1 Ensembles de matrices

Les matrices
Dans ce chapitre, K désigne à nouveau le corps des réels ou celui des complexes.
1
Ensembles de matrices
1.1
1.1.1
Mn,p (K)
Matrices à n lignes et p colonnes
On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ou matrice de format (n,p) tout tableau
rectangulaire noté


a1,1 a1,2 · · · a1,p−1 a1,p 







a
a
·
·
·
a
a
2,1
2,2
2,p−1
2,p






M = (ai,j )16i6n =  .
.
.
.



.
.
.
.


16j6p
.
.
.
.




an,1 an,2 · · · an,p−1 an,p
.
Cette notation signifie que, pour tout couple (i,j) ∈ [[1,n]] × [[1,p]], le nombre ai,j est à l’intersection de la ligne i
et de la colonne j.
Le couple d’indice (i,j) peut être remplacé par n’importe quel autre couple ; ainsi :
M = (ai,j )16i6n = (aj,k )16j6n = (ak,` )16k6n
16j6p
16k6p
16`6p
L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté Mn,p (K).
1.1.2
Cas particuliers : lignes, colonnes
Les matrices à 1 ligne et p colonnes , c’est-à-dire les éléments de M1,p (K) sont appelées matrices lignes à p termes.
Les matrices à n lignes et 1 colonne, c’est-à-dire les éléments de Mn,1 (K) sont appelées matrices colonnes à n
termes.
On identifie traditionnellement (pour des raisons liées au sens d’écriture de gauche à droite) Mn,1 (K) à Kn .
1.1.3
Matrices carrées
On appelle matrices carrées d’ordre n les matrices à n lignes et n colonnes c’est-à-dire les éléments de Mn,n (K).
Pour plus de simplicité, l’ensemble des matrices carrées d’ordre n est noté Mn (K) au lieu de Mn,n (K).
Si A = (ai,j ) 16i6n est une matrice carrée, les termes ai,i , 1 6 i 6 n sont appelés termes diagonaux et les termes
16j6n
ai,j tels que j > i sont dits strictement au-dessus de la diagonale et ceux tels que i > j sont dits strictement
en-dessous de la diagonale.
1.1.4
Matrices diagonales, matrices triangulaires
On appelle matrice diagonale toute matrice carrée dont les termes non diagonaux sont nuls.
On appelle matrice triangulaire supérieure toute matrice carrée dont les termes strictement en-dessous de la
diagonale sont nuls.
On appelle matrice triangulaire supérieure stricte toute matrice carrée dont les termes en-dessous de la diagonale
sont nuls y compris ceux de la diagonale.
On définit de même les matrices triangulaires inférieures et inférieures strictes.
1.2
1.2.1
Opérations
Combinaisons linéaires
Soient A = (ai,j )16i6n et B = (bi,j )16i6n deux matrices de même format (n,p).
16j6p
16j6p
1
La somme A + B est la matrice (ai,j + bi,j )16i6n ; cela signifie que chaque terme de A + B est la somme des termes
16j6p
correspondants de A et de B.
Pour λ ∈ K, λA est la matrice (λai,j )16i6n ; tous les coefficients sont multipliés par λ.
16j6p
Dès lors, avec deux coefficients λ, µ, on peut définir la combinaison linéaire λA + µB = (λai,j + µbi,j )16i6n .
16j6p
Étant donnée une famille (A1 , . . . ,Am ) de matrices de même format (n,p) et une famille (λ1 , . . . ,λm ) d’éléments
m
X
de K, on définit de proche en proche la combinaison linéaire
λ k Ak .
k=1
Les règles de calcul sur les sommes sont les mêmes que pour les sommes de réels ou de complexes.
1.2.2
Produit
• Produit d’une ligne par une colonne
 
