Université du 20 août 1955 Skikda Faculté des Sciences Département de Mathématiques îére année MASTER (A.F.A, A.N.EDP, C.O.S.D) Dr N. BELLAL Module : Analyse Fonctionnelle 1. Année: 2016/2017 Chapitre 0 : Préliminaire Définition 1 (distance) Soit E un ensemble non vide. Une application d :,;£/'£ -* 1+ définit une métrique (ou une distance) sur E si elle vérifie V x, y, z e E : d(x. vV= 0 (0.1) ^ (0.2) d(x, >•) < d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire) (0.3) Définition 2 (espaçj| métrique) On appelle espace métrique tout couple (E, d) où Jest une métrique (ou une distance) sur V Définition 3 (distances équivalentes) Deux distances d\ dï sur un même ensemble E, sont dites équivalentes s'il existe deux?nombres a, fi > 0 vérifiant : ad\ y~) < d2 (x, y) < fid\ y~), Vx, y e E. Définition 4 (sous-espace métrique) Soit (E,d) un espace métrique et .4 une partie de E. On appelle sous-espace métrique^ de E l'ensemble^ muni de la distance dA définie par Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (0.4) dA (x, y~) = d(x, y) \/x, y e A . dA est appelé distance induite. Définition 5 (espace produit) Soient (E\, d\*),(E2, ^ 2 ) , - - - , (En, dn~) espaces métriques. On définit sur l'espace produit E = E\ E2... xEn les trois distances équivalentes suivantes : \/x = (x\, x2, . - . , xn},y = (y\, y2, • • - , n s(x> y) =Z i=\ y) = sup (0.5) {d,(xi, yi~)/i = 1,...,»}. < / <« On peut vérifier qu'elles constituent des distances sur E et elles sont équivalentes. Ces distances sont appelées distances usuelles. Exemple 6 1) On définit sur E = H, (E = C) L'application (x. y) ->• \ -y\t une distance sur E appelée distance usuelle. 2) Soit£= R" i, -..,>'») On pose , 5"(x,y) = sup \x,-y,\n peut vérifier que 8,8' et S i=\ 3) L'espace des fonctions continues noté par£ = c([a, è], 1R) muni de la distance de la convergence uniforme d* est un espace métrique: g) = SUP lfa)-g(x)\ < .v < 6 6 ,. aussi une distance sur £. Définition 7 (diamètre, ensemble borné) On appelle diamètre d'une partie A d'un espace métrique E la borne supérieure S (A) des'distances d(x, y) où x e\.y e ^ : , y)lx, y On dit que A est borné lorsque son diamètre est fini. Définition 8 (distance entre deux ensembles) Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (0.6) Soient A et B deux parties d'un espace métrique E muni de la distances d. On appelle distance de A et B la borne inférieure des distances d(x, y) où x e A eiy e (0.7) Définition 9 (norme, semi-norme) Soit £ un espace vectoriel quelconque sur le corps k On appelle semi-norme sur E une application N : E -> Vjc, ^ e £, VA: e k: jV(A;. x) = \k\. N(x) (homogénéité) (0.8) Où . désigne la valeurs absolue si k = R ou le module si k = N (x + y) < N(x) + N(y] (inégalité triangulaire). (0.9) Si de plus N vérifie : N(x} = 0 » x = 0 (séparation), (0.10) on dit que Af est une norme sw£ et on notera N par Définition 10 (espace vectoriel norme) Un espace vectoriel norme (ou en abrégé : e.v.n)est un espace vectoriel E sur le corps k = 1 ( ou k = C) muni d'une norme. Définition 11 (normes équivalentes) Soit E un espace vectoriel norme muni de deux normes : ||. que ces deux normes sont équivalentes si : et II IL. On dit E. 3 a, 0 > 0, a||jc||, < ||x||2 < ft\\x\e ft e (espaces vectoriels normes) (0.11) 1) n ~ — y i-i Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. \\x||3 = sup {x,|, / = ! , nj. \ | | . définissent des normes sur K" et elles sont équivalentes, / = 1, 2, 3. 2) = sup \f(x] a<x<b sont des normes sur £ = C([a, è], 3) Zp(Q) : espace des fonctions de puissance/»- ième intëgrables sur D c H" pour la mesure de Lebesgue muni de la norme 11/11 L" = (J Jjj^l est un espace vectoriel norrpé. 4) IP = <( x = (xn}neH : 2] l^f < +oq^ est un espace norme vectoriel muni de la norme ]T xn\" ; 1 <p <+co Proposition 13 (preuve exercice) Un espace vectoriel norme est un espace métrique pour la distance ||x -y\\ d(x, y)- pour tout x et y é Définition 14 (espace préhilbertien) Soit E un espace vectoriel sur le corps k = (R ( ou k = C). Un produit scalaire sur £ est une application <p : Ex E -+ k telle que pour tout x, x\ X2, y e E, et À e k, on a: je) > 0 et <p(jc, x) = 0 si et seulement si x = 0. Université Du 20 Août 1955Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (0.12) (0.13) (0.14) + x2,y~) = ç(x\,y) + (p(x2, (0.15) Nous utiliserons <p(*, >-) = (x, y) pour désigner un produit scalaire..^! k = R <p(y, x) = (y, *} = (y, *}. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est appelé un espace préhilbertien. r Proposition 15 (preuve exercice) Dans un espace préhilbertien E, l'application ||. || : £ - > [ & , donnée par \\ || = (x, je) T , pour tout x e E, est une norme pour E (c'est donc un espace vectoriel norme). ^9 Exemple 16 (espace préhilbertien) 1) (*= j) =X JC'>'' es* un surOT'.La ni Pr°duit scalaire sur tR". La norme associée, appelée ;=1 "norme euclidienne" est définie Bar V 2) (x, y) =X xnyn est un produit scalaire sur l2 = <x =^(xn)neN : 5] x,7|2 < +00 [» avec^,, € k = K (ou C). La norme associée est A X = 3) (u, v)L2 = J u(x) v(x) dx VM, v e Ci c K" est un produit scalaire sur Z,2(Q). La norme associée est : Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 12017. 4) (M, v> = (u, v) t* +X ( T T » ~ ) ,v«, v e Q c r! est un produit scalaire \ ^i ® ^i J ! ^ sur l'espace de Sobolev//'(Q). La norme associée est : du d Xi Définition 17 (boule ouverte, fermée, sphère) Soit (E,d) un espace métrique, a un point de E,r > $ Les ensembles : B(a, r) = {x e £/</ (x, a) < r), (0.16) B(a, r) = {* e Eld (x, a) < r), (0.17) a, r) = sont appelées respectivement Boule ouverte, boule fermée, sphère de centre a et de rayon r. Proposition 18 (preuve TD) Une partie A d'un espace métrique (E, d) est bornée si et seulement si elle est contenue dans uifè boule fermée. Définition 19 (voisinage, ouvert, fermé) Soit (E, d) un espace métrique. On dit qu'un sous-ensemble A de E est ouvert s'il est vide ou pour tout a & A il existe une boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 contenue dans A. On dit qu'une partie F de £ est fermée si son complémentaire est ouvert : (Fc = U ouvert)» F fermé. 