projet 2 - Rosane Ushirobira

LICENCE MATH ´ EMATIQUES 2` EME ANN ´ EE IS4 – 2008 – 2009
PROJET 2
EXERCICE 1.On consid` ere Z258 ={0,1,...,257}. On note par ala classe d’´ equivalence de adans Z258, c’est ` a dire,
a={x∈Z|x≡a(mod258)}={x∈Z|le reste de la division de xpar 258 est ´ egal ` aa}. Par exemple, 258 =0, 259 =1,
832 =58, etc. Pour chaque a∈Z258, on d´ efinit fa:Z258 →Z258 par fa(x) = ax.
(1) D´ eterminer tous les ´ el´ ements a∈Z258 pour lesquels faest surjective. D´ eterminer tous les ´ el´ ements a∈Z258
pour lesquels faest bijective.
(2) D´ eterminer tous les couples [a,b]tels que fa◦fb=fb◦fa=IdZ258 . Tracer ces points sur un mˆ
eme graphique.
EXERCICE 2.´
Ecrire un proc´
edure qui rec¸oit un entier positif net qui envoie la liste des ´ el´ ements a∈Zntels que faest
bijective. Essayez avec n=303.
EXERCICE 3.´ Ecrire un proc´ edure qui rec¸oit un entier positif net qui envoie la liste des couples [a,b]tels que fa◦fb=
fb◦fa=IdZn. Essayez avec n=303. Tracer le graphique avec ces points (comme ci-dessus).
EXERCICE 4.Voici un message cod´ e :
[233, 164, 160, 72, 130, 233, 302, 279, 118, 130, 283, 279, 49, 130, 22, 68, 302, 91, 22, 72, 68]
Pour le coder, on a transform´ e le message original en une liste Lde nombres. Ensuite, on a choisit un ´ el´ ement a∈Z303
tel que fasoit bijective. Finalement, on a appliqu´
efa` a la liste L. Quel est le message ?
Maintenant, on consid` ere le probl` eme suivant : ´ etant donn´ es deux entiers positifs non-nuls aet b, on cherche ` a
calculer leur plus grand diviseur commun pgcd(a,b). Dans ce but, nous allons utiliser l’algorithme d’Euclide :
Th´ eor` eme 1 :
Soient a et b ∈Navec a >b>0. Alors il existe r0,r1,...,r`+1et q1,...,q`avec ` > 0tels que r0=a, r1=b, pour
1≤i≤`−1, ri−1=riqi+ri+1avec 0<ri+1<riet r`−1=r`q`avec r`+1=0. On a r`=pgcd(a,b).
EXERCICE 5.´ Ecrire une proc´ edure eucl sur Maple qui calcule le pgcd de aet bpositifs non-nuls donn´ es, en utilisant
le Th´ eor` eme 1.
Une version alternative est donn´
ee par l’algorithme suivant o` u l’on effectue uniquement des divisions et multipli-
cations par 2 (donc moins coˆ uteuse). On l’appellera l’algorithme binaire pour le pgcd.
r←a, r’ ←b,s←0
while (2|r and 2|r’) do (r,r’,s) ←(r/2, r’/2, s+1)
repeat
while 2|r do r ←r/2
while 2|r’ do r’ ←r’/2
if r’ < r then (r,r’) ←(r’,r)
r’ ←r’ - r
until r’ = 0
d←r 2s
1

2
output d
EXERCICE 6.´ Ecrire une proc´
edure euclbin qui impl´ emente l’algorithme ci-dessus sur Maple.
Il existe une version plus efficace de l’algorithme d’Euclide, appel´ ee l’algorithme d’Euclide ´ etendu :
Th´ eor` eme 2 :
Soit a, b, r0,r1,...,r`+1et q1,...,q`comme dans le Th´ eor` eme 1. On d´ efinit s0,s1,...,s`+1et t0,t1,...,t`+1par
s0=1, t0=0, s1=0, t1=1et pour 1≤i≤`, si+1=si−1−siqiet ti+1=ti−1−tiqi. Alors sia+tib=ripour tout
0≤i≤`+1, et en particulier, s`a+t`b=pgcd(a,b)(identit´
e de B´ ezout).
Cet algorithme s’´ ecrit :
r←a, r’ ←b, s ←1, s’ ←0,t←0, t’ ←1
while r’ 6=0 do
q← br/r’c, r’’ ←r mod r’
(r,s,t,r’,s’,t’) ←(r’,s’,t’,r’’,s-s’q,t-t’q)
d←r
output d,s,t
REMARQUE.On remarque que la notation bxcindique le plus grande entier inf´ erieur ou ´ egal ` ax.
EXERCICE 7.´ Ecrire une proc´ edure euclext qui impl´ emente l’algorithme ci-dessus sur Maple. Cette proc´ edure
rec¸oit a,bet envoie une liste [d,s,t];
Le prochain Th´ eor` eme est tr` es connu et tr` es utile dans des nombreux probl` emes, c’est le Th´ eor` eme chinois des
restes :
Th´ eor` eme 3 :
Soient n1,...,nkdes entiers positifs deux ` a deux premiers entre eux. Soient a1,...,akdes entiers quelconques.
Alors il existe un entier z tel que
z≡ai(mod ni)(1≤i≤k).
De plus, tout entier z0est solution de ces congruences si, et seulement si, z ≡z0(mod n)o` u n =n1...nk.
Dans le cas k=2, on va consid´ erer l’algorithme qui, ´ etant donn´ es les entiers z,n,z0et n0tels que pgcd(n,n0) = 1,
0≤z<net 0 ≤z0<n0, envoie les entiers z00 et n00 tels que z00 ≡z(mod n)et z00 ≡z0(mod n0)avec 0 ≤z00 <n00 et
n00 =n n0:
m←n−1mod n’
h←((z’ -z) m) mod n’
z’’ ←z + nh
n’’ ←n n’
output z’’,n’’
REMARQUE.Par n−1(mod n0), on veut dire l’entier ˜ntel que n˜n≡1(mod n0)avec ˜n<n0(pourquoi existe-t-il ?).
EXERCICE 8.Montrer “` a la main” (mais ´ ecrire sur la feuille de calcul) que les entiers z00 et n00 satisfont les conditions
souhait´ ees. ´ Ecrire une proc´ edure chaid qui impl´ emente l’algorithme ci-dessus sur Maple.
EXERCICE 9.` A l’aide de la proc´
edure chaid,´ ecrire une proc´ edure chreste qui impl´ emente le Th´ eor` eme 3 (pour
kquelconque) sur Maple.