b1
 .. 
Étant données une ligne à n termes L = (a1 , . . . ,an ) et une colonne à n termes aussi C =  . .
bn
n
X
Le produit LC est, par définition, le nombre LC =
aj bj .
j=1
Exercice 1
Établir la bilinéarité de ce produit c’est-à-dire : ∀L, L0 ∈ M1,n (K), ∀C, C 0 ∈ Mn,1 (K), ∀(λ,λ0 ) ∈ K2
∗ (λL + λ0 L0 )C = λLC + λ0 L0 C
∗ L(λC + λ0 C 0 ) = λLC + λ0 LC 0
• On se donne deux matrices A et B telles qu’il soit possible de faire le produit des lignes de A par les colonnes
de B c’est-à-dire que le deuxième nombre du format de A égale le premier nombre du format de B.
Soient donc m, n, p trois entiers strictement positifs et deux matrices A = (ai,j )16i6m ∈ Mm,n (K) et
B = (bj,k )16j6n ∈ Mn,p (K) (Au passage, observer le choix des indices).
16j6n
16k6p
def
On forme alors la matrice C = (ci,k )16i6m = AB telle que, pour tout couple (i,k) ∈ [[1,m]] × [[1,p]], le terme
16k6p
ci,k à l’intersection de la i-ème ligne et de la k-ème colonne est le produit de la i-ème ligne de A par la k-ème
colonne de B.
n
X
Autrement dit, pour tout couple (i,k) ∈ [[1,m]] × [[1,p]], ci,k =
ai,j bj,k .
j=1
En S.I, on adopte la présentation ci-dessous :
colonne j
ligne
i→

..


.



ai,1 · · ·



 ..
.

.. 
. 



ai,n 


.. 

.
↓


· · · b1,k · · ·





..






.






.


.




.




· · · bn,k · · ·


..




.







· · · ci,k








• Produit d’une matrice par une colonne.
On se donne une matrice M = (ai,j )16i6n
16j6p
 
x1 




.. 




∈ Mn,p (K) et une colonne X = 
 ∈ Mp,1 (K).
.

 

xp
2
Si on désigne par C1 , . . . ,Cp les colonnes de M alors, on observe que M X =
p
X
x j Cj .
j=1

L1
 
De la même façon, si L1 , . . . ,Ln sont les lignes de M de sorte qu’on puisse écrire M =  ...  et si L est la
Ln
n
X
ligne L = (λ1 , . . . ,λn ) ∈ M1,n (K) alors LM =
λ i Li .

i=1
• Produit comme famille de colonnes
Soient A ∈ Mm,n (K) et B ∈ Mn,p (K). On note C1 , . . . ,Cp les colonnes de B alors les colonnes de AB sont
AC1 , . . . ,ACp de sorte qu’on peut écrire :
AB = A(C1 , . . . ,Cp ) = (AC1 , . . . ,ACp ).
1.2.3
Propriétés
L’addition des matrices de même format est :
∗ Associative : ∀A, B, C ∈ Mn,p (K), (A + B) + C = A + (B + C)
∗ Commutative : ∀A, B ∈ Mn,p (K), A + B = B + A
∗ Elle admet un élément neutre : la matrice nulle notée 0 (attention, ce n’est pas ici le nombre 0 mais bien
un tableau de zéros) dont tous les termes sont des zéros. ∀A ∈ Mn,p (K), 0 + M = M + 0 = M
∗ Tout élément admet un opposé : si A = (ai,j )16i6n , alors −A = (−ai,j )16i6n
16j6p
16j6p
Avec, en plus, le produit par les scalaires, on a :
∗ ∀A, B ∈ Mn,p (K), ∀λ ∈ K, λ(A + B) = λA + λB
∗ ∀A ∈ Mn,p (K), ∀(λ,µ) ∈ K2 , (λ + µ)A = λA + µA.
∗ ∀A ∈ Mn,p (K), ∀(λ,µ) ∈ K2 , λ(µA) = (λµ)A
∗ ∀A ∈ Mn,p (K), 1.A = A.
Prenons en compte le produit des matrices.
∗ Le produit est bilinéaire :
∀A, A0 ∈ Mm,n (K), ∀B, B 0 ∈ Mn,p (K), ∀λ, λ0 ∈ K:
(λA + λ0 A0 )B = λAB + λ0 A0 B
A(λB + λ0 B 0 ) = λAB + λ0 AB 0
La démonstration se fait en appliquant la bilinéarité sur chaque coefficient.
∗ L’associativité ∀A ∈ Mm,n (K), ∀B ∈ Mn,p (K), ∀C ∈ Mp,q (K), (AB)C = A(BC)
Démonstration de l’associativité du produit matriciel.
 
