Devoir maison : entiers naturels et - PCSI

PCSI : Math´ematiques 2015-2016
Devoir maison :
entiers naturels et d´enombrement,
sommes, produits et coefficients binomiaux
En math´ematique, c’est comme dans un roman policier ou un ´episode de Columbo : le raisonnement
par lequel le d´etective confond l’assassin est au moins aussi important que la solution du myst`ere elle-
mˆeme. 
CEDRIC VILLANI, Th´eor`eme vivant (2012)
Exercice 1 : D´enombrer c’est gagner !
Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie 1 : Grilles de mots crois´es
Une grille de mots crois´es est un tableau rectangulaire `a nlignes et pcolonnes, constitu´e de n×p
cases dont certaines sont noircies et d’autres pas.
1. Dans cette question, on s’int´eresse aux grilles `a 6 lignes et 4 colonnes, avec 4 cases noircies.
(a) Combien de grilles diff´erentes peut-on former ?
(b) Parmi ces grilles combien d’entre elles ont :
•au moins un coin noirci ?
•exactement une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
2. On s’int´eresse maintenant aux grilles `a nlignes et pcolonnes avec kcases noircies (k∈[|1, np|]).
(a) Combien de grilles diff´erentes peut-on former ?
(b) Parmi ces grilles, combien d’entre-elles ont :
•au plus une case noircie par colonne ?
•au plus une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
Partie 2 : Loto Foot R 7
Au Loto Foot R 7, le joueur remplit une grille dans laquelle il indique ses pronostics pour 7 matchs de
football `a venir. Pour chacun des matchs, il peut cocher une des 3 cases au choix :
•1 pour une victoire de l’´equipe qui re¸coit ;
•N pour un match nul ;
•2 pour une victoire de l’´equipe qui se d´eplace ;
1. Combien de fa¸cons diff´erentes un joueur peut-il remplir la grille ?
2. Combien existe-t-il de grilles dans lesquelles tous les pronostics sont faux ?
3. Pour gagner, il faut avoir trouv´e au moins 6 pronostics exacts. Quel est le nombre de grilles ga-
gnantes ?
1

2
Exercice 2 : Quelques nombres remarquables
Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie 1
Pour a>2, on note Ma= 2a−1.
1. Calculer M2,M3,M5,M7et M11.
2. On suppose que Maest un nombre premier. Montrer que aest ´egalement un nombre premier.
Indication : Utiliser la d´emonstration par contrapos´ee et remarquer que si an’est pas premier alors
a=bc, avec b > 1 et c > 1. Que pensez-vous de la r´eciproque ?
3. On dit qu’un entier n>2 est parfait lorsque la somme de ses diviseurs positifs est ´egale `a 2n. On
suppose que Maest un nombre premier. D´emontrer que 2a−1Maest un nombre parfait.
Facultatif :´ Ecrire une fonction en Python appel´e diviseur(n) qui renvoie la liste de tous les
diviseurs d’un nombre entier et v´erifier que 8128 est un nombre parfait.
Partie 2
Pour n>0, on d´efinit Fn= 22n+ 1.
1. Calculer F0,F1,F2,F3et F4.
2. Montrer que :
(a) pour tout n∈N,Fn+1 = (Fn−1)2+ 1.
(b) pour tout n>1, Fn−2 =
n−1
Q
k=0
Fk.
3. En d´eduire que si m6=n,Fnet Fmsont premiers entre eux.
Facultatif :´ Ecrire une fonction pgcd en Python bas´ee sur l’algorithme d’Euclide qui renvoie le
PGCD de deux entiers et v´erifier que PGCD(F3, F4)=1.
4. Retrouver alors une autre d´emonstration du fait qu’il existe une infinit´e de nombres premiers.
Indication :∀n∈N,regarder un diviseur premier de Fn.
5. F0,F1,F2,F3et F4sont-ils premiers ? Si ce n’est pas le cas, donner sa d´ecomposition en facteurs
premiers.
Facultatif : Pour ce faire, ´ecrire une fonction test en Python bas´ee sur le test de la racine carr´ee
pour savoir si un entier est premier ou non, puis la fonction prem(n) qui dresse la liste des nombres
premiers compris entre 2 et n. Enfin ´ecrire la fonction decomp qui renvoie la d´ecomposition en
facteurs premiers.