SESSION 3

LICENCE MATH ´ EMATIQUES 2` EME ANN ´ EE IS4 – 2005 – 2006
SESSION 3
ARITHM ´ ETIQUE,POLYN ˆ OMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
1. POLYN ˆ
OMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
Soit Kun corps. Soient Pet Q∈K[X]deux polynˆ omes. Le quotient et le reste de la division euclidienne de Ppar
Qsont respectivement obtenus par les commandes : quo(P,Q,X) et rem(P,Q,X).
On dit qu’un polynˆ ome P∈K[X]est r´ eductible sur K(ou dans K[X]) s’il existe deux polynˆ omes Q,R∈K[X]
de degr´ es respectifs strictement inf´ erieurs ` a celui de Ptel que P=QR. On dit que Pest irr´ eductible sur Kdans le cas
contraire. Par exemple, le polynˆ ome X2+1 est irr´ eductible sur Rmais est r´ eductible sur Ccar X2+1= (X+i)(X−i).
Le plus grand diviseur commun de deux polynˆ omes Pet Qest un polynˆ ome Aqui divise Pet Qet tel que, si B
est un autre diviseur de Pet Q, alors Bdivise A. On dit que deux polynˆ omes Pet Qsont premiers entre eux si leur plus
grand diviseur commun est ´ egal ` a 1.
EXERCICE 1.On consid`
ere les polynˆ omes P=X4+1,Q=X3+7,R=X7+8X4−X3−8,S=X4+6X2+4,
T=X3+3X2−9X+5 comme des expressions dans une feuille de calcul Maple.
(1) Calculer le quotient qet le reste rde la division euclidienne de Rpar P. V´ erifier que R=Pq +r.
(2) V´ erifier que Pet Qsont irr´ eductibles sur Qen utilisant la commande irreduc.
(3) V´ erifier avec factor et l’option real que Pet Qse factorisent sur R.
(4) Trouver la factorisation de Pet Qsur Cavec factor et l’option complex.
(5) Analyser le r´ esultat de la commande factor(P,sqrt(2));
(6) Montrer que Pet Qsont premiers entre eux avec gcd.
(7) On sait que pour tout couple de polynˆ omes P,Q∈K[X]il existe deux polynˆ omes A,Btels que AP +BQ =
pgcd(P,Q). Calculer Aet Bdans ce cas ` a l’aide de la commande gcdex(P,Q,x,’A’,’B’); et v´ erifier la
formule AP +BQ =1.
(8) Factoriser Rsur Q, sur Ret sur C.
(9) En utilisant la commande solve,´ ecrire une proc´ edure decomp qui donne la d´ ecomposition en monˆ omes d’un
polynˆ ome donn´ ee. Par exemple, decomp(Xˆ2-1) envoie Xˆ2-1=(X-1)(X+1). Trouver les d´ ecompositions
des polynˆ omes P,R,Set T.
(10) Trouver tous les polynˆ omes Pde degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 4 tels que P(2X)−2P(X)2+1 soit divisible par X6.
On pourra utiliser ici la commande coeffs.
EXERCICE 2.Soit U∈K[X]. On dit que αest une racine de multiplicit´ e m de Usi U(k)(α) = 0, pour tout k=
1,...,m−1. Soit U=T R.
(1) Montrer que 1 est racine de U.
(2) ´ Ecrire une boucle (avec while) pour d´ eterminer l’ordre de multiplicit´ e de la racine 1 de Uen utilisant les
d´ eriv´ ees de U.
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2. ARITHM ´ ETIQUE SUR LES ENTIERS
On commence par charger la biblioth` eque numtheory :with(numtheory).
Les commandes iquo et irem sont les analogues des commandes quo et rem pour les entiers. La syntaxe est
iquo(a,b) ou irem(a,b).
La commande a mod n retourne la classe d’´ equivalence de l’entier amodulo l’entier positif n.
La commande isprime(a) v´ erifie si le nombre entier aest premier et la commande gcd(a,b) (resp. lcm(a,b))
calcule le pgcd (resp. ppcm) de aet de b. La commande divisors(a) calcule tous les diviseurs de l’entier a.
EXERCICE 3.
(1) Combien 15! admet-il de diviseurs ?
(2) Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000.
(3) ´ Ecrire une boucle (avec while) pour d´ eterminer le 700-` eme nombre premier.
(4) ´ Ecrire une boucle (avec while) pour d´ eterminer le premier nombre premier qui succ` ede ` a 40000.
EXERCICE 4.Soit a=1049427 et b=17493.
(1) Trouver le pgcd gde aet b. Ce pgcd est-il premier ? Si ce pgcd n’est pas premier, trouver la liste de ses diviseurs.
(2) D´ ecomposition en facteurs premiers :
(a) Soit n∈N.´ Ecrire une proc´ edure listttepre qui calcule la liste de diviseur de n, et qui ensuite pour
chacun des diviseurs premiers pide n, calcule la plus grand puissance νide piqui divise n. Les r´ esultats
doivent ˆ etre envoy´ es sous la forme d’une liste
[[p1,ν1],[p2,ν2],...,[pn,νn]].
Par exemple, listepre(6) donne [[3,1],[2,1]].
(b) Appliquer listepre sur a,bet g.
(3) On rappelle que ab =pgcd(a,b)ppcm(a,b). D´ eterminer ` a partir de la question pr´ ec´ edente la d´ ecomposition en
facteurs premiers du ppcm de aet de b: faire la fusion des deux listes listepre(a) et listepre(b) et en
extraire la liste listepre(g) (on pourra utiliser les commandes member et subsop pour les listes). V´ erifier
le r´ esultat obtenu en calculant le ppcm de aet de bavec lcm.
EXERCICE 5.Calculer la plus grande puissance de 10 qui divise 2000!.
EXERCICE 6.Un nombre est dit parfait s’il est ´ egal ` a la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, 6 est parfait
(car 6 =1+2+3).
(1) ´ Ecrire une proc´ edure qui prend en argument un entier net qui retourne ”vrai” si nest parfait et ”faux” sinon.
(2) En d´ eduire la liste des nombres parfaits inf´ erieurs ` a 10000.
EXERCICE 7.On cherche la d´
ecomposition en base 2 d’un entier n. Le principe est tr` es simple. On effectue la division
enti` ere de npar 2. On trouve un quotient q0et un reste r0. On recommence avec q0: on effectue la division enti` ere de q0
par 2. On trouve un quotient q1et un reste r1. On construit ainsi une suite de restes (r0,r1,r2,...). On arrˆ ete le processus
d` es que l’on trouve un quotient qk´ egal ` a 0. La d´ ecomposition de nen base 2 est alors (r0,r1,...,rk).
´
Ecrire une proc´ edure base2 qui rec¸oit un entier net qui retourne sa d´ ecomposition en base 2 en forme [r0,r1,...,rk].
Par exemple, base2(10); retourne [1,0,1,0].