analyse fonctionnelle 1 par bellal

Université du 20 août 1955 Skikda
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
îére année MASTER (A.F.A, A.N.EDP, C.O.S.D)
Module : Analyse Fonctionnelle 1.
Chapitre 0 : Préliminaire
Définition 1 (distance)
Soit E un ensemble non vide. Une application d :,;£/'£ -* 1+ définit une
métrique (ou une distance) sur E si elle vérifie V x, y, z e E :
d(x. vV= 0
^
Dr N. BELLAL
Année: 2016/2017
d(x, >•) < d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire)
(0.1)
(0.2)
(0.3)
Définition 2 (espaçj| métrique)
On appelle espace métrique tout couple (E, d) où Jest une métrique (ou une
distance) sur
V
Définition 3 (distances équivalentes)
Deux distances d\ dï sur un même ensemble E, sont dites équivalentes s'il
existe deux?nombres a, fi > 0 vérifiant :
ad\ y~) < d2 (x, y) < fid\ y~), Vx, y e E.
Définition 4 (sous-espace métrique)
Soit (E,d) un espace métrique et .4 une partie de E. On appelle sous-espace
métrique^ de E l'ensemble^ muni de la distance dA définie par
(0.4)
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dA (x, y~) = d(x, y) \/x, y e A . dA est appelé distance induite.
Définition 5 (espace produit)
Soient (E\, d\*),(E2, ^2),---, (En, dn~) espaces métriques. On définit sur
l'espace produit E = E\ E2... xEn les trois distances équivalentes suivantes :
\/x = (x\, x2, .-., xn},y = (y\, y2, • •-,
n
s(x> y) =Z
i=\ y) = sup {d,(xi, yi~)/i = 1,...,»}.
< / < «
(0.5)
On peut vérifier qu'elles constituent des distances sur E et elles sont équivalentes.
Ces distances sont appelées distances usuelles.
Exemple 6
1) On définit sur E = H, (E = C) L'application (x. y) ->• \ -y\t une distance
sur E appelée distance usuelle.
2) Soit£= R"
i, -..,>'»)
On pose
i=\
, 5"(x,y) = sup \x,-y,\n peut vérifier que 8,8' et S" sont des distances sur E.
3) L'espace des fonctions continues noté par£ = c([a, è], 1R) muni de la
distance de la convergence uniforme d* est un espace métrique:
g) = SUP lfa)-g(x)\ < .v < 6
6 ,.
aussi une distance sur £.
Définition 7 (diamètre, ensemble borné)
On appelle diamètre d'une partie A d'un espace métrique E la borne supérieure
S (A) des'distances d(x, y) où x e\.y e ^ :
, y)lx, y
On dit que A est borné lorsque son diamètre est fini.
Définition 8 (distance entre deux ensembles)
(0.6)
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Soient A et B deux parties d'un espace métrique E muni de la distances d. On
appelle distance de A et B la borne inférieure des distances d(x, y) où x e A eiy e
(0.7)
Définition 9 (norme, semi-norme)
Soit £ un espace vectoriel quelconque sur le corps k
On appelle semi-norme sur E une application N : E ->
Vjc, ^ e £, VA: e k:
jV(A;. x) = \k\. N(x) (homogénéité)
Où . désigne la valeurs absolue si k = R ou le module si k =
N (x + y) < N(x) + N(y] (inégalité triangulaire).
Si de plus N vérifie :
(0.8)
(0.9)
N(x} = 0 » x = 0 (séparation),
on dit que Af est une norme sw£ et on notera N par
Définition 10 (espace vectoriel norme)
Un espace vectoriel norme (ou en abrégé : e.v.n)est un espace vectoriel E sur
le corps k = 1 ( ou k = C) muni d'une norme.
(0.10)
Définition 11 (normes équivalentes)
Soit E un espace vectoriel norme muni de deux normes : ||.
que ces deux normes sont équivalentes si :
et II IL. On dit
3 a, 0 > 0, a||jc||, < ||x||2 < ft\\x\e ft (espaces vectoriels normes)
e E.
(0.11)
1)
n
— y
~
i-i
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2)
\\x||3 = sup {x,|, /=!, nj.
\ ||. définissent des normes sur K" et elles sont équivalentes, / = 1, 2, 3.
= sup \f(x]
a<x<b
sont des normes sur £ = C([a, è],
3) Zp(Q) : espace des fonctions de puissance/»- ième intëgrables sur D c H" pour
la mesure de Lebesgue muni de la norme
11/11 L" = (J Jjj^l
est un espace vectoriel norrpé.
4) IP = <( x = (xn}neH : 2] l^f < +oq^ est un espace norme vectoriel muni de
la norme
]T xn\" ; 1 <p <+co
Proposition 13 (preuve exercice)
Un espace vectoriel norme est un espace métrique pour la distance ||x -y\\ d(x, y)- pour tout x et y éléments de E.
Définition 14 (espace préhilbertien)
Soit E un espace vectoriel sur le corps k = (R ( ou k = C). Un produit scalaire
sur £ est une application <p : Ex E -+ k telle que pour tout x, x\ X2, y e E, et
À e k, on a:
je) > 0 et <p(jc, x) = 0 si et seulement si x = 0.
(0.12)
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(0.13)
+ x2,y~) = ç(x\,y) + (p(x2,
(0.14)
(0.15)
Nous utiliserons <p(*, >-) = (x, y) pour désigner un produit scalaire..^!
k = R <p(y, x) = (y, *} = (y, *}. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est
appelé un espace préhilbertien.
r
Proposition 15 (preuve exercice)
Dans un espace préhilbertien E, l'application ||. || :£->[&, donnée
par \\ || = (x, je) T, pour tout x e E, est une norme pour E (c'est donc un espace
vectoriel norme). ^9
Exemple 16 (espace préhilbertien)
1) (*= j) =X JC'>'' es* un Pr°duit scalaire sur tR". La norme associée, appelée
;=1
"norme euclidienne" est définie Bar
surOT'.La ni
V
2) (x, y) =X xnyn est un produit scalaire sur
l2 = <x =^(xn)neN : 5] x,7|2 < +00 [» avec^,, € k = K (ou C). La norme associée
est A
X =
3) (u, v)L2 = J u(x) v(x) dx VM, v e Ci c K" est un produit scalaire sur Z,2(Q). La
norme associée est :
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