2) Soit V c E et x e E on dit que V est un voisinage de x s'il existe une partie ouverte U de E telque x appartient à U et U inclus dans V. Proposition 20 (preuve TD) Dans un espace métrique quelconque, toute boule ouverte est un ensemble Université Du 20 Août 1955Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (0.18) ouvert, toute boule fermée est un ensemble fermé Définition 21 (topologie induite par une distance) Soient (£, </) un espace métrique et ,4 une partie de E. Les assertions suivantes sont équivalentes: A est réunion de boules ouvertes. x r)N c A. V<2 e A 3r e K: B (a, L'ensemble formé par les parties A de E vérifiant (0.19) est une E, dite topologie induite par la distance d(ou associée à c/).,Qn rappel Définition 22 (espace topologique) On appelle espace topologique tout couple constituéllÉtun ëHfcnïble E et un ensemble Tde parties de E appelées ensembles ouverts (<S^ aorégé, ouverts) et satisfaisant aux trois propriétés suivantes : 1) Toute réunion (finie ou non) d'ouverts est ouverte. v/ 2) Toute intersection finie d'ouverts est ouverte. 3) L'ensemble E et l'ensemble vide 0 sont ouverts . On dit encore que l'ensemble Jde parties de X définit, sur A'une topologie. L'ensemble E, murû'TBBlRPWlHcTO, est appelé espace topologique. Remarque 23 Si ||. , et ||. ipsont deuxriorrnes équivalentes alors les deux distances associées^le sont aussi et par conséquent les topologies induites par ces deux distances sont également équivalentes (c'est-à-dire déterminent la même structure topologique ^ll E, Jli encore la même famille d'ouverts sur E). i n 2J» (intérieur, adhérence, ensemble dense) partie de E. 1 ) Un point x de X est dit intérieur à A si et seulement si A est un voisinage de o x. On appelle intérieur de ,4 qu'on note int (A) =A, l'ensemble des points intérieurs à A. On appelle extérieur de A, int de Ac. 2) Soit A une partie de E et soit x e X. On dit que x est adhérent à A si tout voisinage de x contient un point de A: Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (0-19) VF (voisinage de x), Vr\A ± 0. (0.20) On dit que x est un point d'accumulation de A si tout voisinage de x contient un point de A autre que x\F (voisinage de x), F\{JC> r\A * 0 « (3y e VnA/y * je) (0.21) On dit que x est un point isolé de A s'il appartient à A, mais n'en est pas un point d'accumulation, autrement dit s'il existe un voisinage de x qui aucun autre point de A que x. Ainsi, dire que x est adhérent a A équivaut à dire que, ou bien x esUin p? d'accumulation de A, ou bien x est un point isolé de A. On appelle adhérence de A noté À l'ensemble des points de X qui sont adhérents a A L:'ensemble des points d'accumulation de ,4 est noté par A'. 3) La frontière Fr(A) d'un sous-ensemble A de E est l^teembl^des points x dont tout voisinage F contient au moins un point de jAflfrn pol^Cle À?. On a donc Fr(A)=Ar\Ac. l7 Sur cette formule on voit que la frontière de tout ensemble est fermée. 4) On appelle partie dense d' e E toute partie A de E telle que À = E et on dit que A est non dense Définition 25 (espace sépara Un espace métriq plus d'énombrable dense = 0. séparable s'il contient un sous-ensemble au Définition 26 (application continue) Soient (E, d^^. (F, <5) deux espaces métriques. 1 ) On owue Jr E -> F est continue en x0 e E si e. 0, 3rç > 0, V* e E, d(x, jt 0 ) < /? (0.22) Autrement dit/est continue en x0 si et seulement si V £ > 0,3?7 > 0, Vx e Bd(xQ, 77) Bs(f(xQ), e) 2) On dit que/ : E ^ F continue sur £ si elle est continue en tout point de E c'est-à-dire Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (0.23) V e > 0, V x e E , 3 77 > 0 , V y e E, d(x , y) < ï] ^ 5 (/ (je) ,/(y)) < s. (0.24) Proposition 27 (preuve TD) Soient (E, d~) , (F, d) deux espaces métriques et/ : E ^ F une application . Les propriétés suivantes sont équivalentes: 1)/est continue . 2) Pour tout ouvert O de F, f ~l (O) est un ouvert de E. 3) Pour tout fermé G de F, /"' (G) est un fermé de E. Proposition 28 (preuve TD) Soient (E, cT) , (F, <5) deux espaces métriques/: E -> ^une application. L'application/ est continue si et seulement si pour toute partie A de E , f (  ) c f(Â) . ^k Définition 29 (continuité uniforme, application Lipschizienne) Soient (£, </) et (F, <S) Deux espaces métriques 1 ) on dit que/ : E -> F est continu uniformément sur E si: Ve > 0, 3/7 > 0, V*, >> e £, rf(x, y) < TJ => 5(/(x),/(y)) < e (0.25) 2) On dit que/ est ^- Lipschizienne avec A: > 0 si ,,, E,S(f(x),f(y^ <kd(x,y) dans le cas où, * e [0 ,1 [on dit que/ est une application contractante (ou de contraction)At ^oposition 30 (exercice « étudier la réciproque ») Soient (JE, cT) , (F, 5) deux espaces métriques/: E ->• F une application. On a / Lipschizienne =>/ uniformément continue =>/ continue. Définition 31 (homéomorphisme) 1) On dit que/est un homéomorphisme si/ est une (bijection continue)d'inverse continue. 2) On dit que/ est un uniformément homéomorphisme si/ est une bijection Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (0.26) 10 uniformément continue d'inverse uniformément continue. Proposition 32 (preuve TD) Un homeomorphisme de E sur F transforme un ouvert de E (respectivement un fermé de E) en un ouvert de F(respectivement un fermé de F). Définition 33 (suite) Soit (E , (f) un espace métrique. Rappelons qu'une suite est un ensemble de points indexés par les éléments de N dans E. Soit : cp : N -> N tel que: <p(&) = nk une application croissante. L'ensemble de points 4 /%*é (xttJteN est encore un ensemble de points indexés par les éléments de N et est appelé suite extraite ou sous suite de la suite (x w ) W6N . Définition 34 (limite d'une suite) Soit (E,d ) un espace métrique, une suite (xn)weN des éléments de E converge vers un élément / e E dans la métrique d, si pour chaque £ > 0 , il existe un nombre naturel «o(e), tel que d(xn, /) < £ pour tout les n > »o(e) ,ou encore V £ > 0 , 3 « 0 e N , V w e N , (n > H O ) => ^ ( * „ , / ) < e L'élément / est la limite de la suite. En d'autre terme, nous avons converge vers / et on écrit lim xn = / si et seulement si la suite numérique {d (j%, /) , n e N y c IR converge vers 0. Définition 35 (suite bornée) Une suite tîéléments de l'espace métrique (£, of) est dite bornée si et seulement si l'ensemble de ses valeurs est une partie bornée de (JE, Proposition 36 (preuve exercice) Soit/ : E -» F et x e £. / est continue en x si et seulement si: tel que: lim x« = x =>lim » -» 00 Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (°-27) 11 Proposition 37 (preuve exercice) Soit (£,d) un espace métrique et (xn)neM une suite d'élément de E qui converge vers / alors toutes suite extraite de (xn)neN converge vers / . Définition 38 (valeur d'adhérence d'une suite) Soit Ot»),,6N une suite d'éléments de l'espace métrique (£,<sf ). Un élément a e £est dit valeur d'adhérence de la suite (*,,)neN si et seulement si: V V (voisinage de à) ou bien d'une manière équivalente VF (voisinage de a) » e N : xn \/ n0 e 3n> V} est un ense Proposition 39 (preuve exercice) Soit .4 un sous ensemble de E; on a équivalence entre : 1) x est un point adhérent à A. vereant vers*. 