x1
 .. 
Montrons d’abord que, pour tout A ∈ Mm,n (K), B ∈ Mn,p (K) et X =  .  ∈ Mp,1 (K), on a :
xp
(AB)X = A(BX).
Notons B1 , . . . ,Bp les colonnes de B. On sait que AB = (AB1 , . . . ,ABp ). On a alors BX =
A(BX) =
p
X
b
X
xk Bk d’où
k=1
xk ABk = (AB)X.
k=1
On pose ensuite C = (C1 , . . . Cq ) ∈ Mp,q (K)0 et on a :
(AB)C = ((AB)C1 , . . . ,(AB)Cq ) = (A(BC1 ), . . . ,A(BCq )) = A × (BC1 , . . . ,BCq ) = A × (BC).
3
C.Q.F.D.
Exercice 2
Soient M ∈ Mm,n (K) et N ∈ Mp,q (K).
a) À quelles conditions sur les entiers m, n, p, q, les produits M N et N M sont-ils définis?
b) Les conditions précédentes étant réalisées, à quelle condition supplémentaire, M N et N M sont-elles de
même format?
c) Les conditions précédentes étant toutes réalisées, avec m > 2, trouver un contre-exemple où, bien que
M N et N M soient définies et de même format, ces deux matrices sont différentes.

1 0
0






0 1
0



.
.
.

.
.
.
. ..

∗ La matrice unité d’ordre n désigne la matrice carrée In = 


..
..


.
.





0 0


0 0 ···
où δi,j est le symbole de Kronecker qui vaut 1 quand i = j et 0 sinon.
La matrice unité vérifie : ∀M ∈ Mn,p (K), In M = M Ip = M .
···
..
.
..
.
0
0
0
0
..
.
..
.
. . ..
. .
1 0
0 1














= (δi,j ) 16i6n



16j6n








Exercice 3
1. Soit (α1 , . . . ,αn ) ∈ Kn . Pour tout i de 1 à n, que vaut
n
X
δi,j αj ?
j=1
Indication : On pourra observer que la plupart des termes de la somme sont nuls.
2. On pose M = (mi,j )16i6m , In = (δj,k ) 16j6n et M 0 = M In = (m0i,k )16i6m .
16j6n
16k6n
16k6n
Pour tout couple (i,k) ∈ [[1,m]] × [[1,n]], exprimer m0i,k sous forme d’une somme puis réduire en utilisant
la question précédente.
3. Conclure pour M In .
4. Démontrer de même que Im M = M .
1.3
1.3.1
Cas particulier des matrices carrées
Mn (K)
On rappelle que Mn (K) désigne l’ensemble des matrices carrée d’ordre n.
Non seulement l’addition y est une loi de composition interne (la somme de deux matrices carrées d’ordre n en
est une) mais le produit lui-même est aussi une loi de composition interne car le produit de deux matrices carrées
d’ordre n est une matrice carrée d’ordre n.
Ce produit vérifie les propriétés vues plus haut mais on sera vigilant sur le fait qu’il n’est pas commutatif.
1.3.2
Puissances d’une matrice carrée
D’après ce qui précède, pour toute matrice A et tout entier naturel k, on peut définir Ak par A0 = In , A1 = A et
Ak = A
· · × A}.
| × ·{z
k termes
On vérifie facilement que ∀h, k ∈ N, ∀A ∈ Mn (K), Ah × Ak = Ah+k , (Ah )k = Ahk .
1.3.3
Formule du binôme de Newton et formule de Bernoulli
Si A et B sont deux matrices carrées d’ordre n qui ne commutent pas c’est-à-dire telles que AB 6= BA, alors
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B 2 6= A2 + 2AB + B 2 .
On voit ainsi que la formule du binôme de Newton n’a généralement pas lieu dans Mn (K). Il faut faire l’hypothèse
supplémentaire que A et B commutent c’est-à-dire AB = BA.
4
Exercice 4
Soient A et B deux matrices de Mn (K) qui commutent. Montrer par récurrence que A commute avec toutes les
puissances de B et vice-versa puis que ∀k ∈ N, (AB)k = Ak B k .
On peut alors énoncer la formule du binôme de Newton pour les matrices :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n qui commutent. Pour tout entier p > 0 on a :
p p X
X
p
p
k p−k
p
Ap−k B k
A B
=
(A + B) =
k
k
k=0
k=0
La démonstration est la même que dans le cas des nombres complexes.
Sous les mêmes hypothèses (AB = BA), on a ∀p > 1,
An
−
Bp
= (A − B)
p−1
X
k
A B
p−1−k
= (A − B)
k=0
1.4
1.4.1
p−1
X
Ap−1−k B k
k=0
Calcul sur les matrices triangulaires ou diagonales
Les matrices diagonales


