SESSION 3

L ICENCE MATH ÉMATIQUES 2 ÈME ANN ÉE
IS4 – 2005 – 2006
SESSION 3
A RITHM ÉTIQUE , POLYN ÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
1. P OLYN ÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
Soit K un corps. Soient P et Q ∈ K[X] deux polynômes. Le quotient et le reste de la division euclidienne de P par
Q sont respectivement obtenus par les commandes : quo(P,Q,X) et rem(P,Q,X).
On dit qu’un polynôme P ∈ K[X] est réductible sur K (ou dans K[X]) s’il existe deux polynômes Q, R ∈ K[X]
de degrés respectifs strictement inférieurs à celui de P tel que P = QR. On dit que P est irréductible sur K dans le cas
contraire. Par exemple, le polynôme X 2 + 1 est irréductible sur R mais est réductible sur C car X 2 + 1 = (X + i)(X − i).
Le plus grand diviseur commun de deux polynômes P et Q est un polynôme A qui divise P et Q et tel que, si B
est un autre diviseur de P et Q, alors B divise A. On dit que deux polynômes P et Q sont premiers entre eux si leur plus
grand diviseur commun est égal à 1.
E XERCICE 1 . On considère les polynômes P = X 4 + 1, Q = X 3 + 7, R = X 7 + 8X 4 − X 3 − 8, S = X 4 + 6X 2 + 4,
T = X 3 + 3X 2 − 9X + 5 comme des expressions dans une feuille de calcul Maple.
Calculer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de R par P. Vérifier que R = Pq + r.
Vérifier que P et Q sont irréductibles sur Q en utilisant la commande irreduc.
Vérifier avec factor et l’option real que P et Q se factorisent sur R.
Trouver la factorisation de P et Q sur C avec factor et l’option complex.
Analyser le résultat de la commande factor(P,sqrt(2));
Montrer que P et Q sont premiers entre eux avec gcd.
On sait que pour tout couple de polynômes P, Q ∈ K[X] il existe deux polynômes A, B tels que AP + BQ =
pgcd(P, Q). Calculer A et B dans ce cas à l’aide de la commande gcdex(P,Q,x,’A’,’B’); et vérifier la
formule AP + BQ = 1.
(8) Factoriser R sur Q, sur R et sur C.
(9) En utilisant la commande solve, écrire une procédure decomp qui donne la décomposition en monômes d’un
polynôme donnée. Par exemple, decomp(Xˆ2-1) envoie Xˆ2-1=(X-1)(X+1). Trouver les décompositions
des polynômes P, R, S et T .
(10) Trouver tous les polynômes P de degré inférieur ou égal à 4 tels que P(2X) − 2P(X)2 + 1 soit divisible par X 6 .
On pourra utiliser ici la commande coeffs.
(1)
(2)
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(4)
(5)
(6)
(7)
E XERCICE 2 . Soit U ∈ K[X]. On dit que α est une racine de multiplicité m de U si U (k) (α) = 0, pour tout k =
1, . . . , m − 1. Soit U = T R.
(1) Montrer que 1 est racine de U.
(2) Écrire une boucle (avec while) pour déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 de U en utilisant les
dérivées de U.
2
2. A RITHM ÉTIQUE SUR LES ENTIERS
On commence par charger la bibliothèque numtheory : with(numtheory).
Les commandes iquo et irem sont les analogues des commandes quo et rem pour les entiers. La syntaxe est
iquo(a,b) ou irem(a,b).
La commande a mod n retourne la classe d’équivalence de l’entier a modulo l’entier positif n.
La commande isprime(a) vérifie si le nombre entier a est premier et la commande gcd(a,b) (resp. lcm(a,b))
calcule le pgcd (resp. ppcm) de a et de b. La commande divisors(a) calcule tous les diviseurs de l’entier a.
E XERCICE 3 .
(1)
(2)
(3)
(4)
Combien 15! admet-il de diviseurs ?
Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000 .
Écrire une boucle (avec while) pour déterminer le 700-ème nombre premier.
Écrire une boucle (avec while) pour déterminer le premier nombre premier qui succède à 40000.
E XERCICE 4 . Soit a = 1049427 et b = 17493.
(1) Trouver le pgcd g de a et b. Ce pgcd est-il premier ? Si ce pgcd n’est pas premier, trouver la liste de ses diviseurs.
(2) Décomposition en facteurs premiers :
(a) Soit n ∈ N. Écrire une procédure listttepre qui calcule la liste de diviseur de n, et qui ensuite pour
chacun des diviseurs premiers pi de n, calcule la plus grand puissance νi de pi qui divise n. Les résultats
doivent être envoyés sous la forme d’une liste
[[p1 , ν1 ], [p2 , ν2 ], . . . , [pn , νn ]].
Par exemple, listepre(6) donne [[3,1],[2,1]].
(b) Appliquer listepre sur a, b et g.
(3) On rappelle que ab = pgcd(a, b)ppcm(a, b). Déterminer à partir de la question précédente la décomposition en
facteurs premiers du ppcm de a et de b : faire la fusion des deux listes listepre(a) et listepre(b) et en
extraire la liste listepre(g) (on pourra utiliser les commandes member et subsop pour les listes). Vérifier
le résultat obtenu en calculant le ppcm de a et de b avec lcm.
E XERCICE 5 . Calculer la plus grande puissance de 10 qui divise 2000!.
E XERCICE 6 . Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, 6 est parfait
(car 6 = 1 + 2 + 3).
(1) Écrire une procédure qui prend en argument un entier n et qui retourne ”vrai” si n est parfait et ”faux” sinon.
(2) En déduire la liste des nombres parfaits inférieurs à 10000.
E XERCICE 7 . On cherche la décomposition en base 2 d’un entier n. Le principe est très simple. On effectue la division
entière de n par 2. On trouve un quotient q0 et un reste r0 . On recommence avec q0 : on effectue la division entière de q0
par 2. On trouve un quotient q1 et un reste r1 . On construit ainsi une suite de restes (r0 , r1 , r2 , . . . ). On arrête le processus
dès que l’on trouve un quotient qk égal à 0. La décomposition de n en base 2 est alors (r0 , r1 , . . . , rk ).
Écrire une procédure base2 qui reçoit un entier n et qui retourne sa décomposition en base 2 en forme [r0 , r1 , . . . , rk ].
Par exemple, base2(10); retourne [1, 0, 1, 0].