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Nombre d'or et suite de Fibonacci
Frédéric Élie, juillet 2011
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supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner
clairement l’auteur et la référence de l’article.
« Filles des nombres d'or,
Fortes des lois du ciel,
Sur nous tombe et s'endort
Un dieu couleur de miel »
(Paul Valéry, Cantique des Colonnes)
Dans cet article nous nous intéressons au nombre d'or d'un point de vue strictement
mathématique, plus particulièrement algébrique et arithmétique. Nous laissons donc de côté les
aspects qui relèvent du symbolisme, de la mystique, et des tentatives qui consistent à voir dans
la nature l'omniprésence du nombre d'or. Pour ces aspects, il existe une littérature abondante
qu'il serait inutile de reproduire ou de référencer ici.
Nous nous limitons à présenter le nombre d'or par sa définition algébrique (c'est la solution
d'une équation du second degré particulière), nous décrivons sa représentation géométrique, sa
présence dans le pentagone régulier, ce qui nous conduira à une relation trigonométrique
fondamentale entre le nombre d'or, noté φ, et le nombre π.
Nous démontrerons comment le nombre d'or est obtenu à partir de la suite de Fibonacci, et nous
ferons une incursion dans la théorie des fractions continues par laquelle on peut calculer φ de
façon itérative et qui permet de démontrer le caractère irrationnel de ce nombre.
Enfin, il existe un développement en série qui permet de calculer π en fonction de φ, avec une
précision aussi fine que l'on veut selon l'ordre de troncature. Sans en donner une démonstration
complète, nous en présenterons une esquisse.
Avec le nombre d'or, il y a déjà largement de quoi occuper le mathématicien dans pratiquement
tous les domaines des mathématiques.
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1 – DÉFINITION ALGÉBRIQUE DU NOMBRE D'OR φ
L'architecte romain Vitruve a introduit sa « loi » sur l'harmonie et les proportions dans une
œuvre picturale:
« Pour qu'un espace divisé en parties inégales apparaisse agréable et esthétique, il devra
exister entre la plus petite et la plus grande partie la même relation qu'entre cette dernière et
l'ensemble. »
Cette formulation équivaut à celle d'Euclide:
« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute
entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. »
Traduite sous forme algébrique, la formulation d'Euclide peut être représentée par la figure 1
dans laquelle on a:
AB
BC =AC AB =
égal par définition au nombre d'or φ, appellation adoptée en l'honneur du sculpteur Phidias qui
l'adopta en premier.
Figure 1 – Définition du nombre d'or φ
Si l'on pose BC = 1 alors la relation précédente donne:
AC=ABBC=AB1
AB=AB1
AB =
ce qui fournit l'équation algébrique du second degré:
φ² – φ – 1 = 0
En fait φ est la racine positive de l'équation algébrique du second degré:
x² – x – 1 = 0
=1
5
2=1,618... 1
La racine négative est notée φ' et vaut:
'=1−
5
2
= - 0,618...
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Entre les deux racines on a les relations:
φφ' = - 1
φ + φ' = 1
autrement dit:
'=−1
ou '=1−  2
Remarque: Ces relations sont l'application d'une propriété générale des racines des équations
du second degré:
ax² + bx + c = 0
où le discriminant est:
=b²−4ac
racine positive:
X=−b
2a
racine négative:
X '=−b−
2a
et l'on a:
XX '=−b
2a −b− 2a = b² − 4a² =c a
XX ' =−b
2a −b 2a =− b a
On en déduit la construction géométrique des segments AB et BC de la figure 1 (figure 2):
figure 2 – Construction géométrique du partage d'un segment selon le nombre d'or
Soit I le milieu d'un segment AC. CD est la perpendiculaire en C de longueur égale à la moitié
IC du segment AC:
CD = IC = AC/2
Le cercle de centre D et de rayon CD coupe la droite AD au point E. On a donc:
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DE = DC
On trace le cercle de centre A et de rayon AE: ce cercle coupe le segment AC au point B et l'on
a les rapports suivants:
AB/BC = AC/AB = φ
B sépare donc AC en deux parties AB et BC qui sont dans le rapport du nombre d'or.
PREUVE: - On pose BC = 1. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ACD qui est
rectangle en C:
AD² = AC² + CD²
Compte tenu des relations suivantes:
CD = AC/2
AC = AB + BC = AB + 1
AD = AE + ED avec AE = AB et ED = DC
AD = AB + DC = AB + AC/2 = AB + (1 + AB)/2 = (3/2)AB + 1/2
il vient:
3
2AB1 2
2
=1AB²1AB²
4
or:
3
2AB1 2=
5
21AB
soit:
AB=1−
5
5−3=1−
5 53
5−3 53=−2−2
5
−4
c'est-à-dire:
AB=1
5
2=
CQFD.
2 – RELATION TRIGONOMÉTRIQUE ENTRE φ ET π
Il existe une relation qui permet de calculer le cosinus de π/5 lorsque l'on connaît la valeur du
nombre d'or φ:
cos 
5= 23
où π/5 = 36°.
Sous son aspect simple, la relation (3) peut être démontrée de différentes façons: à partir de
relations trigonométriques dans le pentagone (méthode la plus simple), jusqu'à l'application de
la théorie des nombres complexes dans la constructibilité géométrique des polygones réguliers
(théorème de Gauss-Wantzel).
Nous développerons en détails la méthode trigonométrique dans le pentagone régulier, et nous
survolerons seulement celle qui est rattachée au théorème de Gauss-Wantzel.
2.1 – Relation trigonométrique entre φ et π dans le pentagone régulier
Considérons le pentagone régulier ADCBEA de la figure 3. Il est inscrit dans le cercle de centre
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O et de rayon R.
figure 3 – Pentagone régulier
Les côtés étant égaux (pentagone régulier), on a:
AD = DC = CB = BE = EA
et les sommets A, D, C, B, E étant sur le cercle, on a:
OA = OD = OC = OB = OE = R
Les triangles de sommet O, AOD, DOC, COB, BOE, EOA sont donc identiques et isocèles: ils
se déduisent l'un de l'autre par une rotation de centre O et d'angle multiple entier de:
γ = 2π/5 = 72°
Examinons n'importe lequel d'entre eux, par exemple BOC. On a dans ce triangle:
γ = (BOC) = 2π/5 donc: 2π/5 + 2β = π, qui donne β = 3π/10 = 54°
Considérons le triangle BAC, de sommet A et de base opposée BC. Nous allons montrer que:
AC
AD =
(on aurait de même AB/AE = φ). De cette relation on déduira ensuite sans difficulté la relation
(3).
PREUVE: - Dans le triangle rectangle OHB, rectangle en H:
BH =OBcos =Rcos 3
10
OH =OBsin =Rsin 3
10
donc:
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