λ1 0
0 ···
0
0 




.. 






0
λ
0
.
2






.
.
..
.. ..


.
.


.
.
.


.
.
n

Pour (λ1 , . . . ,λn ) ∈ K , on note Diag(λ1 , . . . ,λn ) la matrice 
= (δi,j λi ) 16i6n .


.

.
.
.
.


16j6n
.
.
.
.
.


.
.
.
. 
.








0
0
0 λn−1 0 




0
0 ··· 0
0
λn
Le calcul sur les matrices diagonales est très simple dans la mesure où l’on a, pour tous (λ1 , . . . ,λn ) et (λ01 , . . . ,λ0n )
dans Kn :
• Diag(λ1 , . . . ,λn ) + Diag(λ01 , . . . ,λ0n ) = Diag(λ1 + λ01 , . . . ,λn + λ0n )
• Diag(λ1 , . . . ,λn ) × Diag(λ01 , . . . ,λ0n ) = Diag(λ1 λ01 , . . . ,λn λ0n )
Pour la somme, la propriété est évidente.
Pour le produit, on écrit Diag(λ1 , . . . ,λn ) = (λi δi,j ) 16i6n , Diag(λ01 , . . . ,λ0n ) = (λ0j δj,k ) 16j6n . Pour tout couple
16j6n
(i,k) ∈ [[1,n]]2 , le terme d’indices (i,k) du produit est
n
X
16k6n
λi δi,j λ0j δj,k . Or, dans cette somme, tous les δj,k sont nuls
j=1
sauf, éventuellement, lorsque j = k, d’où
n
X
λi δi,j λ0j δj,k = λi λ0k δi,k = λi λ0i δi,k .
j=1
1.4.2
Cas des matrices triangulaires
On s’intéressera uniquement aux matrices triangulaires supérieures. Les résultats se transposent (!) aisément aux
matrices inférieures.
Il est évident que la somme de deux matrices triangulaires supérieures l’est aussi et que les termes diagonaux de la
somme sont les sommes des termes diagonaux des deux matrices (c’est aussi vrai pour les termes non diagonaux).
Mais il est nettement moins évident que le produit de deux matrices triangulaires supérieures l’est aussi et que les
termes diagonaux du produit sont les produits des termes diagonaux correspondants des deux matrices.
Autrement dit, pour :
5



a1,1 a1,2 · · · · · ·
···
a1,n 
b1,1 b1,2











0
a
a
·
·
·
·
·
·
a
0 b2,2
2,2
2,3
2,n









.



