ef corrige math1 st sujet2 2016 2017

Epreuve …nale MATH1 ST sujet 2
Exercice 01: (5 pts) Soit fune application de Nvers Ndé…nie par:
n7! f(n) = n
2si nest pair (63264862c64a)
n+1
2si nest impair (64163162f64a)
(1) a) Donner la dé…nition d’une application.
(0.25 pt) fest une application ,
(1.5 pt) b) fest-elle une application? f....................................................................car:
(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.
(0.25 pt) fest injective ,
(1.25 pt) b) fest-elle injective? f....................................................................car:
(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.
(0.25 pt) fest surjective ,
(1.5 pt) b) fest-elle surjective? f....................................................................car:
Exercice 02: (6 pts)
(1) Soit fla fonction dé…nie de R+vers Rpar:
f(x) = 4x+ 5
x+ 3
(1.5 pt) Sans l’utilisation de la dérivée fest-elle strictement monotone?
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(2) On dé…nie la suite (Un)n2Npar:
U0= 2
Un+1 =4Un+ 5
Un+3; n 2N:
(1.5 pt) Montrer que: 8n2N: 0 < Un<5:
(3) En déduire que (Un)n2Nest convergente et calculer sa limite.
(1.5 pt) Critère de convergence:
(0.5 pt +1 pt) La limite est..................... car:
Exercice 3: (4.5 pts) Soit la fonction :
f:R!R; x 7! f(x) = x3sin 1
x2si x6= 0
0si x= 0
(1) (0.25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction fsur R:
(2) (0.25 pt +1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction fsur R:
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(3) (0.25 pt +1 pt) La première dérivée de fest-elle continue sur R?
Exercice 4: (4.5 pts)
(1) (1 pt) Donner les équations D’EULER.
(2) (1 pt) Donner le théorème de Rolle.
(3) (2.5 pts) Ecrire sin 6xen fonction des puissances de cosinus et de sinus.
3
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Le corrigé du sujet 2 de l’épreuve …nale du MATH1 ST 2016-2017
Exercice 01: (5 pts) Soit fune application de Nvers Ndé…nie par:
n7! f(n) = n
2si nest pair
n+1
2si nest impair
(1) a) Donner la dé…nition d’une application.
(0.25 pt) gest une application , 8n2N; f (n)existe et f(n)2N:
b) fest-elle une application? fest une application car:
Si nest impair )f(n) = n+1
22N:(0.75 pt)
Si nest pair )f(n) = n
22N:(0.75 pt)
)g(m)existe et g(m)2N:
(2) a) Donner la dé…nition d’une application injective.
(0.25 pt) fest injective , 8m1; m22N; f (m1) = f(m2))m1=m2
b) fest-elle injective? fn’est pas injective (0.5 pt) car: (avec justi…cation si non
c’est faux)
36= 4 et f(3) = f(4) = 2 (0:75 pt)
(3) a) Donner la dé…nition d’une application surjective.
(0.25 pt) fest surjective , 8m2N;9n2Ntq f(n) = m:
b) fest-elle surjective? fest surjective (0.5 pt) car: (avec justi…cation si non c’est
faux)
Si m2N) 9n= 2mtq: f(n) = g(2m) = 2m
2=m(1 pt).
Exercice 02: (6 pts)
(1) Soit fla fonction dé…nie de R+vers Rpar:
f(x) = 4x+ 5
x+ 3
(1.5 pt) Sans l’utilisation de la dérivée fest-elle strictement monotone?
Soit xet x02R+tq: x > x0
f(x)f(x0) = 7 (xx0)
(x+ 3) (x0+ 3) >0 (1:25 pt)
alors fest strictement croissante. (0.25 pt).
1
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(2) On dé…nie la suite (Un)n2Npar:
U0= 2
Un+1 =4Un+ 5
Un+3; n 2N:
(1.5 pt) Montrer que: 8n2N: 0 < Un<5:
1) Montrer que Uni0pour tout n0:
Montrons par récurrence que: 8n2N:Un>0::::: (An)
Pour n= 0 on a: U0= 2 >0)(A0)est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An)est vraie
pour un n2N.
et montrons que(An+1)est vraie ç-à-d:Un+1 >0?
en e¤et: :Un+1 =4Un+ 5
Un+3>0(0.25 pt).
D’où Vn>0:8n2N:
2) Montrer que Un<5pour tout n0:
Montrons par récurrence que: 8n2N:Un<5::::: (An)
Pour n= 0 on a: U0= 2 <6)(A0)est vraie (0.25 pt).. Supposons que (An)est vraie
pour un n2N.
et montrons que(An+1)est vraie ç-à-d:Un+1 <5?
en e¤et: :Un+1 5 = 4Un+ 5
Un+35 = 4Un+ 55Un15 4n+3=Un10 Vn+3<0(0.75 pt).)Un+1 <5:
D’où Un<5:8n2N:
(3) En déduire que (Un)n2Nest convergente et calculer sa limite.
Critère de convergence: (Un)n2Nest majorée par 5 (0.5 pt) et elle est strictement croissante
car fest strictement croissante (1 pt)donc elle converge.
La limite est 1+p21
2(0.5 pt )car:
Un+1 =g(Un))lim
n!+1Un+1 = lim n!+1f(Un)
)l=f(l))l=4l+ 5
l+ 3 )l2l5 = 0
)l=1p21
2<0ne convient pas
ou l=1 + p21
2:(1 pt)
Exercice 3: (4.5 pts) Soit la fonction :
f:R!R; x 7! f(x) = x3sin 1
x2si x6= 0
0si x= 0
(1) (0.25 pt +1.25 pt) Etudier la continuité de la fonction fsur R:
2
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