4-2-Divisibilité dans - prenum

Cours de Divisibilité proposé par Ngueusseu Jean Marie /PROJET-PRENUM AC
1- DÉNOMINATION DE LA RESSOURCE ET CONTRIBUTEURS
 Titre de la ressource : Divisibilité
 Nom de l’étudiant : Ngueusseu Jean Marie
 Nom de l’encadreur de l’ENS : Pr. Hubert Nnang
 Nom de l’inspecteur : Tchoutio Moïse (IPN)
Nom de l’encadreur du lycée : Fotsing Joseph (PLEG- HE)
2-OBJECTIFS PEDAGOGIQUES SPECIFIQUES
A l'issue de ce cours, l'apprenant doit être capable de:
i. Définir et effectuer une division euclidienne avec des entiers naturels ( et des entiers
relatifs ().
ii. Reconnaître les propriétés de la relation de divisibilité 
iii. Utiliser les propriétés de la divisibilité pour :
 reconnaître qu’un entier est premier ;
 effectuer la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers ;
 déterminer les diviseurs d’un entier ;
iv. Utiliser le théorème de Gauss et l’égalité de Bézout pour résoudre certains problèmes
de divisibilité.
v. Utiliser le lien entre la divisibilité et la relation de congruence pour la résolution de
certains problèmes liés à la divisibilité, la détermination des restes et la résolution des
équations de type 
vi. Écrire un entier dans un système de numération quelconque.
3-LIENS AVEC LES AUTRES PARTIES DU PROGRAMME
Ce cours sera utilisé dans la leçon portant sur le PGCD et le PPCM pour la
détermination du plus grand commun diviseur de deux entiers, pour la détermination du plus
petit commun multiple de deux entiers. La notion de divisibilité peut être enseignée à tout
moment en cours d’année scolaire. Mais de préférence, elle devrait l’être en début d’année à
cause de sa difficulté à être maîtrisée par beaucoup d’apprenants.

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INTRODUCTION :
Les nombres et leurs propriétés ont fascinés les hommes depuis la plus haute antiquité
et une science des nombres, l’arithmétique s’est très tôt constituée. Cette science (qui fut
souvent qualifiée de « Reine des mathématiques » en raison de la simplicité de son objet, de la
simplicité des énoncés qui la constitue, de l’élégance et de la simplicité de ses méthodes et
des nombreuses conjectures, aux formulations les plus simples, qui ont traversé les siècles
après avoir occupé des générations de mathématiciens) a pendant très longtemps été purement
spéculative, voir exotique, car n’ayant pas d’applications et n’a donc été cultivé que pour le
plaisir de l’esprit, le plaisir de répondre aux énigmes et défis qu’elle proposait.
Ce n’est qu’à une période très récente, avec l’apport de la puissance de calcul des
ordinateurs que la théorie des nombres a trouvé des applications techniques et théoriques :
Les systèmes de cryptographie à clés privées qui utilisent les congruences modulo 2 et
surtout les systèmes à clés publiques qui utilisent les nombres premiers, les congruences, le
petit théorème de Fermat. Ref
L’arithmétique mérite donc de tenir une place dans la série scientifique pour l’enseignement
de la spécialité en raison de son importance dans le développement des mathématiques.
L’objectif est de donner aux élèves un minimum cohérent de notions élémentaires permettant
l’élaboration d’algorithme simple et fondamentaux et l’introduction d’application diverses à
l’intérieur et en dehors du domaine mathématiques.
Pré requis :
Avant d’aborder cette leçon on doit s’assurer que l’élève maîtrise :
 La notion de diviseurs et de multiples d’un nombre entier relatif.
 Les critères de divisibilité dans un système décimal.
 Les propriétés d’addition et de multiplication dans.

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4-DIVISIBILITE
Cette partie vise à mettre en place les propriétés de la divisibilité qui serviront dans la
suite. Les exercices porteront sur les entiers relatifs. Mais dans la suite nous faisons le choix
délibéré de travailler sur les nombres entiers naturels.
4-1- Rappels sur et .
 L’ensemble .
désigne l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers naturels non nuls.
On aet.
n’a pas de plus grand élément.
Le plus petit élément de est 0.
Sous-ensemble de 
Un sous-ensemble de l’ensemble est une partie A de l’ensemble. Les sous-
ensembles de possèdent les propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute partie non vide A de  possède un plus petit élément.
Propriété 2 : Toute partie non vide A et majorée de admet un plus grand élément.
Exemple:
L’ensemble  est une partie non vide de , son plus petit élément est .
Exercice :
Déterminer le plus petit élément de chacune des parties A de définie par :
a) ; b) 
 L’ensemble
désigne l’ensemble des entiers relatifs etl’ensemble des entiers relatifs non nuls.
On aet.
Addition dans 
L’addition dans possède des propriétés suivantes :Ref

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Propriétés :
P1).
En effet sialors , donc.
P2)
En effet, on a donc  d’après
P1)
P3lorsque .
Ordre dans 
Pour tous nombres entiers relatifs  et , on pose :–  = + 
On définit dans  une relation, notée  par :
( ,) 2 (
Cette relation est réflexive, antisymétrique et transitive. De plus, toute partie (m ; n) de deux
éléments de admet un plus petit élément. On dit que  est totalement ordonné.
Propriétés :
Soient  et  deux entiers relatifs
P4) Pour tout entier relatif, on a :.
P5) Pour tout entier  strictement positif ; on a : .
P6) Pour tout entier  strictement négatif, on a :  .
Propriétés :
P7) Toute partie non vide et majorée de  admet un plus grand élément.
P8) Toute partie non vide et minorée de admet un plus petit élément.
Exemple 1:
L’ensemble  est une partie non vide et majorée. Son plus grand
élément est 0.
Exemple 2 :
L’ensemble  est une partie non vide et minorée de  Son plus petit
élément est 2.
Propriété : Ref
Soient et deux entiers relatifs tels que . Il existe un entier relatif  tel que :
. On dit que  est archimédien.
Démonstration
1er cas : 

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 Si  0, il suffit de prendre : 
 Si  0, il suffit de prendre : 
2ème cas : 
On a : ; donc il existe un entier relatif m tel que (). Il suffit de
prendre :
4-2-Divisibilité dans :
4-2-1 Multiples et diviseurs d’un entier relatif
Définition :
Soient  deux entiers relatifs.
On dit que est un multiple de  s’il existe un entier relatif tel que. On dit
aussi que divise, ou que est divisible par  et on note.
Exemple :  donc  divise . De même, divise .
L’ensemble des diviseurs de est : .
Remarques :
1) Si , ( on a aussi donc si  divise , 
divise  et réciproquement. Donc les entiers relatifs  et  ont même ensemble
de diviseurs dans . En particulier, comme,  divise .
2) Tout entier relatif est multiple de  et de 
3)  est multiple de tout entier relatif.
Exercices :
1) Déterminer dans chaque cas, les entiers relatifs dont les nombres donnés sont
multiples :a)  ; b) ; c)  ; d) 
2) Déterminer dans chaque cas, les entiers relatifs diviseurs des nombres donnés
ci- après : a) ; b) ; c)  ; d) .
Exercice :
Déterminer les entiers  tel quesoit un diviseur de 
Solution : on a (   impose  )
Mais  peut s’écrire,
donc  ). Il en résulte que .