les nombres premiers

LES NOMBRES PREMIERS
Contenus : Exemples de problèmes :
Nombres premiers :
● Nombres premiers.
● Existence et unicité de la décomposition
en produit de facteurs premiers.
Questionnement sur les nombres premiers : infinitude,
répartition, tests de primalité, nombres premiers particuliers
(Fermat, Mersenne, Carmichaël).
Sensibilisation au système cryptographique RSA.
I. Nombres premiers :
1°) Définition :
Définition :
Un nombre p ∈ ℕ est premier s'il possède exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même.
Exemples :
0 n'est pas un nombre premier car il possède une infinité de diviseurs.
1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un seul diviseur dans ℕ, lui-même.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 65537 sont des nombres premiers.
Propriétés :
(i) Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 possède au moins un diviseur premier.
(ii) Le plus petit diviseur premier p d'un nombre entier naturel n non premier est tel que
p⩽
√
n
.
Preuve :
(i) Si n est premier, il possède n comme diviseur, qui est premier.
Si n n'est pas premier, il possède des diviseurs différents de n (on les appelle des diviseurs propres
de n) et de 1. Appelons E l'ensemble des diviseurs propres de n différents de 1. Cet ensemble
possède forcément un plus petit élément p. Si p n'était pas premier, il admettrait un diviseur d tel que
1 < d < p. d serait alors un diviseur de n (par transitivité de la divisibilité), ce qui n'est pas possible
puisque p est le plus petit diviseur différent de 1 de n. Donc p est premier.
(ii) Soit p le plus petit diviseur de n. On a alors p = n × k où k est aussi un diviseur propre de n et on a
forcément p  k donc p2  pk = n, soit
p⩽
√
n
.
Cette dernière propriété nous fournit un critère de primalité :
2°) Critère de primalité :
Propriété :
Soit n un entier naturel. Si n n'est divisible par aucun nombre premier p tel que
p⩽
√
n
, alors n est
premier.
Preuve :
C'est la contraposée de la propriété (ii) précédente.
Exemple :
167 est-il un nombre premier ?
√
167≈12 ,9
, il faut donc vérifier si 167 est divisible par 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 et
11 (les nombres premiers inférieurs ou égaux à 12). 167 n'est divisible par aucun de ces nombres (on peut
utiliser les critères de divisibilité pour la plupart d'entre eux), il est donc premier.

3°) L'ensemble des nombres premiers :
Propriété :
Il existe une infinité de nombres premiers. (Euclide)
Preuve :
Supposons que l'ensemble E des nombres premiers soit fini, c'est à dire qu'il existe k nombres premiers :
p1 ; p2 ; p3 ; … ; pk. Considérons le nombre n = p1p2p3 … pk + 1 =
∏
i=1
k
pi
+ 1.
Cas 1 : n est premier, et on a donc trouvé un nouveau nombre premier.
Cas 2 : n n'est pas premier, et il possède donc un diviseur propre différent de 1 et qui n'appartient pas à E.
En effet, s'il appartient à E, il divise donc
∏
i=1
k
pi
, et comme il divise aussi n =
∏
i=1
k
pi
+ 1, il divise leur
différence 1, ce qui n'est pas possible.
Dans chacun des cas, nous avons montré qu'il existait un autre nombre premier n'appartenant pas à E.
L'ensemble des nombres premiers est donc infini.
II. Décomposition en facteurs premiers :
1°) Existence et unicité :
Propriété :
Tout nombre n  2 s'écrit comme produit unique, à l'ordre des facteurs près, de nombres premiers.
C'est-à-dire qu'il existe k nombres premiers p1, p2, p3, … pk et k entiers non nuls 1, 2, 3, … k tels que :
n=p1
α1p2 α2p3 α3…pk αk
Remarque :
Dans le cas où n est premier, le produit n'a qu'un seul facteur.
Preuve :
Existence :
Soit un entier n  2. On a vu plus haut qu'il existe p1 premier tel que p1 | n. On peut donc écrire n = n1p1
avec 1  n1 < n, car p1 > 1.
Si n est premier, alors n1 = 1 et n = p1 est la décomposition cherchée.
Si n n’est pas premier, n1 ≠ 1, et comme n1  2, il existe p2 premier tel que p2 | n1 et n s’écrit
n = n2p2p1 où 1  n2 < n1 < n.
Si n2 = 1, n = p1p2 est la décomposition voulue.
Si n2 ≠ 1, n2  2 ⇒ ∃ p3 | n2, p3 premier, etc.
C’est-à-dire que n se divise successivement par n1 > n2 > … > ni qui est une suite strictement décroissante
d’entiers positifs : il existe donc un plus petit élément nk qui divise n et ce nk n’est autre que 1.
Par suite, on a n = p1p2 … pk.
Unicité :
Supposons qu'un diviseur premier p apparaisse dans une décomposition en facteurs premier de n avec un
exposant   1 et dans une autre décomposition avec l'exposant   0 (0 représente le cas où il n'apparait pas
dans la deuxième décomposition).
On a alors n = pa = pb où a et b ont une décomposition en facteurs premiers différents de p. Ceci
signifie que p et a sont premiers entre eux, ainsi que p et b.
Si  > , on a p–a = b ce qui voudrait dire que p | b, ce qui est impossible.