2) II existe une suite (*n),,eN d'éléments de Proposition 40 (preuve exercice) Soit E un espace métrique et soit ( e de point de E. Les -^ J s assertions suiventes sont équivalentes: (/) a est une valeure d'adhér%ce de ladite (Jc w ) w e N (//') il existe une suite partielle (xnk) qui converge vers a . Proposition 41 (preuve H(H|rcice) Soit (*«) neN une suite d'l»ment de l'espace métrique (E,d). Posons Xn = {xk : k ^ff. L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (;c«) neN est n .TL^ûiûsrcraÉtun fermé de E. Remarque 42 (preuve devoir) 1 ) Si lim xn = /, alors / est l'unique valeur d'adhérence de la suite. 2) Si jfest valeur d'adhérence d'une sous-suite, alors a est valeur d'adhérence de la suite considérée. 3) Si/ : E -»• F une application continue, a valeur d'adhérence de la suite (*«),;eN alors/(a) est valeur d'adhérence de la suite (/(x n )) ;7eN . Proposition 43 (preuve exercice) Soient (E, d~) un espace métrique et F un sous ensemble de E. On a équivalence entre : Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (0.28) 12 1) F est fermé. 2) Pour toute suite (*«)neN convergentes d'éléments de F , on a lim xn = x n -> +00 est élément de F. Définition 44 (espace séparé) On dit qu'un espace topologique (X, f) est séparé ou de Hausdorrr Hlfciue deux points distincts quelconques de X possèdent deux voisinages disjoints! d'autre terme Vx, y e X, x * y 3 Ox e T, 3Oy e rtel que: Ox n Oy = Exemple 45 Tout espace métrique est un espace topologique séparé. Remarque 46 (relation entre intérie Dans tout espace topologique X (0.29) où A est un sous-aosemble d ftre 1 : rappels sur les espaces métriques complets Définition 1.1 (suite de Cauchy) Soit E un espace métrique, et soit (*„) n e N une suite de points de E. On dit que cette suite est une suite de Cauchy si d(xp, jc?) -*• 0 quand p et q -» +00, Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 13 autrement dit: (Ve > 0)(3«0, N , q > w0) < e). Proposition 1.2 (preuve devoir) Soit (£,</) un espace métrique et soit (*„) n e f%J . On peut vérifier que : 1) Si la limite d'une suite existe alors elle est unique. 2) Toute suite convergente est de Cauchy. 3) Toute suite de Cauchy est bornée. 4) Toute suite extraite d'une suite de Cauchy est de Cauchy. 5) Toute suite de Cauchy qui possède une suite convergent 6) Toute valeur d'adhérence d'une suite de Cauchy 7) Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhéré Proposition 1.3 (preuve cours) Soit (E,d}, (F,<5 ) deux espaces métriques et/ : uniformément continue . Si (xn)neM est une suite d F urWIppplication "idafis.E, alors est une suite de Cauchy Définition 1.4 (espace complet) On dit qu'un espace métrique E est un espace complet si toute suite de Cauchy de points de E est convergente dans E. Proposition 1.5 (prej Soient E un espaœ"8^i, a2 deux métriques équivalentes sur E. Alors si (E, d]~) est complet, il en est de même de (£, J2). De plus, toute suite de Cauchy convergente pour l'un est suin^de Cauchy convergente pour l'autre. Définition 1.6 (sous-espace complet) espace métrique complet et soit A un sous ensemble de X, A est c o p l e t si ( v ) et complet, dA est la métrique induite. Proposition 1.7 (preuve TD) ToutplDauit fini d'espaces métriques (£,, J,) où / e /(et où /est un ensemble fini) com'plets est complet pour la métrique produit (si x = (x,)iel et y = (v/),w d(*> >0 =SUP d i ( x j , y/), voir définition 5 chapitre 0). ;e / Proposition1.8 (preuve cours) 1) Soit (x, d) un espace métrique complet et soit F un sous ensemble de X. Si F est fermé alors F est complet. 2) Soit (X, d) un espace métrique. F un sous ensemble de X. Si F est complet Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 12017. (1.1) 14 alors F est fermé. Exemple 1.9 1) (R, . )) est un espace complet. 2) (Q , | . |) n'est pas complet. 3) A = ]0, 1 [ muni de la distance usuelle n'est pas complet. Cas particulier d'espaces complets (étudier les exemples du chapi|re 0) On rappelle : 1) On appelle espace de Banach l'espace vectoriel norme complet po métrique associée à sa norme (voir aussi définition 10 page 3 ). 2) Un espace de Hilbert est un espace complet par rapport à par un produit scalaire, (voir aussi définition 14 page 4 ). Proposition 1.10 (preuve TD) Soit (E ,d) , (F, <5) deux espaces métriques et/ : uniformément continue . Si/ est bijective et/~' est e. application est un espace Complet alors E l'est aussi. Théorème 1.11 (du point fixe du Banach) Si E est un espace métrique complef^Ki/ esl^me application contractante de E dans E, alors/ admet un pjpint fixe uniqiflltoést-à-dire: 3 x e E : f ( x ) = x. 1.11 du point fixe du Banach) (voir cours pour la pr Corollaire 1.12 (preuve cours) i (X, d)om complet et que/7 = /°/°... °f(n fois, n > 2) est contractante alors |ède un iBint fixe dans X. De plus, ce point fixe est unique. \rr Théorenlrl.13 (Principe des fermés emboîtés) Soierft (E, </) un espace métrique complet et {^»} M6N une suite de fermés non vides de E vérifiant: V» e N, Fn+l c Fn; (1.2) lim 8(Fn) = 0 (1.3) Alors n Fn est réduit à un point. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 15 (voir cours pour la preuve du théorème 1.13 du principe des fermés emboités) Remarque 1.14 (preuve exercice) On peut vérifier que la réciproque du théorème 1.13 est aussi vraie en utilisant la propriété suivante des suites de Cauchy: Si (xn)n^ une suite dans un espace métrique E, et si on pose A\ x}, X2, . . . , A2 = x 2 , X3, ... Alors (xn) est une suite de Cauchy si et seulement si les diamètres de vers zéro, c'est-à-dire lim ô(An) = 0. Définition 1.15 (espace de Baire) On apppelle espace de Baire un espace toDoloaiaue.sébaTSte£ avafl^foropriété suivante: Si O0, O\, ...,On, ..., sont une suite d'ouverts d^bé de F, leur intersection O = n On e^enco^densa ne N En d'autre terme E est de Baire si pour toute famille de fermé d'intérieur vide alors la réunion de ces fermés est encore d'intér Théorème 1.16 ( de Baire) Un espace métrique compleiJj^t de Baire. (voir cours pour la preuve dy théorème 1.16 (de Baire)) • Corollaire 1.17 (Jr*euve TD)'" , N Si unespace métrique complet (E, d) s'écrit comme réunion dénombrable de fermés alors au moins un de ces fermés est d'intérieur non vide. formetfemeni, soit (F, d) un espace métrique complet et (F«) neN une o faml^dénomjrable de fermés telle que E = u Fn alors 3» e N, Fn ± 0. Théorème 1.18 (prolongement des applications uniformément continues) Soient (E, d^) et (F, <5) des espaces métriques, E\n sous-espace dense de E,f\e application de E\s F; on suppose f\t continue sur E\t F complet. Alors il existe une application/et une seule de Fdans F, qui soit continue et qui prolonge/i; en outre, cette application est uniformément continue. Aide. Pour démontrer ce théorème on utilise la densité de E\a continuité uniforme de/i ainsi que, la complétude de F et aussi l'inégalité triangulaire de la distance S. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 16 La preuve de ce théorème se trouve par exemple dans ([3 page 132]) . Chapitre 2 : rappels sur les espaces métriques compacts Définition 2.1 (recouvrement) Soit (£,J)un espace métrique, considérons {0,}, e/ une famille d'oûve^^le £ telle que £ c u O,. Cette famille est appelée un recouvrement ouvej tel outre, si une sous-famille finie de {0/} / e / est également unyjecouv( c'est-à-dire £ eu O, alors on dit qu'on peut extraire de cette famille un /'=! sous-recouvrement fini ou que {O,} / F / contient un sous-recouvrement fini. Définition 2.2 (espace compact) On dit qu'un espace métrique (£, d)j0Btoripact si et seulement si de tout recouvrement ïM| ouvert de £ on peut en extraire un sCMtec^uvrernwit fini . En d'autre terme : £ est compact «• V(<9/), /recouvremenwdvert de £ ,3 J c / (j fini ) tel que : £=U O, (2.1) /£.; En d'autre terme £ es^^mpact si et seulement si de toute famille {£,},e/ de fermés de £, dont l'intersectiq^est vide, on peut extraire une sous-famille finie dont l'intersection es^frcie. L'assertion (2.1) est appelée axiome de Borel-Lebesgue. 'roposit» 2.y(preuve TD) espace métriques compact, l'intersection d'une suite décoissante de est non vide: n Fn * 0 ne N Proposition 2.4 (preuve TD) Si £ est un espace métrique compact, alors toute suite de £ possède une valeur d'adhérence. On peut encore exprimer la proposition 2.4 sous la forme : Proposition 2.5 Si (£, d) est un espace métrique compact alors toute suite (xn)n^N de £ pocède Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 17 une sous-suite convergente. La réciproque de cette proposition fait l'objet du théorème suivant : Théorème 2.6 (Bolzano-Weierstrass) On a équivalence entre : - (E,d) est un espace métrique compact - de toute suite de E on peut extraire une sous-suite convergente dans£. Définition 2.7 (sous-espace métrique compact) Une partie A d'un espace métrique (E,d) est dite compacte si le sjjtf^spa métrique (A, dA] est compact. Proposition 2.8 (preuve cours) Soit (E, t/) un espace métrique et K a E. 1 ) Tout compact K de E est fermé. 2) Tout fermé K dans un compact E est 3) Tout compact K est borné. 4) Tout espace métrique compact Proposition 2.9 (preuve ex^cice) - une réunion finie de sous espaces m^ri^ues compacts est compacte. - Une intersection norvvjde que\p/ique de sous espaces métriques compacts est compacte. Théorème 2.10 (jjjè Tychondfe) Tout produit, fini ou non , d'espaces compacts est compact. Inversement, si un produit d'espaces non vides est compact, chacun d'eux est compact. preujjf de ce théorème nécessite des techniques qui n'ont pas été ce cours. Une démpnstration détaillée ce trouve par exemple dans [3] page 91. Néanmoins nous allons voir au TD une démonstration dans un cas particulier. Théorème 2.11 (preuve cours) Soit (E,d) et (F,ô) deux espaces métriques et/: E -* F une application continue. Si E est compact alors/(£) est compact dans (F, ô), de plus/est uniformément continue. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 18 Corollaire 2.12 (preuve TD) On considère (R, ||). Soit/ : E -» K une application continue de £ dans R ; et soit K un compact de E. A\orsf(K) est bornée dans R et /atteint ses bornes sur K. Corollaire 2.13 (preuve TD) Soit/une application injective continue d'un espace compact E dans un espace métrique F. Alors E et /(£) sont homéomorphes. Définition 2.14 (espace localement compact) On appelle espace localement compact tout espace métrique E dont tout point possède au moins un voisinage compact. Proposition 2.15 (preuve exercice) Tout espace compact est localement compact. ^ Remarque 2.16 (voir exemple 2.19) La réciproque de cette proposition n'est pas vraie. Définition 2.17 (ensemble relativement compact) Soit ( E,d) un espace métrique est A c fi-AJors A est un sous-ensemble relativement compact (ou précompact) si À est compact. (voir le complément de cours de ce chapitre pour plus de précision sur cette définition) Proposition 2.18 (propriétés) Soit (E, (f) un espace métrique et ,4 c E. On a les propriétés suivantes (facile à démontrer ^.partir de la définition de l'adhérence): 1) Si A est relativement compact dans E, toute partie de A l'est aussi. 2) Toute partie d'un espace compact E est relativement compacte dans E. 3) SMi, AI, -.-..An sont relativement compacts dans E, leur réunion l'est aussi. 4) Toute suite de points d'une partie relativement compacte A de E a au moins e valeur d'adhérence dans E. Exemple 2.19 1) La droite réelle R, l'espace R", un espace vectoriel norme de dimension finie ou infinie ne sont jamais compacts. 2) Soit A ci R". A est compacte <=> A fermée et bornée. 3) Soit A une partie finie quelconque d'un espace métrique E, par exemple A = {ai, ..., amy. Alors A est nécessairement compacte. 