.


..
.. 



0
0
0
0









.
.
.



.
.
.
.
.
.
.
 .
A=
et B = 
.
.


. 
.









.
..



..





0 an−1,n−1 an−1,n 
.


















0
··· ··· ···
0
an,n
0 ···


a1,1 b1,1
c1,2
··· ···
···
c1,n 






0
a2,2 b2,2 c2,3 · · ·
···
c2,n 






.


.


.
.


.
0
0
.






.
.


.
.
.
.
.
.

AB = 
.
.
 .

.






.


.



.
0
a
b
c
n−1,n−1 n−1,n−1
n−1,n 












0
···
··· ···
0
an,n bn,n
La démonstration est un peu technique. On pose A = (ai,j ) 16i6n et
16j6n
··· ···
b2,3 · · ·
..
.
..
..
.
.
···
···
···
0
bn−1,n−1
···
0















, on a :






bn−1,n 






bn,n
b1,n
b2,n
..
.
..
.
B = (bj,k ) 16j6n avec :
16k6n
∀(i,j) ∈ [[1,n]]2 , i > j ⇒ ai,j = 0 et ∀(j,k) ∈ [[1,n]]2 , j > k ⇒ bj,k = 0.
n
X
Pour tout (i,k) ∈ [[1,n]]2 , on pose ci,k =
ai,j bj,k .
j=1
Soit un couple (i,k) tel que i > k. Dans la somme définissant ci,k , pour j < i, on a ai,j = 0 puis pour j > i on a
j > i > k donc bj,k = 0. En résumé, tous les termes de cette somme sont nuls donc ci,k = 0. Supposons à présent
i = k. Dans la somme définissant ci,k , pour j < i, on a ai,j = 0 et pour j > i = k, on a bj,k = 0. Le seul terme
éventuellement non nul est obtenu pour j = i = k et c’est ai,i bi,i d’où ci,i = ai,i bi,i .
C.Q.F.D.
2
Pivot
2.1
2.1.1
Matrices élémentaires
Transvections, transpositions, dilatation
Pour i 6= j dans [[1,n]] et λ ∈ K, on forme la matrice Ti,j,λ = de la façon suivante : On part de la matrice In et on
ajoute le
nombre λ à l’intersection de la ligne i et de
 la colonne j.
1
0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0
0








0
1
0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
0
0








..
.
.
.


.
.
.


.
.
.
.








.
.


.
.


.
0
0
0
.











0
0
λ
0
← i-ème ligne
Ti,jλ = 






.
.


.



0
0 0 .. 
.





.
.
.


.
.
.

.
.

.






.


.

.
1 0






0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 1
↑
j-ème colonne
Une telle matrice est dite de transvection.
6
colonne i

1 0




.

0 . .



..



.



..


.




..


.

0

Étant donnés deux indices distincts i, i on pose Pi,i0 = 

 ...




 ..


.



..



.



..



.


0 ···
Il s’agit de la matrice unité dont on a échangé les lignes i et i0 .
Une telle matrice est dite de permutation ou de transposition.
···
···
···
colonne i0
···
···
1
1
..
.
..
.
···
···
1
0
..
.
..
.
1
1
0
1
..
···
···
···
···
···
···
0
.

0

.. 


.


.. 


.


.. 

.



.. 

.



.. 

.



.. 

.


.. 


.



.. 

.


