
Angle en position standard
2.1.4 Angles — Unités de mesure
Les angles peuvent se mesurer en degrés ( ◦)ouenradians(rad).
Un degré (resp. un radian) est défini comme étant 1
360 (resp. 1 2π) d’une rotation complète dans le sens des
aiguilles d’une montre.
—1◦=π
180 rad
—1rad=
µ180
π¶◦
—1◦=600
—10=60”
2

Ainsi un radian correspond à 180/π degrés ('57.3◦). Comme πradians est égale à 180◦on a
π/2rad=90
◦π/3rad=60 ◦
π/4rad=45
◦2πrad = 360◦
Remarque 1 Il est important de comprendre que π/2=90n’a pas de sens. Pourquoi ?
Exemple 1 Tous les angles, ci-dessous, ont un même côté initial.
75
o
180
o
345
o
23 π
12
5 π
12
π
-300
o
570
o
-45
o π
4
5 π
3
17 π
6
Exemple 2 Quelques angles en position standard.
0
150
o
45
o
300
o
x
y
0
π
4
5 π
3
7 π
6
x
y
480
o
30
o
135
o
x
y
x
y
8 π
3
3 π
4
π
6
2.1.5 Nombre Pi
Tout le monde a entendu parlé du nombre πet tout le monde sait que πest approximativement 3.14159.En
plus, on sait que ce nombre apparaît quand on mesure le périmètre et l’aire de figures géométriques contenant
des cercles. En effet,
— l’aire d’un disque de rayon rest πr2.
— lepérimètred’uncerclederayonrest 2πr.
Remarque 2 On a remarqué que le rapport p´erim`etre
2rest toujours le même quelque soit le cercle
r1 r2 r3 . . .
P1 P2 P3
P1
2r1
=p2
2r2
=···=π
Ainsi le nombre πest défini comme étant l’aire d’un disque de rayon r=1.
Remarque 3 La question qui reste posée est : pourquoi le périmètre d’un cercle de rayon rest 2πr ?
Il est difficile de donner une réponse à ce stade. Mais on donnera une réponse simple lorsqu’on abordera le
chapitre du calcul intégral.
2.2 Angles et cercles
Cercle et Disque
Le cercle de centre Pet de rayon ret l’ensemble de tous les points Xdu plan qui se trouvent à la distance
rde P.SilecentreP=(a, b)et X=(x, y)un point générique du cercle, alors l’équation du cercle est :
(x−a)2+(y−b)2=r2
En particulier, l’équation du cercle de centre l’origine O=(0,0) et de rayon r=1est
x2+y2=r2
La région entourée par le cercle est appelée disque.
3

Rayon et Diamètre
- Le rayon est un segment de longueur rliant
le centre et n’importe quel point du cercle.
- Le diamètre est un segment qui passe par
le centre et de longueur d=2r.Diamètre
Rayon
Périmètre et Aire
Le périmètre d’un cercle est donné par : p=πd =2πr.
L’aire du disque est donné par : A=πr2.
Arc, Corde et Secteur
Un arc est une partie du cercle défini par deux de ses points.
Une corde est un segment liant deux point sur le cercle.
Un secteur est une partie du disque entre deux lignes radiales.
Secteur
radiales
Lignes
Arc
Corde
Cercle
Aire d’un secteur
Considérons le secteur circulaire de rayon rci-contre.
Soit θl’angle de ce secteur mesuré en radian.
Pour obtenir l’aire de ce secteur il suffit de constater que :
OB
A
θ
r
r
2π−→ πr2l’aire du disque complet
θ−→ Asl’aire du secteur par suite As=1
2θ.r2(règle de trois)
Si l’angle θest donné en degrés, une simple transformation permet d’obtenir
A=1
2
360
2πθr2=90 πθr2
Longueur d’un arc
Soit θl’angledecesecteurmesuréenradian. En utilise les mêmes arguments que ci-dessus, on a
2π−→ 2πr périmètre du cercle complet
θ−→ Ppérimètre du secteur par suite P=θ.r (règle de trois)
2.3 Eléments de la Trigonométrie
Dans ce chapitre on donne la définition des fonctions trigonométriques et on présente quelques une de leurs
propriétés élémentaires.
2.3.1 Fonctions Trigonométriques — définition sur un triangle
On considère un triangle rectangle ayant un angle θ.
On introduit les définitions et notations suivantes :
- côté adjacent à θ:adj
- côté opposé à θ:opp
-hypoténuse: hyp
op
p
ad
j
hyp
θ
4