Tétraèdres euclidiens à faces isométriques

Boulevard Albert-Elisabeth, 2
7000 Mons Document 4
Belgique
Mail: [email protected]e
Site: www.hecfh.be/cellulegeometrie
Cellule de géométrie – Catégorie pédagogique de la HEH
DEMAL Michel DRAMAIX Jérémy
[email protected] [e-mail]
HIGNY Samuel MALAGUARNERA Angelo
[e-mail] [e-mail]
Avec la collaboration de
Mathématiques élémentaires
Tétraèdres euclidiens à faces isométriques (T.E.F.I.)
ADABBO F. - GOETGEBUER C. - PILAETE C.
Centre de Recherche de la HAUTE ECOLE
de la Communauté française en HAINAUT

Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
2
LetétraèdrerégulierestbienconnudepuisPlaton(5esiècleavant
notreère)etunedeses particularitésestquetoutessesfacessont
destriangleséquilatérauxisométriques.
Nousnousproposonsdanscetexposé:
1. demontrer,viaunlogicielinformatique,l’existenced’une
infinitédetétraèdreseuclidiensdontlesfacessontdestriangles
isométriquesnon‐équilatéraux;
2. depréciserlanaturedestrianglesaveclesquelsilestpossible
d’obtenirdetelstétraèdreseuclidiens.
3. deconstruireensembledetelstétraèdres.
Ceseraaussil’occasiondemontrerl’utilitédequelquespropriétés
classiquesdegéométrieplaneetdetrigonométrie.

Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
3
Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriques(T.E.F.I.)
Plan
1. Lestétraèdreseuclidiens
2. Lestétraèdreseuclidiensàfacesisométriques(T.E.F.I.)
RecherchedetouslesT.E.F.I.
2.1. Existencedestétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
2.1.1. Approcheintuitive
2.1.2. Briquesettétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
2.2. Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriquesettypesdetriangles
2.2.1. Premièreidée,labrique
2.2.2. Deuxièmeidée,ledéveloppement
2.2.3. EssaisdeconstructiondeT.E.F.I.
2.2.4. PhotosdesT.E.F.I.obtenusgrâceauxmodèles
2.2.5. Pourquellesraisonsdanslescasdestrianglesobtusanglesetrectangles,
iln'estpaspossibledeconstruireletétraèdreeuclidienàfaces
isométriques?Oùsetrouveleproblème?
2.2.6. Conclusion
3. Annexe
3.1. Polygoneseuclidiens:définition
3.2. Polyèdreseuclidiens:définition

Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
4
1. Lestétraèdreseuclidiens
Untétraèdreeuclidienestunpolyèdreeuclidien(*)donttouteslesfacessontdestriangles.
(*voirannexepage21)
Exemples:
- Tétravientdugrecetsignifiequatre.
- Siunpolyèdreeuclidiencontientquatrefaces,alorscelles‐cisontnécessairementdes
triangles.
- Letétraèdreeuclidienestlepolyèdreeuclidienquipossèdelepluspetitnombrede
faces.
Remarque:Euclidienausensoùlesfacessontdespolygonesplans.
Ilexistedespolyèdresoùlesfacessontdespolygonesgauches(nonplans):
lespolyèdresdePetrie.
Àunecouleurcorrespondunpolygonegauche
2. Lestétraèdreseuclidiensàfacesisométriques(T.E.F.I.)
Untétraèdreeuclidienàfacesisométriquesestuntétraèdredontlesquatrefacessontdes
trianglesisométriques.
Exemples:
Tétraèdrerégulieràfacesisométriques
(touteslesfacessontdestriangleséquilatéraux)
Tétraèdrenonrégulieràfacesisométriques
3facesgauches   4facesgauches  4facesgauches

Tétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT
5
Remarque:LetétraèdredePetrieoucubedePetrieestunpolyèdreàfacesnonplanes
isométriquesformédequatrehexagonesgauchesréguliersisométriques.
Cesontles4hexagonesrégulierssuivants:
L'hexagonerouge(7–8–3–4–1–6)
L'hexagonebleu(7–2–3–4–5–6)
L'hexagonevert(7–8–5–4–1–2)
L'hexagonenoir(2–3–8–5–6–1)
RecherchedetouslesT.E.F.I.
2.1. Existencedestétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
2.1.1. Approcheintuitive
Traçonsuntriangledansunplandel'espace.Ilnoussemblealorspossibledetrouverun
pointdel’espacequi,lorsqu’onlerelieàchacundessommetsdutriangle,formeun
tétraèdreeuclidienàfacesisométriques.
 Tétraèdreseuclidiensàfaces  Tétraèdreseuclidiensàfaces
nonisométriquesisométriques
2.1.2. Briquesettétraèdreseuclidiensàfacesisométriques
Danstoutparallélépipèderectangle,ilestpossibledeconstruireuntétraèdreeuclidienà
facesisométriques.Cestétraèdressontformésdetrianglesdontlescôtéssont
respectivementlesdiagonalesdestroistypesdefacesdela"brique".Cesquatretriangles
sontisométriquescardanstoutparallélépipèderectangle,lesfacesopposéessontdes
rectanglesisométriquesetdanstoutrectangle,lesdiagonalessontisométriques.
A
D
B
C
14
6
7
23
8
5