1
i
↓
}|
{
z
On définit enfin, pour i ∈ [[1,n]] et λ ∈ K∗ , la matrice Di,λ = Diag(1, . . . , λ,1, . . . ,1).
On dit que Di,λ est une matrice de dilatation.
2.1.2
Action par le produit à gauche
Pour comprendre ce qui se passe quand on calcule EM où E est une matrice élémentaire et M une matrice à n
lignes, il faut voir que si la i-ème ligne d’une matrice A est la i0 -ème de In , alors la i-ème ligne de AM égale la
j-ème ligne de M .
Exercice 5
1. Utiliser ce qui précède pour déterminer l’action des matrices élémentaires à gauche.
On pourra utiliser le fait que Ti,jλ est la somme de In et de λ fois la matrice dont toutes les lignes sont nulles
à l’exception que la i-ème qui se trouve être la j-ème de In .
2. Que se passe-t-il quand on fait Li ← Li − λLi0 à la matrice Ti,i0 ,λ ?
Quelle relation matricielle en déduit-on?
3. Écrire des relations analogues pour les Pi,j et les Di,λ .
2.1.3
Décomposition ER
On sait qu’il est possible au moyen d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice rectangulaire M de
transformer celle-ci en une (unique) matrice échelonnée réduite R.
D’après ce qui précède, il existe donc des matrices élémentaires E1 , E2 , . . . ,EN telles que :
EN × EN −1 × · · · × E2 × E1 × M = R.
Pour chaque matrice Ek , notons Ek0 la matrice de la transformation réciproque. On a alors:
0
0
0
0
0
0
M = E10 × E20 × · · · × EN
−1 × EN × EN × EN −1 × · · · × E2 × E1 × M = E1 × E2 × · · · × EN −1 × EN × R.
0
0
0
0
En posant E = E1 × E2 × · · · × EN −1 × EN on a M = ER où E est un produit de matrices élémentaires et R une
matrice échelonnées réduite.
2.2
2.2.1
Action sur les colonnes
Produit à droite par les matrices élémentaires
Soit M ∈ Mn,p (K). La multiplication à droite par des matrices élémentaires d’ordre p agit sur les colonnes de M .
Exercice 6
Décrire l’action de chacune des matrices élémentaires par ces opérations.
7
2.2.2
Échelonnement en colonnes
De la même façon que sur les lignes, il set possible de transformer toute matrice M de Mn,p (K) en une matrice
échelonnée ou échelonnée réduite en colonnes.
On note M 0 ∼ M .
C
3
Matrices carrées inversibles
3.1
3.1.1
GLn (K)
Matrices inversibles
Définition : Une matrice A ∈ Mn (K) est dite inversible lorsqu’il existe B ∈ Mn (K) telle que AB = BA = In .
La matrice B s’appelle l’inverse de A et se note A−1 .
L’ensemble des matrices inversibles d’ordre n s’appelle le groupe linéaire d’ordre n et se note GLn (K).
3.1.2
Exemple des matrices élémentaires
On a vu en exercice que les matrices élémentaires sont inversibles et que :
−1
−1
(Ti,i0 ,λ )−1 = Ti,i0 ,−λ , Pi,i
0 = Pi,i0 et Di,λ = Di,1/λ .
3.1.3
Inverse d’un produit
Propriété : Si A et B sont inversibles, alors AB l’est aussi et (AB)−1 = B −1 A−1 .
En résumé : l’inverse d’un produit est le produit en sens contraire des inverses ce qui s’étend à un produit d’un
nombre quelconque (fini) de matrices inversibles en conséquence de quoi les produits de matrices élémentaires sont
inversibles.
Exercice 7
Le démontrer.
3.1.4
Cas des matrices réduites étagées
Proposition : La seule matrice étagée inversible de Mn (K) est In .
Démonstration : Si une matrice R réduite étagée n’est pas In alors sa dernière ligne est nulle et, pour tout
B ∈ Mn (K), la dernière ligne de RB est nulle donc ∀B ∈ Mn (K), RB 6= In .
C.Q.F.D.
Le même argument montre qu’aucune colonne d’une matrice inversible n’est nulle.
3.1.5
Caractérisations
Proposition: Soit A ∈ Mn (K).
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. A est inversible.
2. ∃B ∈ Mn (K), AB = In
3. ∃B ∈ Mn (K), BA = In
4. L’équation AX = 0 d’inconnue X ∈ Mn,1 admet 0 pour unique solution.
5. ∀Y ∈ Mn,1 (K) l’équation AX = Y a au moins une solution.
6. ∀Y ∈ Mn,1 (K) l’équation AX = Y a au plus une solution.
Exercice 8
Vérifier que la propriété 1. entraı̂ne toutes les autres.
Montrons les autres équivalences. Posons A = ER où E est un produit de matrices élémentaires donc est inversible
et R est étagée réduite en ligne.
2. ⇒ 1. : Si AB = In alors RB = E −1 d’où R = In sinon la dernière ligne de RB = E −1 est nulle. Alors A = E
est inversible.
8
3. ⇒ 1. : On raisonne de façon analogue à ce qui précède en écrivant A = R0 E 0 où E 0 est inversible et R0 est étagée
en colonnes.
4. ⇔ 1. : AX = 0 ⇔ RX = 0 d’où l’équivalence.
5. ⇒ 2. : Pour tout j de 1 à n, il existe une colonne Cj telle que ACj soit la j-ème colonne de In . On pose
B = (C1 , . . . ,Cn ) et AB = In .
Enfin on a 6. ⇒ 4. ⇒ 1.
On a fini !
3.2
Calcul de l’inverse d’une matrice
3.2.1
Résolution de AX = Y
On se donne une matrice A = (ai,j ) 16i6n .
16j6n
−1
Lorsque
A est inversible, pour tous X,Y ∈ M
n,1 (K), AX = Y ⇔ X = A Y . Cela peut s’écrire :