4) R est localement compact. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. 19 5) E = 0£ et ,4 = ]0, 1 [, A est relativement compact . Cas particulier d'espaces compacts (e.v.n en dimension finie) Soit (E, ||. H) un espace vectoriel norme de dimension finie. 1) Soit/C c E . Kes( compact «• ^fermée et bornée. 2) La boule unité fermée d'un e.v.n de dimension finie est compacte pour la norme de cet e.v.n. La réciproque de ce résultat est vraie et fait l'objet du théorème de Riesz: (Si la boule unité fermée d'un espace vectoriel norme (E, \\ alors E est de dimension finie). 3) Comme (E, . \ est homéomorphe à (k", || . || ) où k = 0* (ou k -^ . alors tout compact de l'un a pour image un compact de l'autre. 4) i) E = R B (0, l) = {x e R/|JC < 1} = [-1, 1 ] est compact ii) E = C C/|z| = <f z e < 1} a2 + b2 < \\esi compacte. iii) Soit E, F espaces vectoriels vectoriel norme de dimension irifini . B (o, l) n'est pas comp . X 9(E, F) est un espace Remarque Toutes les notions éfï^ées au chapitre 1 et 2 restent valables, en particulier, aux espaces vectoriels normes, il suffit de remplacer (espace métrique) par (espace vectoriel norme), et (espace métrique complet) par (espace de Banach) et (distance d) par (norme ||. ||). plément de cours (chapitre 2): Compacité, précompacité, et compacité relative Définition 2.20 (espace précompact) Un espace métrique (E, </) est dit précompact si Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 20 Vs > 0, 3*i,*2, ...,*n e E tel que £ =û fi (*,-, e) Proposition 2.21 (preuve TD) Un espace métrique précompact est borné. Proposition 2.22 (preuve TD) un espace métrique (JE, </) compact est précompact. Proposition 2.23 Soit £ un espace métrique et A un sous ensemble de £. £ est précompact si et seulement si pour tout s > 0 il exist E par des parties de diamètre inférieur ou égal à s. Proposition 2.24 Si (E, cT) est précompact, alors pour tout sous métrique induite on a: A et ~ sont précom couvrement fini de £ muni de la Proposition 2.25 Soit £ un espace métrique précomp^^lors £pst séparable. En particulier, tout espace métrique compactest séparaCT Théorème 2.26 Soit £ un espace r^^Ùy^^es propriétés suivantes sont équivalentes. 1) L'espace pnetnE!!e£es! compact. 2) L'espace métriqc^£ est précompact et complet. Proposition 2.27p Soit £ un espace métrique et A une partie de £, ïst relativement compacte alors A est précompacte, st complet et si A est précompacte alors A est relativement cor Proposition 2.28 Soit ,4 une partie de IR". Les propriétés suivantes sont équivalentes. 1) A est précompacte. 2) A est relativement compacte. 3) A est bornée. 4) Toute suite bornée dans A possède une sous-suite convergente dans Corollaire 2.29 Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (3.8) 22 Proposition 3.5 (preuve exercice) Soit E un ensemble non vide. Si (F, dr) est un espace métrique complet, l'espace (#(£, F), <5) est complet. Remarque 3.6 Si (£, J£) est un espace métrique, il est possible de parler d'application continue bornée entre E et un espace métrique (F, «V). On note c(£, F) l'ensemble des applications continues et Cb(E, F) l'ensemble applications continues bornées, qu'on les muni encore de la distance^iforme Proposition 3.7 (preuve TD) Soit (JE, flfc) un compact et (F, di) un complet. distance de la convergence uniforme 5 est complet. Définition 3.8 (convergence simple) On dit qu'une suite de fonction {/"»}„ eNjÉ^st- àfarre d'application d'un ensemble E dans un espace métrique F., converge simplement, pour n tendant vers +00, vers une fonction limite/; si, pou^fat x d^ffff^uite des points {/«00},?6N de F converge , pour n tendant vers + œ, vers le point f(x) de F. Cela s'écrit sous la forme logique n > no) : d (fn(x), /O)) < e. (3.2) Définition 3.9 (convergë^^ uniforme) On dit que la suite des fonctions {f,,}nfN converge uniformément vers la fonction/ pour «(rendant vers + oo, si l'entier «o déterminé dans (3. 2) peut être choisi indépendamment de x, c'est-à-dire seulement en fonction de £ ; autrement dit, > 0) (3«o e N) (Vx e £)(Vn > HO) : d(fn(x\f(x)) < e. Remarqjle 310 II est bien évident que la convergence uniforme entraine la convergence simple, mais, la réciproque n'est pas vraie ; la convergence uniforme est une propriété beaucoup plus forte que la convergence simple. Exemple 3.11 Soit {/«} n6N la suite d'applications de / = [0, 1 ] dans H définies par/ w (x) = x" alors cette suite converge simplement vers l'application g : I -> K définie par Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (3.3) 23 0 si 0 < x < 1 1 si x = 1 Exemple 3.12 1) Soit {fn}neM la suite d'applications de K dans 1 définies par/„(;<-) = cette suite converge simplement vers la fonction définie par -1 si* < 0 f (x) -• < 1 si x> 0 0 six = 0 2) Soit {/«}«eN la su'te d'applications de K dans K dé /«(*) = - ——- cette suite converge vers/ = 0. Quel est le type de cette convergence Remarque 3.13 (facile àvérifier) Si{/"},,€N es* une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur \^ (E, d)vers une fonction /jfflte/ est continue sur E. Ou encore (parcontraposition) une fonction oH|contii^fe ne peut pas être limite uniforme de fonctions continues. ^ Théorème 3.14 (de Dinif Soit (E, cT) un esnace métri^e compact. Soit {/»} neN une suite de fonctions continues de E dans H telle que : 1. L%JBlifci^^^|i|t converge simplement sur E vers une fonction/ ^Test coTl^ue^ff E. ^^^ y e £,|1 suite {/^(x)} neN est monotone. Alors la suite {/„}„,, N converge uniformément sur £ vers la fonction/ Théorème 3.15 (de Dini-Polia) Soit \_a, è] un intervalle compact de D& et •{/'„}n€M une suite de fonctions (non-nécessairement continues) de [a, b~\s K telle que : 1. La suite {/«} tteN converge simplement sur £vers une fonction/ 2. La fonction/ est continue sur E. 3. La fonction/, est croissante pour tout « e N. Alors la suite {fn}neH converge uniformément sur E vers la fonction/ Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 24 Exercice: Démontrer les théorèmes 3.14 et 3.15 . Définition 3.16 (partie équicontinue) Soient (£, d£) et (F, JF) deux espaces métriques. - Une partie A de l'espace C (£, F) est dite équicontinue en un point x de E si V e > 0 , 3 a > 0, tel que: V y e F vérifiant J£ (je, _y) < a l'inégalité C/F (/X*),/(y)) < £ soit vérifiée V/ e A. On dit que /4 est équicontinue sur E si A est équicontinue en tout point x de \ / e > 0 , V x e £ , 3 a > 0, telque:V>> e £ vérifiant c/£ 'inégalité dF (/(*),/(y)) < s soit vérifiée V/ e •*œ«m i mm< - Une partie A de l'espace C (£, F) est dite équicontinue uniformément si ^ill|[fc.. V s > 0 , 3 a > 0, tel que:V x , y e £ JÉÉÉè31"1*^^^ >") < « Proposition 3.17 (preuve cours) Soient (E,dE ), (F, JF) deux espaces métriques et, A une partie équicontinue de C (£, F) . Supposons que (£^k) est compact, alors A est uniformément équicontinue. ^W Exemple 3.18 Soient (E, dE^) et (F, 3^Ldeux espaces métriques. 