Etudier la courbe paramétrée par x(t) = t3 t − 1 , y(t) = t(t − 2) t

089 - 1
Etudier la courbe paramétrée par
x(t) =
t3
t−1
,
y(t) =
t(t − 2)
.
t−1
Domaine de définition
Les fonctions x et y ne sont pas définies en 1. On a donc D = R \ {1}.
Dérivées
On a
x′ (t) =
t2 (2t − 3)
(t − 1)(3t2 ) − t3
=
(t − 1)2
(t − 1)2
et y ′ (t) =
(t − 1)(2t − 2) − t(t − 2)
t2 − 2t + 2
=
.
(t − 1)2
(t − 1)2
La fonction x′ s’annule en 0 et 3/2. Par contre y ′ est toujours positive.
On a alors
y ′ (t)
t2 − 2t + 2
=
.
x′ (t)
t2 (2t − 3)
Remarquons qu’en t = 0 la courbe passe par l’origine avec une tangente verticale.
Tableau de variation
t
−∞
x′
0
−
0
1
3/2
−
−
+∞
0
+∞
>
0
~
q
−∞
1
y
1
27
4
+∞
1
0
1
− 32
−∞
−∞
y ′ /x′
+
+∞
q
x
y′
+∞
+
+
∞
+
+
∞
+∞
089 - 2
Intersection avec Ox
En dehors de 0, l’ordonnée y(t) s’annule lorsque t = 2, au point d’abscisse 8. Le coefficient directeur de la tangente en ce point vaut 1/2.
Asymptote
Lorsque t tend vers 1, l’abscisse x et l’ordonnée y tendent vers l’infini. On a
y(t)
t−2
= 2 ,
x(t)
t
et cette expression tend vers −1. Ensuite
y(t) + x(t) =
t3 + t2 − 2t
= t2 + 2t ,
t−1
et ceci tend vers 3. La courbe admet comme asymptote la droite d’équation
y = −x + 3 .
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote, on étudie le signe de
y(t) + x(t) − 3 = t2 + 2t − 3 = (t − 1)(t + 3) .
Cette expression est positive lorsque t appartient à l’ensemble
I1 = ] −∞, −3 [ ∪ ] 1, +∞ [ .
La courbe est au-dessus de l’asymptote si t appartient à I1 . Elle est en dessous dans le cas
contraire.
La courbe coupe l’asymptote si t = −3, au point de coordonnées (27/4, −15/4).
Parabole asymptote
Lorsque t tend vers l’infini, l’abscisse x et l’ordonnée y tendent vers l’infini. En écrivant
x(t) =
(t3 − 1) + 1
1
= t2 + t + 1 +
t−1
t−1
et
y(t) =
(t − 1)2 − 1
1
=t−1−
,
t−1
t−1
on peut éliminer les termes en t2 puis en t. En effet
y(t)2 = (t − 1)2 − 2 +
1
1
= t2 − 2t − 1 +
,
2
(t − 1)
(t − 1)2
donc
x(t) − y(t)2 = 3t + 2 +
1
1
−
,
t − 1 (t − 1)2
089 - 3
puis
x(t) − y(t)2 − 3y(t) = 5 +
4
1
−
,
t − 1 (t − 1)2
et cette expression tend vers 5. La courbe admet une parabole asymptote d’équation
x = y 2 + 3y + 5 .
Pour étudier la position de la courbe par rapport à cette parabole, on étudie le signe de
x(t) − y 2 (t) − 3y(t) − 5 =
4t − 5
.
(t − 1)2
La courbe est à l’intérieur de la parabole lorsque t appartient à l’intervalle
I2 = ] 5/4, +∞ [ .
La courbe coupe la parabole lorsque t = 5/4, au point de coordonnées (125/16, −15/4).
Point d’inflexion
On a
x′ (t) = 2(t − 1) + 3 −
puis
x′′ (t) = 2 +
1
(t − 1)2
2
(t − 1)3
et y ′ (t) = 1 +
et y ′′ (t) = −
et l’on en déduit
x′ (t)y ′′ (t) − y ′ (t)x′′ (t) = −2t
1
,
(t − 1)2
2
,
(t − 1)3
t2 − 3t + 6
.
(t − 1)3
Le seul point d’inflexion possible est donc en t = 0.
Point double
On considère le système

t31
t32


=

 t1 − 1
t2 − 1
avec t1 différent de t2 .
,



 t1 (t1 − 2) = t2 (t2 − 2)
t1 − 1
t2 − 1
En regroupant tous les termes dans le membre de gauche et en réduisant au même dénominateur,
on peut simplifier par t1 − t2 , et le système devient
(t1 + t2 )t1 t2 − (t21 + t1 t2 + t22 ) = 0
.
t1 t2 − (t1 + t2 ) + 2 = 0
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Si l’on pose
S = t1 + t2
et P = t1 t2 ,
les nombres t1 et t2 sont racines du trinôme T (X) = X 2 − SX + P .
On peut exprimer le système en fonction de S et P .
SP − S 2 + P = 0
.
P −S+2=0
En remplaçant P par S − 2 dans la première équation, on obtient
−S − 2 = 0 ,
d’où
P = −4 et S = −2 .
Le trinôme
T (X) = X 2 − SX + P = X 2 + 2X − 4
a un discriminant positif et admet donc des racines réelles. On peut obtenir les valeurs de x et
y sans calculer ces racines. Si t est une de ces racines, on a
t2 = −2t + 4 ,
donc
t3 = −2t2 + 4t = 8t − 8 et t2 − 2t− = −4t + 4 .
Alors
x(t) = 8 et
y(t) = −4 .
Le point double a donc pour coordonnées (8, −4).
089 - 5
Tracé de la courbe
6
3
-