Si  < , on a p–b = a ce qui voudrait dire que p | a, ce qui est impossible.
On a donc forcément  = .
Exemples :
12 = 22 × 3 ; 1500 = 22 × 3 × 53.
2°) Recherche de diviseurs :
Propriété :
Soit n  2 et
n=p1
α1p2 α2p3 α3…pk αk
sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Alors les diviseurs positifs de n sont tous les nombres de la forme
d=p1
β1p2 β2p3 β3…pk βk
où 0  βi  αi,
∀i ∈ {1 ; … ; k}.
Preuve :
Elle se fait en deux étapes puisqu’il faut montrer :
d=p1
β1p2 β2p3 β3…pk βk
où 0  βi  αi ⇔ d | n.
⇒ Si
d=p1
β1p2 β2p3 β3…pk βk
, alors d divise n. Cette condition nécessaire est évidente puisqu’alors
n=
(
p1
β1p2 β2p3 β3…pk βk
) (
p1
α1−β1p2 α2−β2p3 α3−β3…pk αk−βk
)
.
⇐ Inversement, si d | n, alors n s’écrit sous la forme n = ad. Les entiers a et d sont plus petits que n et se
décomposent de manière unique en produits de facteurs premiers. En faisant le produit, on obtient n et sa
décomposition unique en facteurs premiers : les facteurs intervenant dans la décomposition de d font donc
partie des pi en nombre au plus égal à αi.
Exemple :
395 136 = 27 × 32 × 73 donc 22 × 32 × 7 = 252 ; 25 × 30 × 72 = 10 976 ; 20 × 31 × 73 = 1 029 et
26 × 32 × 71 = 4 032 sont des diviseurs de 395 136.
3°) Pgcd :
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et p1, p2 … pk, l'ensemble des nombres premiers
entrant dans la décomposition en facteurs premiers de a et b. On a alors
a=p1
α1p2 α2p3 α3…pk αk
et
b=p1
β1p2 β2p3 β3…pk βk
où i et i sont des entiers naturels pouvant être nuls (si le facteur pi n'entre pas dans la
décomposition du nombre). Dans ces conditions, si  = pcgd(a ; b), alors
δ= p1
min(α1,β1)p2 min(α2,β2)p3 min(α3,β3)…pk min(αk,βk)
.
Preuve :
C'est une conséquence de la propriété précédente. En fait, la décomposition en facteurs premiers de  est
la partie commune de la décomposition en facteurs premiers de a et de b.
Exemple :
a = 211 288 = 23 × 74 × 11
b = 142 688 = 25 × 73 × 13
donc pgcd (a ; b) = 23 × 73 = 2744.