1) Une pagp A de C (^F) comportant un nombre fini d'éléments est toujours équicontinue. de deux parties équicontinues de C (E, F) est une partie éojrfcontinue de C ^9^ 3) FixclS k e H+. L'ensemble A des fonctions/: E -^ F Lipschitziennes de rapport k est équicontinue de C (E, F). Proposition 3.19 (preuve exercice) On suppose que l'espace E est compact et on considère une partie A équicontinue de C (E, F). Alors, une suite (/"„)„gN de^ converge uniformément vers une fonction/ de E dans F si et seulement si elle converge simplement vers/ Proposition 3.20 (preuve TD) Soit (E, t/) un espace métrique compact. Alors(C (E, k), ||. ||œ ) est un espace de Banach tel que : Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. /o o\F (/(jc),/0)) < ^so 25 = max [/•(*)!, V/ e C (£, k) aveck = R (ou k = C). Remarque 3 21 Notons que (3.7) définit la norme de la topologie de la convergence uniforme, dans le sensé où une suite d'éléments de C (E, k) converge pour cette norme vers/ e C (E, k) si et seulement si elle converge uniformément vers^aur E. Cette norme est appelée norme uniforme. Théorème 3.22 (d'Arzela-Ascoli) J^M + Soit (X dii) un espace métrique compact, (/% dr) un espace métrique complet, une partie A de (c (£, F), <5) est relativement compacte si et seulement si: î ) A est équicontinue. 2) Pour tout x e E, l'ensemble A (x) --- {/(*)> ./Jwi} est relativement compact. IS 1 s*m (voir cours pour la preuve du théorème 3.22 dj Corollaire 3.23 (preuve TD) Une partie de C (E, m) est relativement compacte dans (c (£, R), ||. ||œ) si et seulement si elle est bornée et équicontinue. Corollaire 3.24 Soit (JE, d) un éspa^yriétrique compact. Une partie A c C(E, K") est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équicontinue. Corollaire 3 25 (preuve exercice) Si on munit ^'([O, l ], K) de la norme |[/||c, = |[/l|œ + \[f'\\ alors les bornés , ) sont relativement compacte dans C([0, l ], R). Chappe 4: Espace des fonctions linéaires et continues 4.1 Formes linéaires continues Définition 4.1 (forme linéaire) Soit E un espace vectoriel sur le corps k(k = 0& ou C). Une forme linéaire u Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (3.7) 26 E -* k est une application additive et homogène c'est-à-dire u (x + y) = u (je) + M (y) V je, _y e £. (4.1) w (cor) = «M (x), V a e k , V ; c e £ . OU bien M (ax + j3y) = aw (x) + /?w (y) , Vx, .y e £, Va, /? e k. L'ensemble des formes linéaires sur £ est noté par L (E, k) Exemple 4.2 L'application M : C ([0, 1 ], flfc) -> R, définie par u (/) = J'/(0<#> V/e C ([0, 1 ], K) est une forme liné Remarque 4.3 Si E est un espace vectoriel sur le corps k alors L (£, c'est l'espace dual algébrique de £ noté aussi par bidual algébrique de £) est noté par £** = L (L ( Définition 4.4 (forme linéaire born§ Soit (E, ||. ||) un espace vectori« M est bornée si que On note par £ ' = Exemple 4.5 Soit Q un J'est apéi. L (E, k) algébrique (le St Jr ^ •* une forme linéaire. On dit que M ||jc||, Vx e £ 'ensemble des formes linéaires bornées sur £. de \K." muni de la mesure de Lebesgue et soit muni de la norme supess Si g'e Lq(dx}, -^ + \ 1 alors M (/) = { /gA est une forme linéaire bornée Théorème 4.6 (preuve TD) Soit (E, II . II) un espace de Banach et soit u une forme linéaire sur £. Les quatre énoncés suivants sont équivalents. 1) west bornée. 2) u est uniformément continue sur £. 3) w est continue à l'origine. Université Du 20 Août 1955Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. (4.2) 27 4) w est bornée sur la boule unité fermée B (0, 1 ). 5) Ker u est fermé. Corollaire 4.7 (preuve TD) Si E est un espace norme de dimension finie, alors toute forme linéaire sur E est continue, i.e. E* = E '. Proposition 4.8 (preuve TD) (E ', ||. || ') est un espace de Banach où la norme duale ||z/ ' sup (4.3) \u (x E i s'appelle le duale topologique de E. Notation Lorsque u e E ' et x e E on notera généralement que {,} est le produit scalaire dans la dualité E ', lieifde u(x] ; on dit Remarque 4.9 1) On peut obtenir la norme ||w||' u x ) \ sup \u (x (4.4) 2) D'après le théorèmM-.G Vx e E , on a |u (x) \ \\u\\'\\x\\, La constante \\u\\' est le plus petit nombre M télque l'inégalité suivante soit vraie V* e E en d'autre terme = inf {M; u (x) \ M \\x\\r tout x e £} Exemple 4.10 (espace dual) 1) sW^ k" alors E ' est isomorphe à E (i.e. il existe une application linéaire bijectivé). 2) Si E = Hun espace de Hilbert, alors d'après le théorème de représentation de Riesz-Fréchet (voir [1] page 81) il existe un isomorphisme isométrique qui permet d'identifier EeiE'. 3) Si (X, M) un espace mesuré et n une mesure a -finie et positive. Alors d'après le théorème de Riesz (voir [2] page 294) on a pour 1 < p < oo, l'espace (<///))' est isomorphe à Z' (dfi), ± + ± = 1. 4) D'après le théorème de Riesz (voir [2] corollaire 5.5.4 page 298) l'espace Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (4.5) 28 dual topologique de lp, \ p < oo est isomorphe à l'espace /<? où -£- + j = 1. Théorème 4.11 (de Hahn-Banach) Soit;? : E -> K. une application vérifiant 1)p (Àx) - Ap (Jt) Vx e E et VA > 0, 2)p(x+y)<p(x)+p(y) Vx, y & E. (i.e. p une application convexe). Ici E est un espace vectoriel sur le corps K. Soit d'autre part, S1 c E un sous-espace vectoriel et soit M : S -» K une forme linéaire telle que 3) u(x) <p 00 Vx e 5. Alors il existe une forme linéaire u définie sur E qui prolonge u, i.e^ W (x) =M 00 Vx e S et telle que 4) u (x) < p (x) Vjc e E. Aide. La démonstration du théorème 4.11 fait appel au le pas étudié dans ce parcoure du L.M.D (voir [1 page Jfllfcr ex démonstration de ce théorème). Corollaire 4.12 (preuve cours) Soit (E, ||. ||) un espace vectori vectoriel de E. Soit u : S \\u\\, = Sup «00 qui n'est e pour une rps 0& et S un sous-espace e applicatio aire et continue de norme x&S u et tel que Alors il existe ù (4.6) Corollaire 4.13 (preuve cours) ll ) un espace vectoriel norme sur le corps E il existe w0 sTE ' tel que : KO ' = o . Alors pour tout et( W o ,^o)= llxoll (4.7) C o r o l l a 4 . 