 a1,1 x1 + · · · + a1,n xn = y1
 x1 = b1,1 y1 + · · · + b1,n yn

..
..
.. ⇔
..
..
..
.
.
.
.
.
.




an,1 x1 + · · · + an,n xn = yn
xn = bn,1 y1 + · · · + bn,n yn
Alors, on a A−1 = (bj,k ) 16j6n .
16k6n
3.2.2
Conséquences
Une matrice diagonale Diag(λ1 , . . . ,λn ) est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont non nuls et,
dans ce cas l’inverse est la Diag(1/λ1 , . . . ,1/λn ).
Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont non nuls et, dans ce cas,
son inverse est triangulaire et a pour termes diagonaux les inverses de ceux de A.
3.2.3
Pivot de Gauss-Jordan
Lorsque A est inversible, il existe une matrice E produit de matrices élémentaires telles que EA = R où R est
échelonnée réduite. On a donc R = In d’où E = A−1 .
Il résulte qu’une suite d’opérations élémentaires sur les lignes de A transforme celle-ci en EA = In . La même suite
de transformations élémentaires sur In transforme In en EIn d’où le procédé suivant :
On forme une matrice M rectangulaire de format n × 2n en collant la matrice In à droite de la matrice ; on
a donc, par blocs M = (A,In ). Chaque opération élémentaire appliquée aux lignes de A est étendue à toute la
ligne correspondante de M . Lorsque A a été transformée en In , M = (A,In ) a été transformée en (In ,E) = (In ,A−1 ).
On peut observer que la même méthode appliquée à une matrice rectangulaire A permet de trouver une matrice
E telle que EA soit échelonnée réduite.
4
Transposition
4.1
4.1.1
Définition et notations
L’idée
Il s’agit de prendre la “symétrique” de la matrice par rapport à la diagonale :
9

a1,1 a1,2 · · ·








a2,1 a2,2 · · ·
















































an,1 an,2 · · ·

a1,p 






a2,p 









a1,1
















a1,2






−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→




transposition





..





.















a1,p














an,p

an,1 






an,2 







.. 


. 






an,p
a2,1
a2,2
..
.
a2,p
L’idée est simple mais la définition est délicate car il nous faut respecter quelques contraintes.
Une première mauvaise idée est de dire que la transposée de (ai,j )16i6n est (aj,i )16j6p .
16j6p
16i6n
Ça ne marche pas car, quand M est non carrée de format (n,p) avec p > n, il n’existe pas de terme ap,n .
Une deuxième mauvaise solution est alors de dire que la transposée de (ai,j )16i6n est (ai,j )16j6p .
16j6p
16i6n
Là encore, c’est incorrect car l’indice de ligne de la transposée, c’est-à-dire j, est le deuxième indice au niveau des
ai,j .
4.1.2
La bonne définition
La bonne méthode consiste à définir la transposée de (ai,j )16i6n par tA = (a0j,i )16j6p avec, pour tout couple
(j,i) ∈ [[1,p]] × [[1,n]], a0j,i = ai,j .
On peut encore noter aujourd’hui la transposée de A : AT .
4.2
4.2.1
16j6p
16i6n
Propriétés
Transposée d’une combinaison linéaire
On admet sans difficulté que la transposée d’une combinaison linéaire de matrices de même format est la combinaison linéaire des transposées c’est-à-dire :
∀(n,p) ∈ (N∗ )2 , ∀A, A0 ∈ Mn,p (K), ∀λ, λ0 ∈ K, t(λA + λ0 A0 ) = λ tA + λ0 tA0 ou, avec l’autre notation :
(λA + λ0 A0 )T = λAT + λ0 A0T .
4.2.2
Transposée d’un produit
Il est déjà plus difficile d’admettre la propriété suivante :
∀A ∈ Mm,n (K), ∀B ∈ Mn,p (K), t(AB) = tB tA ou, avec l’autre notation : (AB)T = B T AT .
On retiendra cette propriété sous la forme :
La transposée d’un produit est le produit en sens contraire des transposées.
On admet ou on lit soigneusement la
Démonstration :
On vérifie sans difficulté la compatibilité des formats permettant de définir lesdits produits.
Posons A = (ai,j )16i6m , B = (bj,k )16j6n , C = (ckl )16k6p , AB = (di,k )16i6m , BC = (ej,l )16j6n avec :
16j6n
16k6p
16l6q
10
16k6p
16l6q
∀(i,k) ∈ [[1, m]] × [[1, p]], di,k =
n
X
ai,j bj,k et ∀(j,l) ∈ [[1, n]] × [[1, q]], ej,l =
j=1
p
X
bj,k ck,l .
k=1
0 )
Enfin, posons (AB)C = (fi,l )16i6m et A(BC) = (fi,l
16i6m . On a, pour tout couple (i,l) ∈ [[1, m]] × [[1, q]] :
16l6q
16l6q


p
p
p
n
n
X
X X
XX

fi,l =
di,k ck,l =
ai,j bj,k  ck,l =
ai,j bj,k ck,l d’une part et, d’autre part :
k=1
0 =
fi,l
n
X
k=1
ai,j
j=1
p
X
k=1
j=1
!
bj,k ck,l
=
k=1 j=1
p
n X
X
ai,j bj,k ck,l .
j=1 k=1
Il n’y a plus qu’à échanger les deux signes somme pour obtenir l’égalité.
4.2.3
Transposée d’une inverse
La propriété suivante est conséquence directe de la précédente.
Pour toute matrice inversible A ∈ GLn (K) on a tA ∈ GLn (K) et (tA)−1 = t(A−1 ).
Autrement dit : L’inverse de la transposée est la transposée de l’inverse.
Démonstration :
De AA−1 = In on déduit : t(A−1 ) tA = tIn = In d’où la propriété.
4.2.4
Matrices symétriques, antisymétriques
Une matrice M carrée d’ordre n est dite symétrique lorsque tM = M .
Elle est dite antisymétrique lorsque tM = −M .
On a la propriété suivante :
Si M et N sont symétriques (respectivement : antisymétriques), alors, pour tout couple (λ,µ) ∈ K2 , λM + µN est
symétrique (respectivement : antisymétrique).
Exercice 9
Le montrer.
Exercice 10
1. À quelle condition un produit de deux matrices symétriques est-il symétrique?
2. À quelle condition un produit de matrices antisymétriques est-il symétrique?
11