1 4 (preuve cours) Soit (E, ||. ||) un espace vectoriel norme sur le corps !R. Alors pour tout x e £ il existe u e E ' tel que : IMI' = l et w 00 = ||*||. Corollaire 4.15 (preuve TD) Soit (JE, ||. ||) un espace vectoriel norme sur le corps IR. Pour tout x e £ on a Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques, Master 1. 2016 /2017. (4.8) 29 = Sup |{w, x)\ Max (4.9) \(u, x}\. ne El Nl'<i OÙ U 6 E>. Exercice (Preuve TD) Montrer que l'application u : C ([a, />], n) ->• 1, définie par "(/) = { f(t)dt, V/e C ([a, è], K) est une forme linéaire bornée Iculer la norme \\u\\'. Définition 4.16 (bidual topologique) Soit E un espace de Banach sur le corps k (k = IR ou dual topologique. Le bidual topologique E » est le du \\Ç\\" = Sup (4.10) |<£«)| ne E i \\U\\ '") est un espace de Banach et on a Remarque 4.17 (relation entre E,E', £" définie comme suit : On a toujours une injectiorpeanonique , je) : E' constitue une forme linéaire Soitx e £fixé, lapplication M i-+ (M, j) oté Jx. On a donc, continue sur E ' i.e. , U}E!, E, = (u, x}E,^E \/x e e El (4.11) II est clair que ./est linéaire et que ./est une isométrie i.e. \\Jx il = Sup M€£ / |{Jjc, w}| = Sup Me£ ' donc Je/f une isométrie et donc injective. A l'aide de ./on peut toujours identifier £ à un sous-espace de £ ". En général./ n'est pas surjective. Lorsque J est surjective on dit que £ est réflexif et on a Définition 4.18 (espace réflexif) Soit £ un espace de Banach et soit J l'injection canonique de £ dans £ " (voir remarque 4.18) . On dit que £est réflexif si ,/(£) = £ ". Lorsque £ est réflexif on identifie implicitement £ et £ " (à l'aide de l'isomorphisme J) Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 12017. (4.12) 30 Proposition 4.19 (preuve exercice) Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si E ' est réflexif. Exemple 4.20 (espace réflexif) On a d'après [1] les résultats suivants: 1) Lp est réflexif pour 1 < p < ». 2) L'espace L] n'est pas réflexif. Daprès la proposition 4.19 Ie0 n réflexif. pas Définition 4.21 (convergence faible) Soit (E, ||. H) un espace de Banach et (xn)neM une suitejde E. (*")«£N converge faiblement dans £vers * et on écrit x, lim (4.13) (u, xn} = (M, x} V u e E ' <=> (u, xn -^ n-» +00 proposition 4.22 (preuve TD) Soit (E, ||. H) un espace de B une suite de E. On a 1) la limite faible si elle existe est 2) Si xn 3) S\xn 0 -» x fortement | %e. \\xn - x n -> +00 n -> +00 , alors xn x faiblement J u fortement dans - x fai. <w, x}. 4.2 Opérateurs linéaires continus Soient ^B|. l l , ^, II- II deux espaces vectoriels sur le même corps oujr). Considérons l'application r Z7* Définition 4.23 (opérateur linéaire) Un opérateur linéaire T\E-*F est une application additive et homogène c'est-à-dire T(x+y) = T(x} + T(y)VX,ye E. T (ax) = aT (x), V a e k , V x e £ . OU bien T (ax + fiy) = aT (x) + fiT (y) , Vx, y 6 £, Va, j3 e k. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (4.14) 31 Exemple 4.24 (opérateur linéaire) 1 ) Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps k, dim E = p et d\mF = q. Soient {e\,..., ep} une base pour £et {e*,..., e*y une base pour F. Tout opérateur linéaire T : E -> F est déterminé, dans les bases choisies, de façon unique par une matrice de type/* x q, A = (a/,-) où a,,• e k, / = 1, ..., p;j = 1, ..., q. p p Vx e E, x =Y, Ci e> => T(x) =£ £/ F(<?,). Alors pour connaître l'opérateur i=l (=1 q linéaire T, il suffit de savoir les images T(e,) e F, T(et} =]T a,; e/, / = 1, ...,/>. 2) Considérons l'espace vectoriel E = C([a, />], Si) et £ : [a, /3] x [a, /3] -+ k continue. L'application T : E ^ £ donnée par (Tf)(t) = } k(t, x}f(x}dx, t e [a, />],/e £esf m opérateur linéaire. 3) L'application C£(R) -* Q(IR) donnée par (Tf)(t) = ^~- est un opérateur linéaire. Q^fe) désigne l'ensemble de fonctions infiniment dérivables et bornées surjfe^. 4) Soient //un espace de Hilbert et H\ //un sous-espace vectoriel fermé de //. L'opérateur de la projection orthogonale de //sur //, est un opérateur linéaire. Définition 4.25 (opérateur linéaire continu) L'opérateur linéaire Test continu en x0 e Es\ £ ^ V^« I// ^* VJ. \J JC t jLj , -A^ "~™ -^0 C" en d'autre terme *^ '7 """^ (415) il!,- r £tel que JH -*• ' xo => 7jcn !MI;, -» Txo )éfinition 4.26 (opérateur borné) L'opérfieur linéaire £ -^ F est borné si 3 M > 0tel que ||75c| f < M||JC £, Vx e £. vérifie aisément (comme pour les formes linéaires continues) que (4.15) et (4.16) sont équivalentes et on a Théorème 4.27 (voir théorème 4.6) Soit T : E -» F un opérateur linéaire. Les énoncés suivants sont équivalents. 1) T'est continu sur£. 2) T'est uniformément continu sur E. 3) T'est continu à l'origine. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (4.16) -* "^ " 0 t1 32 4) Si ,4 c £est un ensemble borné dans E, alors T(A) a F est un ensemble borné dans F. Corollaire 4.28 (voir corollaire 4.7) Tout opérateur linéaire sur un espace norme de dimension finie est continu. Exemple 4.29 L'opérateur donné dans l'exemple 4.24 (Tf)(t) = ~^- n'est pas borné. Remarque 4 30 1) L'espace des opérateurs linéaires continus noté LC(E, F) est un espace vectoriel norme où = Wsup<l un*)H F A (4-17) £ 2) Si F est un espace de Banach alors LC(E, /•') l'est aussi. 3)|||7||| = inf {M \\\T (x)\\ < M \\x\\ pour tout A- e £} 4) |||7||| = sup \\x\\<\1 ||r(jc) || = sup || T (x) || , = /su^"- M 'l xcE )• /T*"° Théorème 4.31 (de Banach-Steinhaus) Soit (E, \\ \\) et (F, \\ IL) deux espaces de Banach, et T,• : E -> F, i e /une faifaille d'opérateurs linéaires continus (T, e LC(E,F)) telles que: .jc|| <+œ,Vxe£. (4.18) Alors, sup \\\Ti\\\. Autrement dit 3 c > 0, ||r/ *|| r, < c||x||,,, \/x e E, V/ e /. " Soit encctfe 3 c > 0, || 7, x || f < c, Vx e 5 (0, l ), V; e /. )ir cours pour la preuve du théorème 4.31 de Banach-Steinhaus) Corollaire 4.32 Soient (JE, \\. \) et (F, ||. || F) deux espace de Banach, et Tn : E ->• F, n > 1 une suite d'opérateurs linéaires continus tel que pour tout x e E, la suite {Y,7 *} n>1 converge dans F vers une limite notée Tx, c'est-à-dire lim Tn x = Tx, Vx e E. Alors, Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (4.19) 33 sup |||r,,||| <+«>, etrel c (£, F). (4.20) Preuve Comme {Tn *}n>1 est convergente alors {Tn *} o>1 est bornée pour chaque x € E. D'après le théorème 4.31, 3C> 0 tel que \\Tnx\\< C||jc|| £ Vn> 1, V* e E (4.21) en d'autre terme sup |||rn||| < +OD. En passant à la limit (4.21) on retrouve (4.20). On rappelle la définition suivante : Définition 4.33 (application ouverte). Soient (£, d) et (F. <S) deux espaces métriques. On dit que/: £ ^ £est une application ouverte si l'image par/ de tout ouvert de £ est un ouvert de F. Une conséquence du théorèwb de Baire estje théorème suivant : • Théorème 4.34 (de l'application ouverte) Soient £ et F deu^espacesclebanach et T : £ -* F un opérateur linéaire, continu et surjectif. Alorslk> 0 tel que: Y s f .(o.c)c r(s t (o, i)) (4.22) ^TV, Pjruve démonffation de ce théorème est très longue (voir par exemple [1]) et ce apes : étape :On montre (grâce au théorème de Baire) qu'il existe c > 0 tel que: BF(Q, 2c)c T (BE (0,1)) étape: On montre que si Test un opérateur linéaire et continu de £ dans F qui vérifie (4.23). Alors T vérifie nécessairement (4.22). Par conséquent Test une application ouverte d'après la remarque suivante: Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. (4.23) 34 Remarque 4.35 La propriété (4.22) entraîne que rtransforme tout ouvert de E en un ouvert de F (d'où le nom de ce théorème): Preuve Soit U un ouvert de E et j; e T(U}, alors 3 x e {/tel que j; = T(x). Comme {/est ouvert 3 r > 0 : BE (x, r) e U alors x + BE (0, r) c; {/. On a alors , r)) c T(U). On a d'après (4 22) ,- , . -, y + T(B E (0, r)) Le théorème suivant, très utile en pratique, est une conséquence immédiate du ^»™£n ^^. théorème de l'application ouverte : &/ Théorème 4.36 (de l'isomorphisme de Banach) ^ Soient (E, \\ ||ff) et (/% ||. ||F) deux espaces de Banach et T : E ->• F un opérateur linéaire continu et bijectif alors r~'est un opérateur linéaire continu. Preuve 71"' est linéaire comme réciproque d'une application linéaire. Soit {/un ouvert de E. Alors, (T~{ )~' ({/) =^W^est un ouvçnde F par le théorème 4.34. Donc T ' est continue. Voici un résultat très utile pour obtenir des estimations difficiles mettant en jeu deux normes sur un même espace^Tsuffira souvent en pratique de prouver une inégalité relativement simple pour obtenir une inégalité dans l'autre sens, a priori • . plus difficile Corollaire 4.: ^^î E un eipace vectoriel muni de deux normes ||. ||, et ||. || 2 . On suppose que E muni de chacune de ces deux normes est un espace de Banach. On suppose de plus qu'laxiste une constante a > 0 telle que: \\x\\^ < a \ \ x \ \ Vx e E. Alors les deux normes sont équivalentes. Preuve Soit T ' (F \ i C F \ "i/" X i-> \\i) alors Test une bijection linéaire continue X car par hypothèse 3a > 0 ||x||2 < a \ \ x \ \ Vx e E. Par conséquent T~l est aussi continue par le théorème 4.36, donc 3fi > 0 \\x\\ < p\\x\\ Vx e E. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017. 35 Définition 4.38 (opérateur inversible) Soit E et F deux espaces vectoriels normes et T : E -> F un opérateur linéaire et continu, on dit que T est inversible si T bijectif et 7"' continu. Corollaire 4.39 (preuve exercice) Si £ et F deux espaces de Banach, alors T est inversible si et seulement si Test bijectif. On rappelle la définition suivante : Définition 4.40 (graphe d'une application) Soient F et F deux ensembles et/ une application / noté G(f) est l'ensemble, *-~i / /\ f /y \ T-I J--1 t/lyj == '\^\X,J(X)J t 6 £, X r ZT1*! /* f . X t fi^ = "\* ^\;*» yj e jfir X Théorème 4.41 Soit/ une application continue d'un espace métrique (£, t/È) dans un espace métrique (F, di} , alors le graphe de/ est fermé. Preuve Soit ^(xtt, >;«))'(7e une^iije c'e ^CO qu^Bnverge vers (x, _y) e F x F et on veut montrer que (x, _y) e G(/),^est-à-0e ^ =/(x). Comme „, >-„) -* (x, J;)jJÉpHnHHÉ^'" "* ^ Mais par hyPotnèse/est continue alorsy(^) -» /(x). D o n c = / ( x ) . Par conséquej^ (x, .y) e^/) ce qui montre que G(/) est fermé. Théorème 4.42 (du graphe fermé) yCoient ^H. H^et (F, ||. ||F) deux espaces de Banach et soit T : F -* F un opérateur linépre. Si G(T) est fermé dans F x F, alors 71 est continu. ru vo<HBpr On slfppose que G(F) fermé. On définit l'application P —>. [R + et on vérifie aisément qu'elle constitue 11r r K I 1 /V s II F une deuxième norme sur E, appeler la norme du graphe fermé. On montre maintenant que (F, || . || r) est un espace de Banach. Soit (xn)neN une suite de Cauchy dans (E, \\ ||r), alors Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016/2017. 36 Ve > 0, 3/7o 6 N,Vp, q e N, ((p > HO) e'(? > HO)) => (||xp -x,||£ + \\T(xp) - T(x,)\\ < g) , donc (xn)neN est une suite de Cauchy dans (£, ||. ||£) qui est de Banach, ainsi xn ->' x e £ . De même (r(jc,,)),7eN est une suite de Cauchy dans (F, ||. ||F) qui est de Banach, par conséquent Txn -*f y & F. La suite {(*„, r(xw))}- eN est une suite de G(I) qui est fermé (par hypothèse) et converge vers (x, y), alors: (x, y) e G(7) c'est-à-dire^ = r(x). Donc \\xn- x\\=\\xn-x\\+\\T(xn}-T(x}\\ -> 0, alors (£, de Banach. Comme \\x\\ < \\x\\, Vj e £, et d'après le théorè de Banach, rphisme D'autre part \\T(x)\\ < Par conséquent, Test continu. Remarque 4.43 Bien entendu la réciproque Htfvraie Disque (d'après le théorème 4.41) toute application continue Ck^sùa^LU^klinéaire) a un graphe fermé. Proposition 4.44 (preux Soient (E, II- U) et (^^tff-) deux espaces de Banach et soit Tun opérateur linéaire contintm :és suivantes sont équivalentes: 'image fermée. existene constante c > 0, tel que \\Tx\\ > c\\x\\, £. Bibliographie [1] H. BREZIS, Analyse Fonctionnelle. Théorie et applications, Masson,1983. [2] W. Hengartner, M. Lambert, C. Reischer. Introduction à l'analyse fonctionnelle, les presses de l'université du Québec, 1981. [3] L. Schwartz. Topologie générale et analyse fonctionnelle. Edi. Hermann, 1993. Université Du 20 Août 1955 Skikda. Département Mathématiques. Master 1. 2016 /2017.